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(共58张PPT)
第二章　函数的概念与基本初等函数
2.7　指数函数
2027高考数学一轮总复习
内容索引
必备知识　回顾
课时作业
关键能力　提升
考试要求 三年考情 1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念. 2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 2023 2024 2025
新课标Ⅰ卷T4 全国一卷T8

必备知识　回顾
1.指数函数的概念
函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.
2.指数函数的图象和性质
知识梳理
项目 a>1 0图象
项目 a>1 0定义域 __ 值域 __________ 性质 过定点__________,即x=0时,y=1 当x>0时,______;当x<0时, __________ 当x<0时,______;当x>0时, __________
在(-∞,+∞)上是______ 在(-∞,+∞)上是______
R
(0,+∞)
(0,1)
y>1
0y>1
0增函数
减函数
指数函数图象的特点
(1)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(0,1),(1,a),,依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象.
(2)函数y=ax与y=(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称.
(3)在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象越高,底数越大.
(4)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象以x轴为渐近线;y=ax+b的图象恒过定点(0,1+b),且以直线y=b为渐近线.
知识拓展
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)函数y=2x-1是指数函数. (　 　)
(2)函数y=2x+1的值域是(0,+∞). (　 　)
(3)2-3>2-4. (　 　)
(4)若am0,且a≠1),则m基础检测
×
×
√
×
2.(人教B版必修第二册P13练习BT1改编)已知a=1.0010.001,b=0.9990.999,则(　 　)
A.a>b>1 B.a>1>b
C.a解析:由指数函数的性质可得a=1.0010.001>1.0010=1, b= 0.9990.999 < 0.9990=1,∴a>1>b.故选B.
B
3.(人教A版必修第一册P120习题4.2T10改编)函数f(x)=0.的单调递减区间为__________.
解析:复合函数f(x)=0.可以分为外层函数y=0.7u与内层函数u=x2-2x,因为外层函数y=0.7u在R上单调递减,根据复合函数单调性“同增异减”的性质,所以求f(x)的单调递减区间等价于求内层函数u=x2-2x的单调递增区间,易知u=x2-2x的单调递增区间为[1,+∞),故f(x)的单调递减区间为[1,+∞).
[1,+∞)
4.(人教A版必修第一册P118练习T1改编)函数y=2x与y=的图象关于____对称.
解析:y=2-x=,所以函数y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称.
y轴
关键能力　提升
考点1 指数函数的图象及应用
【例1】　(1)设a与b均为实数,a>0且a≠1,已知函数y=ax+b的图象如图所示,则不等式x2+(a+1)x-b<0的解集为 (　 　)
A.(1,2)
B.(-2,-1)
C.(-∞,-2)∪(-1,+∞)
D.(-∞,1)∪(2,+∞)
B
【解析】由题图可知函数图象过点(0,-1)与(1,0),所以
所以不等式x2+(a+1)x-b<0,即x2+3x+2<0,即(x+1)(x+2)<0,解得-2(2)(一题多解)(2025·全国一卷)已知2+log2x=3+log3y=5+log5z,则x,y,z的大小关系不可能为(　 　)
A.x>y>z B.x>z>y
C.y>x>z D.y>z>x
B
【解析】　方法一　设2+log2x=3+log3y=5+log5z=m,
所以x=2m-2,y= 3m-3,z=5m-5,根据指数函数的单调性,
易知各方程只有唯一的根,作出函数y=2x-2,y=3x-3,y=5x-5
的图象,以上方程的根分别是函数y=2x-2,y=3x-3,y=5x-5的
图象与直线x=m的交点纵坐标,如图所示,易知,随着
m的变化可能出现x>y>z,y>x>z,y>z>x,z>y>x.故选B.
方法二　设2+log2x=3+log3y=5+log5z=m,令m=2,则x=1,y=3-1=,z=
5-3=,此时x>y>z,A有可能;令m=5,则x=8,y=9,z=1,此时y>x>z,C有可能;令m=8,则x=26=64,y=35=243,z=53=125,此时y>z>x,D有可能.故选B.
指数函数的图象及其应用策略
(1)已知函数解析式判断其图象时,可通过图象经过的定点和特殊点来进行分析判断.
(2)进行图象识别与应用时,可从基本的指数函数图象入手,通过平移、伸缩、对称等变换得到相关函数的图象.
(3)根据指数函数图象判断底数的大小问题,可通过直线x=1与图象的交点进行判断.
规律总结
【对点训练1】　(1)当a≠0时,函数y=ax+b和y=bax的图象只可能是(　 　)
A
解析:对于A,由一次函数的图象知,a>0,00,b>1,此时函数y=bax为增函数,故B错误;对于C,由一次函数的图象知,a<0,b>1,此时函数y=bax为减函数,故C错误;对于D,由一次函数的图象知,a<0,0(2)设f(x)=|2x-1|,若af(c)>f(b),则(　 　)
A.2a+2c<2 B.2a+2c<1
C.2a+2c>1 D.2a+2c>2
解析:f(x)=|2x-1|=其图象如图所示,由图可知,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,要使af(c)>f(b)成立,则有a<0且c>0(题眼:利用数形结合判断出a,c的符号),故必有2a<1且2c>1,又f(c)-f(a)<0,即2c-1-(1-2a)<0,整理得2a+2c<2.故选A.
A
考点2 指数函数的性质及应用
命题角度1　比较大小
【例2】　已知a=0.30.6,b=0.30.5,c=0.40.5,则(　 　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>c>a D.c>b>a
【解析】　根据函数y=0.3x在R上单调递减知a=0.30.6b>a.故选D.
D
命题角度2　解指数不等式
【例3】(1)解不等式:≤2.
【解】因为2=,所以原不等式可以转化为,
因为y=在R上是减函数,所以3x-1≥-1,所以x≥0,
故原不等式的解集是{x|x≥0}.
(2)已知0,且a≠1),求x的取值范围.
【解】分情况讨论:
①当00,且a≠1)在R上是减函数,
所以有x2-3x+1>x+6,即x2-4x-5>0,解得x<-1或x>5;
②当a>1时,函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在R上是增函数,
所以x2-3x+1综上所述,当05;当a>1时,-1命题角度3　指数函数的性质及应用
【例4】　已知指数函数y=f(x),且f(-2)=,定义在R上的函数g(x)=是奇函数.
(1)求f(x)和g(x)的解析式;
【解】设f(x)=ax(a>0,且a≠1),则f(-2)=a-2=,
可得a=3,f(x)=3x,则g(x)=是定义在R上的奇函数,
因此g(0)==0,g(-x)==-g(x)=,
即n=1,(3-m)(3x-1)=0对任意x∈R恒成立,所以m=3, 所以g(x)=.
(2)若对任意的t∈R,不等式g(t2+1)+g(2t2+2kt)<0恒成立,求实数k的取值范围.
【解】易知g(x)==-,
因此可得g(x)为定义在R上的减函数.
因为g(t2+1)+g(2t2+2kt)<0恒成立,
所以g(t2+1)<-g(2t2+2kt)=g(-2t2-2kt)恒成立,
即t2+1>-2t2-2kt恒成立,因此3t2+2kt+1>0恒成立,
可得Δ=4k2-12<0,解得k∈(-,).
1.比较指数式的大小的方法
(1)能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小.
(2)不能化成同底数的,一般引入“0”或“1”等中间量比较大小.
2.指数不等式的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.
3.涉及指数函数的综合问题,首先要掌握指数函数相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,一般要借助“同增异减”这一性质分析判断.
易错警示:在研究指数型函数的单调性时,当底数a与“1”的大小关系不确定时,要分类讨论.
规律总结
【对点训练2】　(1)(人教A版必修第一册P117例3改编)已知a=20.3,b=0.20.3,c=0.20.6,则(　 　)
A.b>a>c B.a>c>b
C.b>c>a D.a>b>c
解析:因为y=x0.3在(0,+∞)上单调递增,所以20.3>0.20.3,因为y=0.2x在R上单调递减,所以0.20.3>0.20.6,所以a>b>c.故选D.
D
(2)(多选)已知函数f(x)=+b,则下列叙述正确的是(　 　)
A.当a=0,b=1时,函数图象过点
B.当a=1时,函数在区间(2,+∞)上是增函数
C.当a=b=1时,函数f(x)的值域是(1,3]
D.当b=0时,若函数f(x)有最大值2,则a=1
CD
解析:对于A,当a=0,b=1时,f(x)=,所以函数图象不经过点,故A错误.对于B,当a=1时,f(x)=+b.令t=x2-4x+3=(x-2)2-1,二次函数t=(x-2)2-1图象的对称轴为直线x=2,在区间(2,+∞)上,t随x的增大而增大.又因为指数函数y=是减函数,根据复合函数“同增异减”的原则,可知f(x)在区间(2,+∞)上是减函数,故B错误.对于C,当a=b=1时,t=x2-4x+3=(x-2)2-1,因为(x-2)2≥0,所以t=(x-2)2-1≥-1.函数y=在t≥-1
时,0<=2,则1<+1≤3,即函数f(x)的值域是(1,3],故C正确.对于D,当b=0时,f(x)=.若a=0,则f(x)=,此时函数无最大值.若a≠0,令u=ax2-4x+3,要使f(x)有最大值2,则y=在u取最小值时f(x)取最大值.对于二次函数u=ax2-4x+3,其图象的对称轴为直线x=(a≠0),则当a>0,且x=时,umin=3-,因为f(x)的最大值为2,所以,所以3-=-1,解得a=1,故D正确.故选CD.
高考真题 教材典题
1.(2025·北京卷)为得到函数y=9x的图象,只需把函数y=3x的图象上的所有点 (　 　) A.横坐标变成原来的倍,纵坐标不变 B.横坐标变成原来的2倍,纵坐标不变 C.纵坐标变成原来的倍,横坐标不变 D.纵坐标变成原来的3倍,横坐标不变 1.(人教A版必修第一册P118练习T1)在同一直角坐标系中画出函数y=3x和y=的图象,并说明它们的关系.
考教衔接
A
解析:因为y=9x=32x,所以将函数y=3x的图象上所有点的横坐标变成原来的倍,纵坐标不变,即可得到函数y=9x的图象.故选A.
高考真题 教材典题
2.(一题多解)(2023·天津卷)设a=1.010.5, b= 1.010.6, c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为(　 　) A.a(1)30.8,30.7;
(2)0.75-0.1,0.750.1;
(3)1.012.7,1.013.5;
(4)0.993.3,0.994.5.
D
解析:方法一　因为函数f(x)=1.01x是增函数,且0.6>0.5>0,所以1.010.6>1.010.5>1,即b>a>1.因为函数g(x)=0.6x是减函数,且0.5>0,所以0.60.5<0.60=1,即c<1.综上,b>a>c.故选D.
方法二　因为函数f(x)=1.01x是增函数,且0.6>0.5,所以1.010.6>1.010.5,即b>a.因为函数h(x)=x0.5在(0,+∞)上单调递增,且1.01>0.6>0,所以1.010.5>0.60.5,即a>c.综上,b>a>c.故选D.
课时作业12
1.(5分)(2026·北京海淀区一模)函数f(x)=a2x-1+1(a>0,且a≠1)的图象一定经过点(　 　)
A.
C.(0,2)　 D.(0,1)
解析:令2x-1=0,则x=,则f=1+1=2,所以函数f(x)=a2x-1+1(a>0,且a≠1)的图象一定过点.故选A.
基础巩固
A
2.(5分)设a=0.30.2,b=1.10.2,c=1.10.3,则(　 　)
A.aC.b解析:因为函数y=1.1x单调递增,所以1<1.10.2<1.10.3,故1A
3.(5分)若,则实数a的取值范围是(　 　)
A. B.(1,+∞)
C.(-∞,1) D.
解析:因为y=在R上单调递减,,所以2a+1>8-2a,解得a>.故选A.
A
4.(5分)设指数函数C1:y=ax,C2:y=bx,C3:y=cx的图象如图,则(　 　)
A.0B.0C.1D.0A
解析:如图:作直线x=1,得到直线与三个指数函数图象的交点分别为(1,a),(1,b),(1,c),由图可知05.(5分)已知函数f(x)=在区间(1,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是(　 　)
A.[4,+∞) B.(4,+∞)
C.(-∞,4] D.(-∞,4)
C
解析:因为函数g(x)=为R上的减函数,所以根据复合函数的单调性可知,要使函数f(x)=在区间(1,+∞)上单调递减,则函数h(x)=2x2-ax在区间(1,+∞)上单调递增(提示:对于形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数的单调性的判断,常用复合函数法.当a>1时,函数y=af(x)与函数y=f(x)的单调性相同;当06.(5分)已知函数f(x)=,则下列结论错误的是 (　 　)
A.函数f(x)的定义域为R
B.函数f(x)的值域为(-1,1)
C.函数f(x)的图象关于y轴对称
D.函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增
C
解析:对于A,由3x>0恒成立,知函数f(x)的定义域为R,故A正确;对于B,f(x)=,由3x>0,得3x+1>1,故∈(0,2),则f(x)∈(-1,1),故B正确;对于C,f(-x)==-f(x),故f(x)的图象关于点(0,0)对称,故C错误;对于D,由B知f(x)=1-,又y=3x+1>1且为增函数,所以y=为减函数,则f(x)=1-在(-∞,+∞)上单调递增,故D正确.故选C.
7.(6分,多选)(一题多解)已知非零实数a,b满足等式,则下列结论不可能成立的是(　 　)
A.0C.0解析:方法一　在同一平面直角坐标系中作出函数y=的图象如图所示,设=M,当M>1时,结合图象可得,ab>0.故选CD.
CD
方法二　将等式两边同时取对数,得aln,即aln 2=
bln 3,又a≠0,b≠0,则>1,所以a,b同号且|a|>|b|.故选CD.
8.(6分,多选)已知函数f(x)=,则(　 　)
A.函数f(x)的图象恒过定点(0,9)
B.当a=2时,函数f(x)的图象关于直线x=1对称
C.当a=5时,函数f(x)的单调递减区间为
D.若函数f(x)的值域为[1,+∞),则实数a的取值范围为(-∞,-4]∪[4,+∞)
ABD
解析:对于A,由f(0)=9,可得函数f(x)的图象恒过定点(0,9),故A正确;对于B,当a=2时,f(x)=,又f(2-x)==f(x),可得f(x)的图象关于直线x=1对称,故B正确;对于C,当a=5时,f(x)=,令x2-5x+4≥0,解得x≥4或x≤1,因为y=3u是R上的增函数,u=在(-∞,1]上单调递减,在[4,+∞)上单调递增,所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1],故C错误;对于D,由f(x)的值域为[1,+∞),可得y=的值域为[0,+∞),则Δ=a2-16≥0,解得a≤-4或a≥4,故D正确.故选ABD.
9.(5分)已知f(x)=ax+2(a>0,且a≠1),且在区间[1,2]上,f(x)≥恒成立,则实数a的取值范围是______________________.
解析:“在区间[1,2]上,f(x)≥恒成立”等价于“在区间[1,2]上,f(x)min≥”.①当a>1时,f(x)在[1,2]上单调递增,此时f(x)=ax+2∈[a3,a4],由a3≥,解得a≥,故a>1;②当0[,1)∪(1,+∞)
10.(5分)已知函数f(x)=|2x-1|,x∈(-1,+∞),若f(b)-f(a)=,则b-a的取值范围为______.
解析:作出f(x)的图象如图所示,x∈(-1,0)时,f(x)∈;x∈(0,+∞)时,f(x)∈(0,+∞),由2x-1=,得x=log2,则b∈,所以当a→+∞,b→+∞时,f(b)-f(a)==2b-1-(2a-1)=2b-2a,根据指数函数的“爆炸”增长速度可知b-a→0,当a→-1时,f(a)→,此时令f(b)→1,b-a最大,此时b→1,所以b-a<2,所以b-a的取值范围为(0,2).
(0,2)
11.(19分)已知指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象过点(-2,9).
(1)求a的值;
解:因为指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象过点(-2,9),
所以f(-2)=a-2=9,解得a=±,又因为a>0,所以a的值为.
(2)若f(m)=2,f(n)=,求m+n的值;
解:由(1)知f(x)=,因为f(m)=2,f(n)=,即=2,,
所以m=lo2,n=lo,
故m+n=lo5=-log35.
(3)求不等式f(x2-5x-6)>1的解集.
解:因为f(x2-5x-6)>1,
所以,
因为函数f(x)=在R上单调递减,所以x2-5x-6<0,解得-112.(19分)已知结论:设函数f(x)的定义域为R,a,b∈R,若f(a+x)+f(a-x)=2b对任意x∈R恒成立,则f(x)的图象关于点(a,b)中心对称,反之亦然.特别地,当a=b=0时,f(x)的图象关于原点对称,此时f(x)为奇函数.设定义在R上的函数f(x)=,满足f(1)=,f(-1)=.
(1)求函数f(x)的解析式;
解:由题意可得
解得故f(x)=.
(2)计算f(x)+f(-x)的值,并根据结论写出函数f(x)的图象的对称中心;
解:f(x)+f(-x)=1+=3,故f(x)的图象关于点中心对称.
(3)若对任意x∈[-1,2],均有f(4x+m)+f(-2x+2)≤3恒成立,求实数m的取值范围.
解:由f(x)+f(-x)=3,得f(x)=3-f(-x),则f(4x+m)≤3-f(-2x+2)=f(2x+2),
因为y=2x+1在R上单调递增且恒为正,所以f(x)=1+在R上单调递减,故4x+m≥2x+2在x∈[-1,2]上恒成立,
令t=2x,x∈[-1,2],则t=2x∈,则有t2-4t+m≥0在t∈上恒成立,
即m≥-t2+4t=-(t-2)2+4在t∈上恒成立,
因为函数y=-(t-2)2+4在上单调递增,在[2,4]上单调递减,所以-(t-2)2+4≤4,则m≥4,故实数m的取值范围为[4,+∞).
13.(5分)(2025·甘肃白银二模)已知2 025m=2 024,x=2 024m-2 023,y= 2 026m-2 025,则(　 　)
A.yC.y<0解析:∵2 025m=2 024,∴0∴.又2 025m=2 024,∴2 024m>2 023,∴x= 2 024m-2 023>0.又,且2 025m=2 024, ∴ 2 026m<2 025, ∴y=2 026m-2 025<0.∴y<0素养提升
C
14.(5分)设a>0,平行于x轴的直线l:y=a分别与函数y=2x和y=2x+1的图象交于点A,B,若函数y=2x的图象上存在点C,满足△ABC为等边三角形,则
a=.
解析:如图,由2x=a,得x=log2a,即点A(log2a,a),由2x+1=a,得x=log2a-1,即点B(log2a-1,a)(提示:根据指数式与对数式的互化求出点的坐标),所以|AB|=1.取AB的中点D,连接CD,由△ABC为等边三角形,得CD⊥AB,|CD|=.易知点C不可能在直线l的上方,因此点C,又点C在函数y=2x的图象上,所以a-,即a-,解得a=,所以满足题意的a的值为.
本课结束

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