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第二章　函数的概念与基本初等函数
2.6　幂函数、指对运算
2027高考数学一轮总复习
内容索引
必备知识　回顾
课时作业
关键能力　提升
考试要求 三年考情 1.通过具体实例,结合y=x,y=,y=x2,y=,y=x3的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数. 2.理解有理数指数幂的含义,掌握指数幂的运算性质. 3.理解对数的概念和运算性质. 2023 2024 2025
新课标Ⅰ卷T10

必备知识　回顾
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,函数______叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
知识梳理
y=xα
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0,+∞)上都有定义;
②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;
③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.
2.根式的概念及性质
(1)概念:式子叫做____,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.
(2)性质:①____没有偶次方根.
②0的任何次方根都是0,记作=__.
③()n=__(n∈N*,且n>1).
④=a(n为大于1的奇数).
⑤(n为大于1的偶数).
根式
负数
0
a
3.分数指数幂
规定:正数的正分数指数幂的意义是(a>0,m,n∈N*,且n>1);正数的负分数指数幂的意义是(a>0,m,n∈N*,且n>1);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂________.
4.有理数指数幂的运算性质
aras=______;(ar)s=_______;(ab)r=______,其中a>0,b>0,r,s∈Q.
没有意义
ar+s
ars
arbr
5.对数的概念
如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=________,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
6.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质(a>0,且a≠1)
①=__;
②logaab=b.
logaN
N
(2)对数的运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么
①loga(MN)=__________________;
②loga=__________________;
③logaMn=__________(n∈R).
(3)换底公式:logab=(a>0,且a≠1,b>0,c>0,且c≠1).
logaM+logaN
logaM-logaN
nlogaM
1.(1)幂函数y=xα中,α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质.
(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限,一定不会出现在第四象限.
2.换底公式的两个重要结论
(1)logab=(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1).
(2)lologab(a>0,且a≠1;b>0;m,n∈R,且m≠0).
知识拓展
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)函数y=2是幂函数. (　 　)
(2)当α>0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递增.(　 　)
(3)=-4. (　 　)
(4)log2x2=2log2x. (　 　)
基础检测
×
√
×
×
2.(人教A版必修第一册P127习题4.3T5改编)设a=lg 2,b=lg 3,则log1210=(　 　)
A.
C.2a+b D.2b+a
解析:log1210=.故选A.
A
3.(人教A版必修第一册P91练习T1改编)若幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的大致图象是 (　 　)
解析:设幂函数的解析式为y=xα,因为幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),所以2=4α,解得α=,所以y=,其定义域为[0,+∞),且是增函数,当0C
4.(人教A版必修第一册P110习题4.1T8改编)已知=3,则a+ a-1=__,a2+a-2=____.
解析:由=3,得a+a-1+2=9,即a+a-1=7,则a2+a-2+2=49,即a2+ a-2=47.
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关键能力　提升
考点1 幂函数的图象和性质
【例1】　(1)函数y=的大致图象是(　 　)
B
【解析】　易知y=满足(-x,即函数y=为偶函数,图象关于y轴对称,可排除D;易知当x∈(0,+∞)时,函数y=单调递增,可排除C;当x>1时,函数y=的增长速度越来越慢,其图象在直线y=x的下方,可排除A.故选B.
(2)下列比较大小中正确的是 (　 　)
A.
B.
C.(-2.1<(-2.2
D.
C
【解析】　对于A,因为函数y=x0.7在(0,+∞)上单调递增,所以,故A错误;对于B,因为函数y=x-1在(-∞,0)上单调递减,所以,故B错误;对于C,因为(-2.1,,且函数y=在R上单调递增,所以,即(-2.1<
(-2.2,故C正确;对于D,因为,且函数y=在(0,+∞)上单调递增,所以,即,故D错误.故选C.
1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域,即x=1,y=1,y=x所分区域.根据α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定.
2.在比较幂值的大小时,常需结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.
规律总结
【对点训练1】(1)(人教A版必修第一册P100复习参考题3T5改编)已知函数f(x)=m2是幂函数,且f(x)在(0,+∞)上单调递增,则实数m的值为(　 　)
A.2 B.-1
C.1 D.1或-1
解析:由幂函数的定义可得m2=1,解得m=±1,当m=1时,f(x)=x-3,其在(0,+∞)上单调递减,不合题意;当m=-1时,f(x)=x,其在(0,+∞)上单调递增,满足题意,故m=-1.故选B.
B
(2)(多选)(人教B版必修第二册P35尝试与发现改编)已知幂函数f(x)的图象经过点,则(　 　)
A.f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)
B.f(x)的值域为(0,+∞)
C.f(x)为奇函数
D.f(x)为定义域上的减函数
AB
解析:设幂函数f(x)=xα,α∈R,因为幂函数f(x)的图象经过点,所以()α==5-1=()-2,可得α=-2,即f(x)=x-2=.对于A,令x2≠0,可得x≠0,所以f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),故A正确;对于B,因为x∈ (-∞,0)∪(0,+∞),所以x2>0,可得f(x)=>0,所以f(x)的值域为(0,+∞),故B正确;对于C,D,因为f(1)=f(-1)=1,所以f(x)不为奇函数,且在定义域内不为减函数,故C,D错误.故选AB.
考点2 指数运算
【例2】　(1)计算:
①+(-6)0+;
【解】 原式
②(a>0,b>0).
【解】 原式
(2)若10m=4,10n=5,求1的值.
【解】由10m=4,10n=5,得1.
1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算.
2.当底数是负数时,先确定运算结果的符号,再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
规律总结
【对点训练2】　(1)(人教A版必修第一册P107练习T3改编)化简÷的结果为 (　 　)
A.-9
C.-9
解析:·(-3)÷.故选C.
C
(2)(多选)已知=3,下列各式正确的是(　 　)
A.=7
B.=24
C.
D.
ACD
解析:对于A,=()2-2=9-2=7,故A正确;对于B,=()()=3×6=18,故B错误;对于C,由=3可知a>0,>0,()2==5,所以,故C正确;对于D,因为,()2=+2=20,>0,所以原式=2,故D正确.故选ACD.
考点3 对数运算
命题角度1　对数式的化简与计算
【例3】　计算:(1)lg 14-2lg+lg 7-lg 18;
【解】　lg 14-2lg
=lg 1=0.
(2)log35×log57×log79+(lg 2)2+lg 2×lg 5+lg 5-ln(ln e)+;
【解】 log35×log57×log79+(lg 2)2+lg 2×lg 5+lg 5-ln(ln e)++lg 2(lg 2+lg 5)+lg 5-ln 1++lg 2×lg 10+lg 5- ln 1+8=2+lg 2+lg 5-0+8=11.
(3)(log35+log53)2--(log53)2.
【解】 (log35+log53)2--(log53)2=[(log35)2+2log35×log53+(log53)2]-lo-(log53)2=(log35)2+2log35×+(log53)2-log35×log35-(log53)2=2.
命题角度2　指数式与对数式的综合运算
【例4】　(1)已知log23=a,2b=7,用a,b表示log4256为(　 　)
A.
C.
【解析】　由题意可得b=log27,所以log4256==
.故选B.
B
(2)(2026·宁夏吴忠一模)若abc≠0,且3a=4b=6c,则(　 　)
A.
C.
C
【解析】　设3a=4b=6c=t(t>0且t≠1),则a=log3t,b=log4t,c=log6t(提示:参数为指数,考虑转化为对数),∴,,.对于A,,故A错误;对于B,,故B错误;对于C,,故C正确;对于D,,故D错误.故选C.
1.对数运算的一般思路
(1)拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后利用对数运算性质化简合并.
(2)合:将对数式化为同底数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.
2.指对互化的转化技巧
对于将指数恒等式ax=by=cz作为已知条件,求函数f(x,y,z)的值的问题,通常设ax=by=cz=k(k>0),则x=logak,y=logbk,z=logck,将x,y,z的值代入函数f(x,y,z)求解.
规律总结
【对点训练3】　(1)若2x=3y=6,则x+y-xy=(　 　)
A.
　　　 D.0
解析:因为2x=3y=6,所以x=log26,y=log36,则=log62,=log63,所以=log62+log63=1,所以=1,则x+y-xy=0.故选D.
D
(2)计算:log535-2log0.5+log32×log29=__.
解析:log535-2log0.5=log5125-2+2=log553=3.
3
对勾函数与飘带函数
1.对勾函数y=ax+(a>0,b>0)
(1)性质:①奇偶性:奇函数;②单调性:在,上单调递增,在,上单调递减;③渐近线:y=ax和x=0.
教材深研
(2)图象
2.飘带函数y=ax-(a>0,b>0)
(1)性质:①奇偶性:奇函数;②单调性:在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增;③渐近线:y=ax和x=0.
(2)图象
【典例】　(1)函数f(x)=|x|-(m∈R)的图象不可能是(　 　)
C
【解析】　当m=0时,f(x)=|x|(x≠0),A符合;f(x)=当m>0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,-)上单调递减,在(-,0)上单调递增,D符合;当m<0时,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,B符合.故选C.
(2)已知函数f(x)=(a∈R),方程f(x)=4在(0,+∞)上有两个解x1,x2(x1≠x2),记g(a)=|x1-x2|,则下列结论正确的是(　 　)
A.函数f(x)的值域为[0,+∞)
B.若a=-1,则f(x)的单调递增区间为[-1,0)和[1,+∞)
C.若a=4,则g(a)=0
D.函数g(a)的最大值为4
B
【解析】　对于A,当a=1时,f(x)=,f(-x)==f(x),即f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)=x+,则函数f(x)在(0,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,由偶函数的性质知f(x)min=1+=2,故A错误;对于B,当a=-1时,f(-x)==f(x),则f(x)为偶函数,当x∈(0,1]时,f(x)=-x+,易知f(x)在(0,1]上单调递减,当x∈[1,+∞)时,f(x)=x-,易知f(x)在[1,+∞)上单调递增,由偶函数的对称性知,f(x)的单调递增区间为[-1,0),[1,+∞),故B正确;对于C,当a=4时,f(x)=,令f(x)=4,则x1= -2,x2=2,此时g(a)=4,故C错误;对于D,当a=0时,f(x)=|x|,令f(x)=4,则x=±4,g(a)=8,此时与函数g(a)的最大值为4矛盾,故D错误.故选B.
高考真题 教材典题
(2024·全国甲卷)已知a>1且,则a=____. (人教A版必修第一册P127习题4.3T5)已知lg 2=a,lg 3=b,求下列各式的值:
(1)lg6;(2)log34;(3)log212;
(4)lg.
考教衔接
解析:因为,所以(log2a)2-5log2a-6=0,则log2a=-1或log2a=6.又a>1,所以log2a=6=log226,故a=26=64.
64
课时作业11
1.(5分)已知函数f(x)=(m2+m+1)是幂函数,且为奇函数,则实数m的值为(　 　)
A.0或-1 B.-1
C.4 D.0
解析:由题意得m2+m+1=1,所以m2+m=0,所以m(m+1)=0,解得m=0或m= -1,当m=0时,f(x)==x-2,为偶函数,故m=0不符合题意,当m=-1时,f(x)==x,为奇函数,故m=-1符合题意.综上所述,m= -1.故选B.
基础巩固
B
2.(5分)已知幂函数f(x)的图象经过点,则函数f(x)的图象大致为(　 　)
B
解析:设幂函数的解析式为f(x)=xα,因为其图象经过点,所以2α=,解得α=-2,于是f(x)=x-2=,则该函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,又f(-x)==f(x),所以函数f(x)为偶函数,图象关于y轴对称,排除C,D.当x>0时,函数单调递减,排除A.故选B.
3.(5分)已知a=,b=,c=1,则a,b,c的大小关系是 (　　)
A.aC.c解析:因为c=1=,y=在(0,+∞)上单调递增,<1<3,所以,则aB
4.(5分)(2025·四川乐山三模)已知2lg 2=m,10n=3,则1的值为(　 　)
A.
C.
解析:由2lg 2=m可得1=2,又因为10n=3,所以1.故选B.
B
5.(5分)若5x-1+5x-2=150,则(x+1)(x+2)= (　 　)
A.6 B.12
C.20 D.30
解析:设x-2=t,则x=t+2,所以5x-1+5x-2=5t+1+5t=6×5t=150,则t=2,所以x=4,所以(x+1)(x+2)=5×6=30.故选D.
D
6.(5分)已知a=log52,2b=3,则log1210= (　 　)
A.
C.
解析:∵2b=3,∴b=log23,∵a=log52=,∴log25=,∴log1210=.故选C.
C
7.(6分,多选)已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0.若a,b∈R,且f(a)+f(b)的值为负数,则下列结论可能成立的是(　 　)
A.a+b<0,ab=0 B.a+b<0,ab>0
C.a+b<0,ab<0 D.a+b>0,ab>0
ABC
解析:∵函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,∴m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.∵对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.当m=2时,f(x)=x3,满足题意,当m=-1时,f(x)=x-3=,不满足题意,∴f(x)=x3,∴f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.∵f(a)+f(b)的值为负数,∴f(a)+f(b)=a3+b3<0 a3<(-b)3 a<-b a+b<0.当a=0,b<0时,ab=0,故A可能成立;当a<0,b<0时,ab>0,故B可能成立;当a>0,b<0,|b|>|a|时,ab<0,故C可能成立.故选ABC.
8.(6分,多选)下列各式正确的有 (　 　)
A.若a>0,则
B.若3a+2b=1,则
C.=lg 3
D.若loga2=m,loga3=n,a>0且a≠1,则am+2n=18
ABD
解析:对于A,因为a>0,所以,故A正确;对于B,因为3a+2b=1,所以,故B正确;对于C,
=log310≠lg 3,故C错误;对于D,因为loga2=m,loga3=n,a>0且a≠1,所以am=2,an=3,所以am+2n=am(an)2=18,故D正确.故选ABD.
9.(5分)(2026·河北石家庄一模)已知f(x)为幂函数,f(2)=4,则log2f=____.
解析:设f(x)=xα,由f(2)=4可得2α=4,解得α=2,则f(x)=x2,于是log2f=log22-2=-2.
-2
10.(5分)已知a,b>0,log2a=1.7,log2=-0.15,则=__.
解析:因为log2log2b=-0.15,所以log2b=-0.3.又log2a=1.7,所以log2=log2a-log2b=1.7-(-0.3)=2,所以=4.
4
11.(18分)(1)计算:.
解:由于=8,
=1,=2×3=6,
2log183+=log189+log182=1,
因此原式=8+1+6+1=16.
(2)已知2lg(m-4n)=lg(2m)+lg n,求的值.
解:由已知得m>4n>0,则>4.
由2lg(m-4n)=lg(2m)+lg n,得lg(m-4n)2=lg(2mn),
所以(m-4n)2=2mn,化简得m2-10mn+16n2=0,
所以(m-2n)(m-8n)=0,
得m=8n或m=2n(舍去),
从而可得=8.
12.(20分)(1)计算:.
解:原式=.
(2)计算:(lg 2)2+lg 2×lg 50+lg 25+lg 0.01.
解:原式=lg 2×(lg 2+lg 50)+lg 52+lg 10-2=lg 2×lg 100+2lg 5-2=2(lg 2+ lg 5)-2=2-2=0.
(3)已知=1,求的值.
解:对=1两边平方,可得()2=12,即a-2+a-1=1,所以a+ a-1=3.
对a+a-1=3两边平方,可得(a+a-1)2=32,即a2+2+a-2=9,所以a2+a-2=7.
所以.
13.(5分)已知幂函数f(x)=(2m2-9m+10)xm-1是偶函数,若函数y=
在(2,4)上具有单调性,则实数a的取值范围为(　 　)
A.(-∞,2]∪[3,+∞)
B.(-∞,2)∪(3,4]
C.(-∞,2]∪[3,4]
D.(-∞,2]∪[4,+∞)
素养提升
C
解析:因为f(x)=(2m2-9m+10)xm-1是幂函数,所以2m2-9m+10=1,解得m=3或m=.当m=3时,f(x)=x2为偶函数,符合题意;当m=时,f(x)=为非奇非偶函数,不符合题意.所以f(x)=x2,则y=
在(2,4)上单调递增,则解得a≤2;若函数y=
在(2,4)上单调递减,则解得3≤a≤4.综上,实数a的取值范围为(-∞,2]∪[3,4].故选C.
14.(5分)幂函数y=xm(m≠0),当m取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图).设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα,y=xβ的图象三等分,即有BM=MN=NA,则αβ=__.
1
解析:因为A(1,0),B(0,1),BM=MN=NA,所以M,N,不妨设y=xα,y=xβ的图象分别过M,N,则,,则,所以αβ=1.
本课结束

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