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第六章　检测试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列命题正确的是(　D　)
A.-=
B.+=0
C.0·=0
D.++=
解析:起点相同的向量相减,则其结果应是指向被减向量,即-=
,故A错误;,是一对相反向量,它们的和应该为零向量,即+=0,故B错误;0与向量的数乘应是零向量,即0·=0,故C错误;根据向量的加法法则,++=,故D正确.
2.设点O是正三角形ABC的中心,则向量,,是(　B　)
A.相同的向量 B.模相等的向量
C.共起点的向量 D.共线向量
解析:如图,因为O是正三角形ABC的中心,所以||=||=||=
R(R为△ABC外接圆的半径),所以向量,,是模相等的向量,但方向不同.
3.已知a=2e,b=-3e,c=6e,则3a-2b+c等于(　A　)
A.18e B.-3e C.20e D.-18e
解析:3a-2b+c=3×2e-2×(-3e)+6e=18e.
4.已知向量a=(-1,2),b=(λ,6),若a∥b,则实数λ等于(　A　)
A.-3 B.3
C.-12 D.12
解析:由a∥b得-1×6=2λ,解得λ=-3.
5.加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动,处于平衡状态时,两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为200 N,则该学生的体重(单位:kg)约为(参考数据:取重力加速度大小为g=10 m/s2)(　D　)
A.60 kg B.61 kg
C.75 kg D.60 kg
解析:如图,||=||=200,∠AOB=60°,作平行四边形OACB,则OACB是菱形,=+,||=2||sin 60°=600,所以|G|=||=600,因此该学生体重约为==60(kg).
6.下列两个向量,不能作为平面中一组基底的是(　C　)
A.e1=(1,2),e2=(4,-2)
B.e1=(1,2),e2=(1,0)
C.e1=(1,2),e2=(2,4)
D.e1=(1,2),e2=(2,1)
解析:A,B,D选项,e1,e2不平行,可以作为基底;C选项,2e1=e2,所以e1,e2平行,不能作为基底.
7.如图,在7×5正方形网格中,向量a,b互相垂直,则-+等于(　C　)
A.2a+b B.-2a-b
C.-3a+b D.3a-b
解析:由题意得-+=+==-3a+b.
8.如图,在△ABC中,点O在BC边上,且=2,过点O的直线与直线AB,AC分别交于M,N两点(M,N不与点B,C重合),若=m,
=n,则等于(　C　)
A. B.
C. D.
解析: 由=2,得-=2(-),
即=+.又M,O,N三点共线,
所以可设=λ(λ>0),
则-=λ(-),
整理可得(λ+1)=+λ=m+λn,
所以=+,
所以
所以+=+=1,
即+=3,
所以=3,
所以=.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列说法正确的是(　ABC　)
A.a与b是非零向量,则a与b同向是a=b的必要不充分条件
B.A,B,C是互不重合的三点,若与共线,则A,B,C三点在同一条直线上
C.a与b是非零向量,若a与b同向,则a与-b反向
D.设λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线
解析:a与b同向,但|a|不一定与|b|相等,所以a≠b,若a=b,则a与b同向,且有|a|=|b|,所以a与b同向是a=b的必要不充分条件,A正确;与共线,则有=λ,故一定有A,B,C三点在同一条直线上,B正确;a与b同向,则a与-b反向,C正确;λ=μ=0时,a与b不一定共线,D错误.
10.设P是△ABC所在平面内的一点,且+=2,则下列结论不正确的是(　ACD　)
A.+=0
B.+=0
C.+=
D.++=0
解析:由+=2知P为AC的中点,故+≠0,+=0,
++≠0,B正确,A,D错误;=-=-,C错误.
11.已知在△ABC中,=2,=,若AD与CE交于点O,则(　AD　)
A.=+
B.=+
C.S△AOC=2S△COD
D.S△ABC=4S△BOC
解析:因为=2,=,所以=,=,所以=
+=+=+(-)=+,故A正确,B错误;因为C,O,E三点共线,故设=λ+(1-λ)=λ+(1-λ),又A,O,D三点共线,设=μ=μ(+)=μ+μ,所以解得所以==+,即O是AD上靠近D的一个四等分点,即AO=3OD,所以S△AOC=3S△COD,故C错误;S△ADC=S△COD,同理可得S△ABD=S△BOD,所以S△BOC=S△BOD+S△COD=S△ABD+S△ADC=(S△ABD+S△ADC)=
S△ABC,即S△ABC=4S△BOC,故D正确.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知向量a=(3,1),b=(1,-2),且(a-b)∥(a+mb),则实数m的值为　　　　.
解析:因为a=(3,1),b=(1,-2),
所以a-b=(2,3),a+mb=(3,1)+(m,-2m)=(3+m,1-2m),
又(a-b)∥(a+mb),所以2×(1-2m)-3×(3+m)=0,
解得m=-1.
答案: -1
13.化简下列各式:①++;②(+)++;③+++;④+++.其中结果为0的式子的序号是　　　　.
解析:对于①,++=+=0;
对于②,(+)++=+++=+=;
对于③,+++=(+)+(+)=+0=;
对于④,+++=(+)+(+)=+=0.
答案: ①④
14.已知在平行四边形ABCD中,E为BC的中点,点F为线段DE上的一点,且=λ+,则λ=　　　　,=　　　　.
解析: 设=x(x∈R),则=+=+x=+x(+).因为在平行四边形ABCD中,E为BC的中点,所以=,
=-,所以=(1-x)+x.
因为=λ+,
所以
解得λ=.
设平行四边形ABCD的高为h,△AFD的高为h1,因为=,所以h1=h,所以==.
答案:　
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
(1)求未知向量x:3(a+2b)-4(b-x)=0;
(2)化简:4(2a+3b)+3(a-b)-b.
解:(1)由3(a+2b)-4(b-x)=0,
得3a+6b-4b+4x=0,
所以x=-a-b.
(2)4(2a+3b)+3(a-b)-b=8a+12b+3a-3b-b=11a+8b.
16.(本小题满分15分)
(1)已知e1,e2是两个不共线的向量,向量a=e1+2e2,b=3e1-5e2,
求4a-3b.(用e1,e2表示)
(2)设a,b是不共线的两个非零向量.若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值.
解:(1)因为a=e1+2e2,b=3e1-5e2,
所以4a-3b=4(e1+2e2)-3(3e1-5e2)=-5e1+23e2.
(2)由a,b不共线可知ka+2b为非零向量,而8a+kb与ka+2b共线,所以存在唯一实数λ,使得8a+kb=λ(ka+2b)=λka+2λb,因为a,b不共线,所以解得k=±4.
17.(本小题满分15分)
已知向量=(4,3),=(-3,-1),点A(-1,-2).
(1)求线段BD的中点M的坐标;
(2)若点P(2,y)满足=λ(λ∈R),求λ与y的值.
解:(1)设B(x1,y1),因为=(4,3),A(-1,-2),
所以(x1+1,y1+2)=(4,3),所以所以所以B(3,1).
同理,可得D(-4,-3),
设BD的中点M(x2,y2),
则x2==-,y2==-1,
所以M(-,-1).
(2)=(3,1)-(2,y)=(1,1-y),=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4),因为=λ(λ∈R),所以(1,1-y)=λ(-7,-4)=(-7λ,-4λ),所以所以
18.(本小题满分17分)
如图,两条相交成角的直路EF,MN,交点是O,一开始,甲在OE上距O点2 km的点A处,乙在OM上距O点1 km的点B处,现在他们同时以2 km/h的速度行走,且甲沿EF方向,乙沿NM的方向,设OE同向的单位向量为e1,设OM同向的单位向量为e2.
(1)若过2 h后,甲到达点C,乙到达点D,请用e1,e2表示;
(2)若过t h后,甲到达点G,乙到达点H,请用e1,e2表示.
解:(1)若过2 h后,甲到达点C,乙到达点D,则=-2e1,=5e2,故=-=2e1+5e2.
(2)同(1)可得,经过t h后,甲到达点G,乙到达点H,
则=(-2t+2)e1,=(2t+1)e2,故=-=(2t-2)e1+(2t+1)e2.
19.(本小题满分17分)
在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2).
(1)若++=0,求的坐标;
(2)若=m+n(m,n∈R),且点P在函数y=x+1 的图象上,求m-n.
解:(1)设点P的坐标为(x,y),
则++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y).
因为++=0,
所以
解得
所以点P的坐标为(2,2),故=(2,2).
(2)设点P的坐标为(x0,y0),
因为A(1,1),B(2,3),C(3,2),
所以=(2,3)-(1,1)=(1,2),=(3,2)-(1,1)=(2,1),
因为=m+n,
所以(x0,y0)=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n),
所以
②-①得m-n=y0-x0,
又因为点P在函数y=x+1的图象上,
所以y0-x0=1,
所以m-n=1.第六章　检测试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列命题正确的是( )
A.-=
B.+=0
C.0·=0
D.++=
2.设点O是正三角形ABC的中心,则向量,,是( )
A.相同的向量 B.模相等的向量
C.共起点的向量 D.共线向量
3.已知a=2e,b=-3e,c=6e,则3a-2b+c等于( )
A.18e B.-3e C.20e D.-18e
4.已知向量a=(-1,2),b=(λ,6),若a∥b,则实数λ等于( )
A.-3 B.3
C.-12 D.12
5.加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动,处于平衡状态时,两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为200 N,则该学生的体重(单位:kg)约为(参考数据:取重力加速度大小为g=10 m/s2)( )
A.60 kg B.61 kg
C.75 kg D.60 kg
6.下列两个向量,不能作为平面中一组基底的是( )
A.e1=(1,2),e2=(4,-2)
B.e1=(1,2),e2=(1,0)
C.e1=(1,2),e2=(2,4)
D.e1=(1,2),e2=(2,1)
7.如图,在7×5正方形网格中,向量a,b互相垂直,则-+等于( )
A.2a+b B.-2a-b
C.-3a+b D.3a-b
8.如图,在△ABC中,点O在BC边上,且=2,过点O的直线与直线AB,AC分别交于M,N两点(M,N不与点B,C重合),若=m,
=n,则等于( )
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列说法正确的是(　　)
A.a与b是非零向量,则a与b同向是a=b的必要不充分条件
B.A,B,C是互不重合的三点,若与共线,则A,B,C三点在同一条直线上
C.a与b是非零向量,若a与b同向,则a与-b反向
D.设λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线
10.设P是△ABC所在平面内的一点,且+=2,则下列结论不正确的是(　　)
A.+=0
B.+=0
C.+=
D.++=0
11.已知在△ABC中,=2,=,若AD与CE交于点O,则(　　)
A.=+
B.=+
C.S△AOC=2S△COD
D.S△ABC=4S△BOC
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知向量a=(3,1),b=(1,-2),且(a-b)∥(a+mb),则实数m的值为　　　　.
13.化简下列各式:①++;②(+)++;③+++;④+++.其中结果为0的式子的序号是　　　　.
14.已知在平行四边形ABCD中,E为BC的中点,点F为线段DE上的一点,且=λ+,则λ=　　　　,=　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
(1)求未知向量x:3(a+2b)-4(b-x)=0;
(2)化简:4(2a+3b)+3(a-b)-b.
16.(本小题满分15分)
(1)已知e1,e2是两个不共线的向量,向量a=e1+2e2,b=3e1-5e2,
求4a-3b.(用e1,e2表示)
(2)设a,b是不共线的两个非零向量.若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值.
17.(本小题满分15分)
已知向量=(4,3),=(-3,-1),点A(-1,-2).
(1)求线段BD的中点M的坐标;
(2)若点P(2,y)满足=λ(λ∈R),求λ与y的值.
18.(本小题满分17分)
如图,两条相交成角的直路EF,MN,交点是O,一开始,甲在OE上距O点2 km的点A处,乙在OM上距O点1 km的点B处,现在他们同时以2 km/h的速度行走,且甲沿EF方向,乙沿NM的方向,设OE同向的单位向量为e1,设OM同向的单位向量为e2.
(1)若过2 h后,甲到达点C,乙到达点D,请用e1,e2表示;
(2)若过t h后,甲到达点G,乙到达点H,请用e1,e2表示.
19.(本小题满分17分)
在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2).
(1)若++=0,求的坐标;
(2)若=m+n(m,n∈R),且点P在函数y=x+1 的图象上,求m-n.

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