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第一章 1.1　集合 同步讲义（解析版） 2027高考数学一轮总复习
第二章　函数的概念与基本初等函数
2.8　对数函数
2027高考数学一轮总复习
内容索引
必备知识　回顾
课时作业
关键能力　提升
考试要求 三年考情 1.通过具体实例,了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点. 2.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1). 2023 2024 2025
新课标Ⅰ卷T10
新课标Ⅱ卷T8
必备知识　回顾
1.对数函数的概念
函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是_________.
2.对数函数的图象和性质
知识梳理
项目 a>1 0图象
(0,+∞)
项目 a>1 0性质 定义域:____________ 值域:R 过定点__________ 当x>1时,y>0; 当01时,y<0;
当00
在(0,+∞)上是______ 在(0,+∞)上是______
(0,+∞)
(1,0)
增函数
减函数
　y=logax(a>0,且a≠1)的图象经过第一、四象限,即在直线x=0的右侧.
3.反函数
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数____________(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的定义域与值域正好互换,它们的图象关于直线______对称.
y=logax
y=x
对数函数图象的特点
(1)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(1,0),(a,1),,依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象.
(2)函数y=logax与y=lox(a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称.
(3)如图给出4个对数函数的图象, 则b>a>1>d>c>0,即在第一象限,不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大.
知识拓展
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)函数y=log2(x+1)是对数函数. (　 　)
(2)函数y=ln与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.(　 　)
(3)当x>1时,若logax>logbx,则a(4)函数y=log2x与y=lo的图象重合. (　 　)
基础检测
×
√
×
√
2.(一题多解)(人教A版必修第一册P141习题4.4T13(1)改编)设a=log0.26,b=log0.36,c=log0.46,则 (　 　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>c>a D.c>b>a
A
解析:方法一　如图,作出函数y1=log0.2x,y2=log0.3x,y3=log0.4x的图象,
由图可知,当x=6时,log0.26>log0.36>log0.46,即a>b>c.故选A.
方法二　易知0>log60.4>log60.3>log60.2,所以,即log0.46b>c.故选A.
3.(人教B版必修第二册P27例2改编)不等式log2(2x)>log2(x-1)的解集为(　 　)
A.(0,1) B.(0,+∞)
C.(-1,+∞) D.(1,+∞)
解析:由已知得解得x>1.故选D.
D
4.(人教B版必修第二册P28练习A T5改编)已知函数f(x)=2+log3x的定义域为[1,9],则函数f(x)的值域为______.
解析:∵1≤x≤9,∴log31≤log3x≤log39,即0≤log3x≤2,即2≤f(x)≤4,则函数f(x)的值域为[2,4].
[2,4]
关键能力　提升
考点1 对数函数的图象及应用
【例1】　(1)设a>0且a≠1,b∈R,函数f(x)=ax-b,g(x)=loga(x+b),则函数f(x),g(x)在同一平面直角坐标系内的图象可能为(　 　)
B
【解析】函数f(x)=ax-b,g(x)=loga(x+b)单调性相同,故A错误.①若01,则b<0,此时g(x)=loga(x+b)图象的渐近线为x=-b,由题图可得,0<-b<1,解得-11,则f(x)= ax-b,g(x)=loga(x+b)在定义域内单调递增,当0(2)已知函数f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是 (　 　)
A.(1,10) B.(2,8)
C.(10,12) D.(20,24)
C
【解析】　令解得1因为f(a)=f(b),所以-lg a=lg b,所以lg a+lg b=0,即lg(ab)=0,解得ab=1,由图象得f(c)∈(0,1),则-c+6∈(0,1),解得c∈(10,12),所以abc=c∈(10,12).故选C.
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在研究对数函数图象时,一定要注意其定义域,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.
规律总结
【对点训练1】　(1)已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是 (　 　)
A.0B.0C.0D.0解析:由题图易得a>1,∴0A
(2)(人教A版必修第一册P126习题4.3T1改编)若实数x,y,z互不相等,且满足2x=3y=log4z,则下列式子一定成立的是 (　 　)
A.z>x>y
B.z>y>x
C.x>y>z
D.z>x,z>y
解析:设2x=3y=log4z=k>0,则x=log2k,y=log3k,z=4k,分别作出t=log2k,t=log3k,t=4k的图象如图所示,由图可知,当k>0时,4k>log2k,4k>log3k,即z>x,z>y.故选D.
D
考点2 对数函数的性质及应用
命题角度1　比较大小
【例2】　(2026·辽宁辽阳一模)若a=-log0.220,b=log624,c=log312,则(　 　)
A.c>a>b
B.b>a>c
C.a>b>c
D.c>b>a
A
【解析】　因为a=-log0.220=log520=1+log54,b=log624=1+log64,c=log312
=1+log34(提示:底数不同,真数也不同,则化为同底对数或同真数对数),0=log41log54>log64,则c>a>b.故选A.
比较对数值大小的方法
规律总结
底数相同,真数不同 若底数为同一常数,则由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论
底数不同,真数相同 可以先用换底公式化为同底,或找0,1作为中间量,再进行比较
底数与真数都不同 常借助0,1等中间量进行比较
命题角度2　解对数不等式
【例3】　(1)不等式log2(x-1)<1的解集为______.
【解析】　因为log2(x-1)<1,所以log2(x-1)(1,3)
(2)不等式lo(2x+3)【解析】　易知lo(5x-6)3=lo(5x-6)3=lo(5x-6),由lo(2x+3)<
lo(5x-6)3可得lo(2x+3)对数不等式的两种类型及解法
(1)logax>logab:借助y=logax(a>0,且a≠1)的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0(2)logax>b:需先将b化为以a为底的对数的形式,再借助y=logax(a>0,且a≠1)的单调性求解.
规律总结
命题角度3　对数函数性质的综合应用
【例4】　已知f(x)=log2是一个奇函数.
(1)求f(x)的解析式和定义域;
【解】因为函数f(x)=log2为奇函数,所以其定义域关于原点对称,又>0,所以a=2,
当a=2时,f(x)=log2,符合题意,
由>0可得-2(2)试判断f(x)的单调性并求出f(x)的值域.
【解】f(x)=log2=
log2,
因为内层函数u=-1在(-2,2)上为减函数,外层函数y=log2u为增函数,
故函数f(x)在(-2,2)上为减函数,
当-20,
所以函数f(x)的值域为R.
解决对数型复合函数单调性问题的关注点
(1)遵循定义域优先的原则,所有问题都必须在定义域内讨论.
(2)底数与1的大小关系.
(3)复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的,判断内层函数和外层函数的单调性,运用复合函数“同增异减”原则确定函数的单调性.
规律总结
【对点训练2】　(1)(人教B版必修第二册P28练习AT3改编)已知a=log52,b=log5(log52),c=(log52)2,则a,b,c的大小关系为(　 　)
A.aC.c解析:0=log51D
(2)(多选)(2026·贵州安顺模拟)已知函数f(x)=ln,则 (　 　)
A.f(x)是奇函数
B.f(x)≥0
C.f(x)在(-2,2)上单调递减
D.f(x)在(2,+∞)上单调递增
ACD
解析:对于A,要使得函数f(x)有意义,则>0,解得x≠2且x≠-2,所以f(x)的定义域关于原点对称,且f(-x)+f(x)=ln=ln 1=0,从而f(x)是奇函数,故A正确;对于B,f(1)=ln糖水不等式
1.链接教材:(人教A版必修第一册P43习题2.1T10)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0),再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解),糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式,并证明这个不等式成立.
本题得到的不等式称为糖水不等式:
①设b>a>0,m>0,则有.
②糖水不等式的倒数形式:设a>b>0,m>0,则有.
教材深研
2.对数型糖水不等式
(1)设n∈N*,且n>1,则有log(n+1)n(2)设a>b>1,m>0,则有logab(3)上式的倒数形式:设a>b>1,m>0,则有logba>log(b+m)(a+m).
【典例】　(一题多解)已知a=3log83,b=-16,c=log45,则a,b,c的大小关系为 (　 　)
A.a>b>c B.c>a>b
C.a>c>b D.c>b>a
A
【解析】　方法一　a=3log83=log827=lo33=log23,b=-log316=log34.对任意x>y>0,m>0,>0,即>log34,即a>b,
b=log34=>log45,即b>c,所以a>b>c.故选A.
方法二　a=3log83=log827=lo33=log23,b=-log316=log34,
c=log45,利用对数型糖水不等式得log23>log34>log45,即a>b>c.故选A.
高考真题 教材典题
(2024·天津卷)设a=4.2-0.2,b=4.20.2,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为 (　 　) A.a(1)log23.4,log28.5;
(2)log0.31.8,log0.32.7;
(3)loga5.1,loga5.9(a>0,且a≠1).
考教衔接
解析:因为y=4.2x在R上单调递增,且-0.2<0<0.2,所以0<4.2-0.2<4.20<4.20.2,所以0<4.2-0.2<1<
4.20.2,即0D
课时作业13
1.(5分)若函数f(x)=4+log2x在区间[1,a]上的最大值为6,则a=(　 　)
A.2 B.4
C.6 D.8
解析:因为函数f(x)=4+log2x在(0,+∞)上单调递增,函数f(x)在区间[1,a]上的最大值为6,所以f(a)=4+log2a=6,即log2a=2,所以a=22=4.故选B.
基础巩固
B
2.(5分)函数y=|lg(x+1)|的单调递增区间是(　 　)
A.(-1,0] B.[1,+∞)
C.(-1,+∞) D.[0,+∞)
解析:y=|lg(x+1)|=的图象如图:
显然y=|lg (x+1)|的单调递增区间为[0,+∞).故选D.
D
3.(5分)已知f(x)=ax,g(x)=logax(a>0,且a≠1),若f(3)·g(3)<0,则f(x)与g(x)在同一平面直角坐标系中的图象可能是 (　 　)
C
解析:因为f(3)·g(3)<0,所以可排除B,D,当01时,f(x)与g(x)同为增函数,排除A.故选C.
4.(5分)已知a=log23,b=log46,c=log49,则 (　 　)
A.a=bC.a=c>b D.a>c>b
解析:因为a=log23=lo32=log49=c,且y=log4x在(0,+∞)上单调递增,6<9,所以log46b.故选C.
C
5.(5分)已知不等式logx(2x2+1)A.
C.
解析:当x>1时,不等式即为0<2x2+1<3x<1,所以x∈ .当03x>1,所以.综上,实数x的取值范围为.故选B.
B
6.(5分)已知函数f(x)=|log2x|,正实数m,n满足mA.2　　 B.
A
解析:根据题意作y=f(x)的图象如图:
由f(m)=f(n),07.(6分,多选)已知m>0且m≠1,则函数f(x)=lo+3的图象一定经过(　 　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:由f(x)=lo+3,m>0且m≠1,得f(0)=2logm+3=-2+3=1,即函数f(x)的图象过点(0,1),当m>1时,函数f(x)单调递增,图象过第一、二、三象限;当0AB
8.(6分,多选)(人教A版必修第一册P161复习参考题4T11改编)已知函数f(x)=ln,下列说法正确的是 (　 　)
A.f(x)的定义域为(-1,1)
B.f(x)为奇函数
C.f(x)在定义域上为增函数
D.f(x)的值域为(0,+∞)
AB
解析:对于A,由>0,解得-1在(-1,1)上,y=-1+单调递减,根据复合函数的单调性可知,f(x)在定义域上为减函数,故C错误;对于D,因为f(x)的定义域为(-1,1),所以-1+∈
(0,+∞),所以ln∈(-∞,+∞),故D错误.故选AB.
9.(5分)函数f(x)=ln x+ln(4-x)的单调递增区间为__________.
解析:令4-x>0且x>0,解得0(0,2]
10.(5分)设函数f(x)=的最大值为M,最小值为N,则M+N的值为__.
解析:由已知得f(x)=1+,因为ln(+x)+
ln[+(-x)]=ln 1=0,所以ln[+(-x)]=-ln(+x),
易知函数y=ln(+x)的定义域为R,因此函数y=ln(+x)是奇函数.令g(x)=,则g(-x)==-g(x),故g(x)为奇函数,则g(x)的最大值M1和最小值N1满足M1+N1=0.因为M=M1+1,N=N1+1,所以M+N=2.
2
11.(19分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=log2x.
(1)求函数f(x)的解析式;
解:∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0.
∵当x>0时,f(x)=log2x,
∴当x<0时,f(x)=-f(-x)=-log2(-x),
∴f(x)=
(2)若g(x)=f(x)·f,x∈[1,8],求函数g(x)的值域.
解:由题意得g(x)=log2x·log2=log2x·(log2x-2)=(log2x)2-2log2x,x∈[1,8],令log2x=t,t∈[0,3],问题等价于求h(t)=t2-2t,t∈[0,3]的值域,
∵函数h(t)=t2-2t的图象开口向上,对称轴为直线t=1,
∴h(t)在[0,1]上单调递减,在[1,3]上单调递增,
∵h(1)=1-2=-1,h(0)=0,h(3)=9-6=3,
∴h(t)min=-1,h(t)max=3,
∴函数g(x)的值域为[-1,3].
12.(19分)已知函数f(x)=logm+1(m>0,且m≠1)的图象恒经过与m无关的定点A.
(1)求点A的坐标;
解:当=1,即x=1时,由对数函数的性质可知,f(1)=logm1+1=1,所以函数图象过定点A(1,1).
(2)若偶函数g(x)=ax2+bx-c,x∈[1-2c,c]的图象过点A,求a,b,c的值;
解:因为偶函数g(x)=ax2+bx-c,x∈[1-2c,c],
所以
又函数图象过点A(1,1),所以g(1)=a-1=1,解得a=2.
(3)在(2)的条件下,若对任意的x1∈[1,2],总存在x2∈[2,4],使得g(x1)≥f(x2)-1成立,求m的取值范围.
解:由(2)知,g(x)=2x2-1,
因为对任意的x1∈[1,2],总存在x2∈[2,4],使得g(x1)≥f(x2)-1成立,所以g(x1)min≥ [f(x2)-1]min,
当x1∈[1,2]时,g(x1)min=g(1)=1,当x2∈[2,4]时,f(x2)-1=logm.
当m>1时,f(x2)-1有最小值f(2)-1=logm,所以logm≤1=logmm,解得m≥;
当013.(5分)若a=ln ,b=,c=ln,则a,b,c的大小关系是(　 　)
A.cC.c解析:a2=(ln)2===b2,又a>0,b>0,则a>b,因为函数y=ln x在(0,+∞)上单调递增,,所以ln,故a素养提升
D
14.(5分)已知函数y=f(x),若在定义域内存在实数x,使得f(-x)=-f(x),则称函数y=f(x)为定义域上的局部奇函数.若函数f(x)=log3(x+m)是[-2,2]上的局部奇函数,则实数m的取值范围是______.
解析:因为f(x)=log3(x+m)是[-2,2]上的局部奇函数,所以x+m>0在[-2,2]上恒成立,所以m-2>0,即m>2,由局部奇函数的定义,存在x∈[-2,2],使得log3(-x+m)=-log3(x+m),即log3(-x+m)+log3(x+m)=log3(m2-x2)=0,所以存在x∈[-2,2],使得m2-x2=1,即m2=x2+1,又因为x∈[-2,2],所以x2+1∈[1,5],所以m2∈[1,5],即m∈[-,-1]∪[1,].综上,m∈(2,].
(2,]
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