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第二章　函数的概念与基本初等函数
2.9　函数的图象
2027高考数学一轮总复习
内容索引
必备知识　回顾
课时作业
关键能力　提升
考试要求 三年考情 1.会用描点法及图象的平移规律画简单的函数图象. 2.能根据函数的性质辨识函数图象,能根据实际问题辨识函数图象. 3.会运用函数图象研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解集的问题. 2023 2024 2025
新课标Ⅰ卷T15 新课标Ⅰ卷T7 全国一卷T8
新课标Ⅱ卷T6
必备知识　回顾
1.利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线.
首先①确定函数的定义域,②化简函数解析式,③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等);然后列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线.
知识梳理
2.函数图象的变换
(1)平移变换
左、右平移仅仅对x而言,利用“左加右减”进行操作,若x的系数不是1,需要先把系数提出来,再进行操作.
上、下平移是对y而言,利用“上加下减”进行操作.
(2)对称变换
①y=f(x) y=____________;
②y=f(x) y=____________;
③y=f(x) y=____________;
④y=ax(a>0,且a≠1) y=________________.
-f(x)
f(-x)
-f(-x)
logax(x>0)
(3)翻折变换
①y=f(x) y=|f(x)|;
②y=f(x) y=f(|x|).
(4)伸缩变换①y=f(x) y=______;
②y=f(x) y=____________.
f(ax)
af(x)
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同.(　 　)
(2)函数y=f(1-x)的图象,可由y=f(-x)的图象向左平移1个单位长度得到.(　 　)
(3)函数y=af(x)与y=f(ax)(a>0,且a≠1)的图象相同. (　 　)
(4)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于原点对称. (　 　)
基础检测
×
×
×
×
2.(人教A版必修第一册P85练习T1改编)如图,已知图1中的图象是函数y=f(x)的图象,则图2中的图象对应的函数可能是 (　 　)
A.y=f(|x|) B.y=|f(x)|
C.y=f(-|x|) D.y=-f(-|x|)
C
解析:因为题图2中的图象是在题图1的基础上,去掉函数y=f(x)的图象在y轴右侧的部分,然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧得来的,所以题图2中的图象对应的函数可能是y=f(-|x|).故选C.
3.将函数y=x2的图象向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度后所得图象对应的函数解析式为(　 　)
A.y=(x+2)2+1 B.y=(x-2)2+1
C.y=(x-2)2-1 D.y=(x+2)2-1
解析:将函数y=x2的图象向右平移2个单位长度可得函数y=(x-2)2的图象,再将函数y=(x-2)2的图象向下平移1个单位长度后得到函数y=(x-2)2-1的图象.故选C.
C
4.(人教B版必修第二册P52复习题A组T3改编)函数f(x)=的图象为(　 　)
D
解析:函数f(x)=的定义域为{x|x≠0},且f(-x)==-f(x),函数f(x)为奇函数,当x>1时,f(x)=,函数单调递增.故选D.
关键能力　提升
考点1 作函数的图象
【例1】　作出下列函数的图象:
(1)y=;
【解】先作出y=的图象,保留y=图象中x≥0的部分,
再作出y=的图象中x>0部分关于y轴的对称部分,
即得y=的图象,如图1实线部分.
(2)y=|log2(x+1)|;
【解】将函数y=log2x的图象向左平移1个单位长度,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象,如图2.
(3)y=x2-2|x|-1.
【解】因为y=且函数为偶函数,所以先用描点法作出[0,+∞)上的图象,
再根据对称性作出(-∞,0)上的图象,得图象如图3.
函数图象的画法
规律总结
注意:(1)画函数的图象一定要明确定义域,讨论性质时可简化作图,如奇偶性可只作一半,周期性可只作一周期内的图象.
(2)图象变换时,注意顺序:先平移后伸缩与先伸缩后平移结果不同.
【对点训练1】　作出下列函数的图象:
(1)y=sin|x|;
解:当x≥0时,y=sin|x|与y=sin x的图象完全相同,又y=sin|x|为偶函数,图象关于y轴对称,其图象如图1.
(2)y=.
解:y=,故函数的图象可由y=的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得到,如图2所示.
考点2 函数图象的识别
【例2】　(1)(2025·天津卷)已知函数y=f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能为(　 　)
A.f(x)=
B.f(x)=
C.f(x)=
D.f(x)=
D
【解析】　由题图可知函数为偶函数,而函数f(x)=和函数f(x)=为奇函数,故排除A,B;又当x∈(0,1)时,1-x2>0,x2-1<0,此时f(x)=>0,f(x)=<0,由题图可知当x∈(0,1)时,f(x)<0,故C不符合,D符合.故选D.
(2)(2025·湖南长沙二模)函数f(x)=的部分图象大致是(　 　)
D
【解析】　由f(x)=有意义可得x2+|x|-2≠0,故|x|2+|x|-2=(|x|-1)(|x|+2)≠0,所以x≠-1且x≠1,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪ (-1,1)∪(1,+∞),定义域关于原点对称,又f(-x)==-f(x),所以函数f(x)为奇函数,所以函数f(x)的图象关于原点对称,令f(x)=0,可得ex-e-x=0,所以e2x=1,故x=0,所以函数f(x)有且仅有一个零点,零点为0,当0时,f(x)<0,A中的图象不关于原点对称,B中的图象在(0,1)内的函数值为正,C中的图象对应的函数有3个零点,故A,B,C中的图象不能同时满足上述所有要求,而D中的图象同时满足上述所有要求.故选D.
1.由函数解析式确定函数图象的两个关键点
(1)利用函数的解析式,判断函数的奇偶性,再根据奇偶函数图象的对称性,排除不合适的选项.
(2)利用特值法,根据函数在某区间上的函数值的符号或极限思想,对不合适的选项进行排除.
2.由函数图象判断其解析式的关键
会观图,从图象的左、右位置,判断函数的定义域;从图象的上、下位置,判断函数的值域;从图象的变化趋势,判断函数的单调性;从图象的对称性,判断函数的奇偶性.从而把不合适的解析式排除.
规律总结
【对点训练2】　(1)(人教A版必修第一册P91习题3.3T1改编)函数f(x)=的图象大致是 (　 　)
A
解析:因为f(x)的定义域为R,且f(-x)==-f(x),所以f(x)是奇函数,故排除B,C,若x∈,则lg(x2+e)>0, sin x>0,f(x)=>0,故排除D.故选A.
(2)(人教A版必修第一册P139练习T4改编)函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能为 (　 　)
A.f(x)=
B.f(x)=
C.f(x)=
D.f(x)=
B
解析:由题图可知f(x)的图象关于原点对称,则f(x)为奇函数.对于A,f(x)=的定义域为R,定义域关于原点对称,f(-x)==f(x),所以f(x)=为偶函数,不符合题意,故A错误;对于C,f(x)=的定义域为R,定义域关于原点对称,f(-x)==f(x),所以f(x)=为偶函数,不符合题意,故C错误;对于D,f(x)=的定义域为R,定义域关于原点对称, f(-x)==-=-f(x),所以f(x)=为奇函数,当x>0时,ex>e-x>0,x2+2>0,所以f(x)>0恒成立,不符合题意,故D错误.故选B.
考点3 函数图象的应用
命题角度1　利用图象研究函数的性质
【例3】(多选)(2026·四川成都模拟)对任意两个实数a,b,定义min{a,b}=若f(x)=2-x2,g(x)=x2,F(x)=min{f(x),g(x)},则 (　 　)
A.F(x)是偶函数
B.方程F(x)=0有三个不同的解
C.F(x)在区间[-1,1]上单调递增
D.F(x)有4个单调区间
ABD
【解析】　根据函数f(x)=2-x2与g(x)=x2,画出函数F(x)=min{f(x),g(x)}的图象,如图.对于A,由图象可知,函数F(x)=min{f(x),g(x)}的图象关于y轴对称,故A正确;对于B,函数F(x)的图象与x轴有三个公共点,所以方程F(x)=0有三个不同的解,故B正确;对于C,D,函数F(x)在(-∞,-1]上单调递增,在(-1,0)上单调递减,在[0,1]上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,故C错误,D正确.故选ABD.
命题角度2　利用函数的图象解不等式
【例4】　定义在R上的函数f(x)满足f(x)在[1,+∞)上单调递减,f(x)=f(2-x),f(-4)=0,则不等式(x+1)f(2x-2)<0的解集为______.
【解析】　因为f(x)=f(2-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,又f(x)在[1,+∞)上单调递减,且f(6)=f(-4)=0,作出函数f(x)的示意图如图,令t=2x-2,则不等式(x+1)·f(2x-2)<0等价于·f(t)<0,则
即
(4,+∞)
解得t>6,即2x-2>6,所以x>4,即不等式(x+1)f(2x-2)<0的解集为(4,+∞).
命题角度3　利用函数的图象求参数的取值范围
【例5】　已知0A.
C. D.(0,1)
A
【解析】　因为当x∈时,函数f(x)=loga(-4x2+logax)的图象恒在x轴下方,所以f(x)=loga(-4x2+logax)<0对任意x∈恒成立,又01对任意x∈恒成立,即logax>4x2+1,x∈恒成立,在同一坐标系中作出函数y=logax,y=4x2+1在上的图象,如图所示,由图象知,只需loga+1=2,解得a≥,又01.当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难,但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为图象的位置关系问题,从而利用数形结合思想求解.
2.利用图象求参数时,要准确分析函数图象上的特殊点,借助函数图象,把原问题转化为数量关系较明确的问题.
规律总结
【对点训练3】　(1)若定义在R上的偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递增,且f(-2)=0,则满足xf(x)<0的x的取值范围是 (　 　)
A.(-∞,-2)∪(0,2)
B.(-2,0)∪(2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-2,2)
B
解析:因为定义在R上的偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递增,且f(-2)=0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(2)=0,画出示意图如图所示,由xf(x)<0可得解得x>2或-2(2)已知函数f(x)=|x-3|-|x+1|,则下列描述中正确的是 (　 　)
A.函数f(x)的图象关于直线x=1对称
B.函数f(x)的图象关于点(1,0)对称
C.函数f(x)有最小值,无最大值
D.函数f(x)的图象是两条射线
B
解析:函数f(x)=|x-3|-|x+1|的图象如图所示,由图可得,对于A,函数f(x)的图象无对称轴,故A错误;对于B,函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,故B正确;对于C,函数f(x)有最小值,有最大值,故C错误;对于D,函数f(x)的图象是两条射线和一条线段,故D错误.故选B.
(3)设函数f(x)=|x2-2x|-ax-a,其中a>0,若只存在两个整数x,使得f(x)<0,则
实数a的取值范围是.
解析:因为f(x)=|x2-2x|-ax-a<0,所以|x2-2x|课时作业14
1.(5分)将函数y=|-x2+1|+2的图象向左、向下分别平移2个、3个单位长度,所得图象为(　 　)
基础巩固
C
解析:因为y=
可得函数的大致图象如图所示,将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度,所得函数图象为C中的图象.故选C.
2.(5分)函数f(x)=+1的图象是 (　 　)
B
解析:函数f(x)=+1,把函数y=-的图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,即可得到函数f(x)的图象.故选B.
3.(5分)(2025·辽宁盘锦三模)函数f(x)=6cos 2x-x2在[-π,π]上的大致图象为 (　 　)
A
解析:对于f(x)=6cos 2x-x2,当x∈时,2x∈(0,π),因为y=cos 2x和y=-x2在上都是减函数,所以f(x)在上单调递减,故排除C,D;当x∈时,2x∈,sin 2x<-,因为f'(x)=-12sin 2x-2x>6>0,所以f(x)在上单调递增,排除B.故选A.
4. (5分)已知函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能是(　 　)
A.f(x)=-2cos x
B.f(x)=-2sin x
C.f(x)=ln|x|-e|x|
D.f(x)=ln|x|-x2
C
解析:由题图可知f(x)的图象关于y轴对称,即f(x)为偶函数,各选项中函数f(x)的定义域都是(-∞,0)∪(0,+∞).对于A,f(-x)=-2cos(-x)=- 2cos x=f(x),为偶函数,对于B,f(-x)=--2sin(-x)=-=-f(x),为奇函数,对于C,f(-x)=ln|-x|-e|-x|=ln|x|-e|x|=f(x),为偶函数,对于D,f(-x)=ln|-x|-(-x)2=ln|x|-x2=f(x),为偶函数,排除B.由题图可知f(1)<-2,对于A,f(1)=1-2cos 1>-2,不符合题意;对于C,f(1)=ln 1-e=-e<-2,符合题意;对于D,f(1)=ln 1-1=-1>-2,不符合题意.故选C.
5.(5分)若f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x-4,则不等式f(x)≥0的解集为 (　 　)
A.[-2,2]
B.[-2,0]∪[2,+∞)
C.[-2,0)∪[2,+∞)
D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
B
解析:因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,结合题意作出f(x)的大致图象,如图所示,由图可知,不等式f(x)≥0的解集为[-2,0]∪[2,+∞).故选B.
6.(5分)函数f(x)=的图象上关于坐标原点对称的点共有(　 　)
A.3对 B.2对
C.1对 D.0对
B
解析:作出函数f(x)=
的图象如图所示,再作出y=2x2+4x+1,x<0的图象关于原点对称的图象,记为曲线C,由图可知,y=f(x),x≥0的图象与曲线C有且只有两个交点,所以满足条件的对称点有两对.故选B.
7.(5分)已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax恒成立,则a的取值范围是(　 　)
A.(-∞,0] B.(-∞,1]
C.[-2,1] D.[-2,0]
D
解析:由y=|f(x)|的图象(如图所示)知,①当x>0时,只有a≤0时才能满足|f(x)|≥ax恒成立.
②当x≤0时,y=|f(x)|=|-x2+2x|=x2-2x.故由|f(x)|≥ax,得x2-2x≥ax.当x=0时,不等式为0≥0成立;当x<0时,不等式等价于x-2≤a.∵x-2<-2,∴a≥-2.综上可知,a∈[-2,0].故选D.
8.(5分)用max{f(x),g(x)}表示f(x),g(x)中的最大者,用min{f(x),g(x)}表示f(x),g(x)中的最小者,若函数h(x)=min在(0,a)上有最大值,则(　 　)
A.h(x)是奇函数
B.h(x)在(0,a)上的最大值是2
C.h(x)的值域是(-∞,-1)∪[0,1]
D.a的取值范围是(1,+∞)
D
解析: h(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),在同一坐标系中分别作出函数y=x2,y=x3,y=的图象,取y=x2与y=x3的图象中较高的曲线,再与y=的图象对比取较低的曲线,得到函数h(x)的图象,如图所示.对于A,因为图象不关于原点对称,所以h(x)不是奇函数,故A错误;对于D,因为h(x)在(0,a)上有最大值,所以a>1,故D正确;对于B,h(x)在(0,a)上的最大值是1,故B错误;对于C,由图象知h(x)的值域是(-∞,0)∪(0,1],故C错误.故选D.
9.(8分,多选)对于实数x,记[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3, [-1.08]=-2,定义函数f(x)=x-[x],则下列说法中正确的是 (　 　)
A.f(-3.5)=f(1.5)
B.函数f(x)的最大值为1
C.函数f(x)的最小值为0
D.当x∈[0,1)时,f(x)=x+1
AC
解析:根据题意,画出函数f(x)=x-[x]的大致图象,如图.对于A,f(-3.5)=-3.5-(-4)=0.5,f(1.5)=1.5-1=0.5,故A正确;对于B,f(x)无最大值,故B错误;对于C,f(x)在定义域内有最小值0,故C正确;对于D,当x∈[0,1)时,f(x)=x,故D错误.故选AC.
10.(8分,多选)(2025·山西临汾二模)函数f(x)=aex-ln x的图象可以是(　 　)
ABD
解析:当a=0时,f(x)=-ln x,故A符合;当a<0时,f(x)=aex-ln x在(0,+∞)上单调递减,且f(1)=ae-ln 1<0,故B符合;当a>0时,由f'(x)=aex-为(0,+∞)上的增函数,令f'(x)=0,则aex-=0,即a=,由y=ex·x,可得y'=ex(x+1)>0,所以y=ex·x在(0,+∞)上单调递增,所以y=ex·x>e0×0=0,所以a=有唯一解x0∈(0,+∞),当x∈(0,x0)时,f'(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,故D符合;由以上分析可知,C不符合.故选ABD.
11.(8分,多选)已知函数f(x)=|ln(2+x)|-|ln(2-x)|,则下列判断正确的是(　 　)
A.函数y=f(x)是奇函数
B.函数y=f(x)的最大值是ln 3
C.函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称
D.函数y=f(x)的图象与直线y=-x有三个交点
AD
解析:对于A,由得函数的定义域为(-2,2),f(-x)=|ln(2-x)|-|ln(2+x)|=-f(x),故函数y=f(x)是奇函数,故A正确;对于B,由于函数y=f(x)是奇函数,先考虑x∈(0,2)的情况,当x∈(0,1)时,f(x)=ln(2+x)-ln(2-x)=ln,此时函数在区间(0,1)上单调递增,因为x∈(0,1),所以∈(2,4), ln∈(0,ln 3),当x∈[1,2)时,f(x)=ln(2+x)+ln(2-x)=ln(4-x2),此时函数在区间[1,2)上单调递减,
因为x∈[1,2)时,4-x2∈(0,3],ln(4-x2)∈(-∞,ln 3],所以x∈(0,2)时,f(x)∈(-∞,ln 3],由奇函数的性质,得当x∈(-2,0)时,f(x)∈[-ln 3,+∞),故B错误;对于C,由函数的定义域为(-2,2), 可知函数y=f(x)的图象不关于直线x=1对称,故C错误;对于D,如图所示,结合选项B可知,当x→-2时,f(x)→+∞,当x→2时,f(x)→-∞,所以函数f(x)的图象与直线y=-x有三个交点,故D正确.故选AD.
12.(5分)已知f(x)=2x,g(x)=x+1,则不等式f(x)>g(x)的解集为____________________.
解析:在同一坐标系内作出函数y=f(x),y=g(x)的图象,如图,观察图象知,当x<0或x>1时,f(x)>g(x),所以不等式f(x)>g(x)的解集为 (-∞,0)∪(1,+∞).
(-∞,0)∪(1,+∞)
13. (5分)已知函数f(x)的图象由如图所示的两条线段组成,则下列关于函数f(x)的说法:
①f(f(1))=3;
②f(2)>f(0);
③f(x)=2|x-1|-x+1,x∈[0,4];
④ a>0,不等式f(x)≤a的解集为.
其中正确的有____.(填序号)
①③
解析:对于①,由题图可得f(1)=0,所以f(f(1))=f(0)=3,故①正确;对于②,f(0)=f(4)=3,且f(x)在[1,4]上单调递增,所以f(2)14.(5分)已知函数f(x)=,函数g(x)满足g(1-x)+g(1+x)=0,若f(x)与g(x)的图象有6个交点,则所有交点横坐标之和等于__.
6
解析:已知函数f(x)=,其图象如图.根据图象易知函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称;又函数g(x)满足g(1-x)=-g(1+x),易知g(x)的图象也关于点(1,0)中心对称.由f(x)与g(x)的图象均关于点(1,0)中心对称,可得两个函数图象的交点也关于点(1,0)中心对称,设其交点分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(x6,y6),根据对称性易知x1+x6=x2+x5=x3+x4=2,所以x1+x2+x3+x4+x5+x6=6.
15.(5分)若方程x|x-a|+2k=0在区间[0,2]上有解,-4+4≤a<4,则实数k的取值范围为(　 　)
A.
C.
素养提升
A
解析:设函数f(x)=因为方程x|x-a|+2k=0,即x|x-a|=-2k在区间[0,2]上有解,所以函数f(x)的图象与直线y=-2k在区间[0,2]上有交点.因为-4+4≤a<4,所以0<-2+2<2,所以函数f(x)在上单调递增,在上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.当2≤a<4时,在区间[0,2]上,f(x)max=f,f(x)min=f(0)=0,则0≤-2k≤,解得-≤a<2时,f(0)=f(a)=0,f,f(2)=4-2a,令=4-2a,解得a=-4±4,又-4+4≤a<2,所以≥4-2a,则0≤-2k≤,解得 -≤k≤0.综上,实数k的取值范围为.故选A.
16.(6分)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=2f(x-1).已知当x∈(-1,0]时,f(x)=-x(x+1).若 x∈(-∞,m],f(x)≤,则实数m的最大值是.
解析:因为f(x)=2f(x-1),且当x∈(-1,0]时,f(x)=-x(x+1),所以当x∈ (-1,0)时,f(x)≤f;当x∈(-1-k,-k],k∈N*时,f(x)=f(x+1)=f(x+2)
=…=f(x+k)=-(x+k)(x+k+1),所以当x∈(-1-k,-k],k∈N*时,
f(x)≤f<1,所以当x≤0时,f(x)<1,当x∈(-1+k,k],
k∈N*时,f(x)=2f(x-1)=22f(x-2)=…=2kf(x-k)=-2k-1(x-k)(x-k+1),所以当x∈(-1+k,k],k∈N*时,f(x)≤f=2k-3,令2k-3≤,k∈N*,
得k≤3,所以当0本课结束

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