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综合检测试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数f(x)=ln(x+1)+的定义域是(　C　)
A.(-1,+∞)
B.(0,+∞)
C.(-1,0)∪(0,+∞)
D.[-1,0)∪(0,+∞)
解析:要使函数有意义,则满足
解得x>-1且x≠0,所以函数f(x)=ln(x+1)+的定义域是(-1,0)∪(0,+∞).
2.国家高度重视青少年视力健康问题,指出要“共同呵护好孩子的眼睛,让他们拥有一个光明的未来”.某校为了调查学生的视力健康状况,决定从每班随机抽取5名学生进行调查.若某班有50名学生,将学生从01到50编号,从下面所给的随机数表的第2行第4列的数开始,每次从左向右选取两个数字,则选取的第三个号码为(　D　)
0154　3287　6595　4287　5346
7953　2586　5741　3369　8324
4597　7386　5244　3578　6241
A.13 B.24 C.33 D.36
解析:根据随机数表的读取方法,第2行第4列的数为3,每次从左向右选取两个数字,所以第一组数字为32,作为第一个号码;第二组数字58,舍去;第三组数字65,舍去;第四组数字74,舍去;第五组数字13,作为第二个号码;第六组数字36,作为第三个号码,所以选取的第三个号码为36.
3.如图,已知向量a,b,c,d,e的起点相同,则c+d-e等于(　C　)
A.-b B.b
C.7a-b D.-7a+b
解析:假设图形中小正方形的边长为1,a的方向为x轴正方向,b的方向为y轴正方向,则a=(1,0),b=(0,1),c=(1,1),d=(3,-2),e=(-3,0),
所以c+d-e=(7,-1),因为7a-b=(7,0)-(0,1)=(7,-1),
所以c+d-e=7a-b.
4.已知函数f(x)=log3x与g(x)的图象关于直线y=x对称,则g(-1)等于(　B　)
A.3 B.
C.1 D.-1
解析:由题知g(x)是f(x)=log3x的反函数,所以g(x)=3x,
所以g(-1)=3-1=.
5.不透明箱子中有形状、大小都相同的5个球,其中2个白球,3个红球,现从箱子中随机摸出2个球,则2个球颜色相同的概率为(　B　)
A. B.
C. D.
解析:由题设,若白球为1,2,红球为a,b,c,则摸出两球的可能有(1,2),(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(a,b),(a,c),(b,c),共10种.其中两个球同色有(1,2),(a,b),(a,c),(b,c),共4种,所以随机摸出2个球,则2个球颜色相同的概率为=.
6.在△ABC中,D为AC的中点,E为BC上靠近B点的三等分点,则等于(　C　)
A.+ B.-+
C.- D.--
解析:=+=+=+(+)=-.
7.诺贝尔化学奖得主瑞典物化学家阿伦尼乌斯提出了电离学说,并在总结大量实验结果的基础上导出了著名的反应速率公式,即阿伦尼乌斯方程:k=A,其中k为温度T时的反应速度常数,A为阿伦尼乌斯常数,Ea为实验活化能(与温度无关的常数),T为热力学温度(单位:开),R为摩尔气体常数, e为自然对数的底数.已知某化学反应,若热力学温度为T1时,反应速度常数为k1,则当热力学温度为4T1时,反应速度常数为(　D　)
A.2k1 B.
C.A D.
解析:当温度为T1时,k1=A,当温度为4T1时,k2=A,设-=t,则k1=Aet,k2=A=·=.
8.已知函数f(x)=对于任意两个不相等实数x1,x2,都有<0成立,则实数a的取值范围是(　A　)
A.[,] B.()
C.() D.[,1)
解析:由题可得,函数f(x)为减函数,当x<1时,若f(x)单调递减,则对称轴x=2a≥1,得a≥,当x≥1时,若f(x)单调递减,则0综上,≤a≤.
二、选择题:本题共3个小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列各选项中,表示同一函数的是(　BD　)
A.f(x)=1,g(x)=x0
B.f(x)=x,g(x)=()3
C.f(x)=ln x,g(x)=ln x2
D.f(x)=22x,g(x)=4x
解析:选项A中,f(x)=1的定义域为R,g(x)=x0的定义域为{x|x≠0},所以不是同一函数;选项B中,f(x)=x,g(x)=()3的定义域均为R,且g(x)=()3=x,所以为同一函数;选项C中,f(x)=ln x的定义域为(0,+∞),g(x)=ln x2的定义域为{x|x≠0},所以不是同一函数;选项D中,f(x)=22x=4x,定义域均为R,所以为同一函数.
10.在△ABC中,D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,点G为△ABC的重心,则下述结论正确的是(　CD　)
A.+=
B.=(+)
C.++=0
D.++=0
解析:由D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,点G为△ABC的重心,
因为+=≠,故A错误;由(+)=≠, 故B错误;
因为++=(++)=0, 故C正确;因为++=
-[(+)+(+)+(+)]=-(+++++)=
0, 故D正确.
11.某商场开通三种平台销售某商品,收集一月内的平台数据如图(1),为了解消费者对各平台销售方式的满意程度,该商场用分层抽样的方法抽取了4%的顾客,并对抽取的顾客进行满意度调查,得到的数据如图(2),则下列说法正确的是(　ACD　)
A.样本容量为240
B.若样本中对平台三满意的人数为40,则m=40%
C.总体中对平台二满意的消费者人数约为300
D.样本中对平台一满意的人数为24
解析: 对于A,2 000+1 500+2 500=6 000,样本容量为6 000×4%=
240,故A正确;对于B,根据题意平台三的满意率为=40%,
m=40,故B错误;对于C,由样本估计总体,总体中对平台二满意的消费者人数约为1 500×20%=300,故C正确;对于D,样本中对平台一满意的人数约为2 000×4%×30%=24,故D正确.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.写出一个具有性质①②③的函数f(x)=　 .
①f(x)的定义域为{x|x≠0};②f(x)在(-∞,0)上单调递增;
③f(ab)=f(a)·f(b).
解析:f(x)=的定义域为{x|x≠0},在区间(-∞,0)上单调递增,且f(ab)==·=f(a)·f(b),所以f(x)=符合题意.
答案: (答案不唯一)
13.现对一批设备的性能进行抽检,第一次检测每台设备合格的概率是0.5,不合格的设备重新调试后进行第二次检测,第二次检测合格的概率是0.6,如果第二次检测仍不合格,则作报废处理. 设每台设备是否合格相互独立,则每台设备报废的概率为　　　　,检测3台设备,则恰有2台合格的概率为　　　　.
解析:①设备报废即连续两次检测都不合格,
则每台设备报废的概率
P1=(1-0.5)×(1-0.6)=0.2.
②每台设备合格的概率P2=1-P1=0.8,每台设备是否合格相互独立,则检测3台设备,恰有2台合格的概率为0.8×0.8×0.2+0.8×0.2×0.8+0.2×0.8×0.8=0.384.
答案:0.2　0.384
14.某单位为了更好地开展党史学习教育,举办了一次党史知识测试,其200名职工成绩的频率分布直方图如图所示,则这200名职工成绩的第三四分位数为　　　　.
解析:根据题意,(0.01+0.01+m+0.02+0.02)×10=1,解得m=0.04,由于前三组的频率和为0.6,前四组的频率和为0.8,所以这200名职工成绩的第三四分位数为80+×10=87.5.
答案:87.5
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
计算:(1)()+×-;
2)(lg 5)2+lg 2×lg 5+lg 4-log34×log23.
解:(1)原式=[()3]+×-3=()-1+-3=+2-3=-.
(2)原式=lg 5(lg 5+lg 2)+lg-×=lg 5+lg 2-2=1-2=-1.
16.(本小题满分15分)
设向量a=(-1,2),b=(1,-1),c=(4,-5).
(1)求|a+2b|;
(2)若c=λa+μb,λ,μ∈R,求λ+μ的值;
(3)若=a+b,=a-2b,=4a-2b,求证:A,C,D三点共线.
(1)解:a+2b=(-1,2)+(2,-2)=(1,0),
|a+2b|==1.
(2)解:(4,-5)=λ(-1,2)+μ(1,-1),
所以
解得
所以λ+μ=2.
(3)证明:因为=+=a+b+a-2b=2a-b,所以=4a-2b=2,所以∥.
又与有公共点C,
所以A,C,D三点共线.
17.(本小题满分15分)
水葫芦原产于巴西,1901年作为观赏植物引入中国.现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长.某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究,发现其蔓延速度越来越快,经过2个月其覆盖面积为18 m2,经过3个月其覆盖面积为27 m2.现水葫芦覆盖面积y(单位:m2)与经过时间x(x∈N)个月的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=p+q(p>0)可供选择.(参考数据:≈1.414,≈1.732,lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1 )
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;
(2)求原先投放的水葫芦的面积,并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1 000倍.
解:(1)因为y=kax(k>0,a>1)的增长速度越来越快,y=p+q(p>0)的增长速度越来越慢.所以依题意应选函数y=kax(k>0,a>1),则有解得
所以y=8·()x(x∈N).
(2)当x=0时,y=8,设经过x个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1 000倍.
有8·()x=8×1 000, 所以x=lo1 000 = = ≈17.04.
原先投放的水葫芦的面积为8 m2, 约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1 000倍.
18.(本小题满分17分)
某保险公司决定每月给推销员确定具体的销售目标,对推销员实行目标管理.销售目标确定的适当与否,直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性,为此,该公司当月随机抽取了50名推销员上个月的月销售额(单位:万元),绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)①根据图中数据,求出月销售额在[14,16)组内的频率;
②根据直方图估计月销售目标定为多少万元时,能够使70%的推销员完成任务 并说明理由;
(2)该公司决定从月销售额为[22,24)和[24,26)的两组中,选取2名推销员介绍销售经验,求选出的推销员来自同一组的概率.
解:(1)①月销售额在[14,16)组内的频率为
1-2×(0.03+0.12+0.18+0.07+0.02+0.02)=0.12.
②若要使70%的推销员能完成月销售额目标,则意味着30%的推销员不能完成该目标.根据题图所示的频率分布直方图知,[12,14)和[14,16)两组的频率之和为0.18,故估计月销售额目标应定为16+×2=17(万元).
(2)根据直方图可知,月销售额为[22,24)和[24,26]的频率之和为0.08,由50×0.08=4可知待选的推销员一共有4人.设这4人分别为A1,A2,B1,B2,则样本空间为Ω={A1A2,A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,B1B2},一共有6种情况,其中2人来自同一组的情况有2种,所以选出的推销员来自同一组的概率P==.
19.(本小题满分17分)
已知函数f(x)=log9(9x+1)+bx(b∈R)为偶函数.
(1)求b的值;
(2)求f(x)的最小值;
(3)若f(t(2x-2-x))解:(1)因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),所以log9(9-x+1)-bx=
log9(9x+1)+bx,
所以2bx=log9-log9(9x+1)=log99-x=-x,所以b=-.
(2)f(x)=log9(9x+1)-
=log9(9x+1)-log9
=log9
=log9(3x+),
因为3x+≥2=2,
所以log9(3x+)≥log92(当且仅当x=0时等号成立),所以f(x)的最小值为log92.
(3)f(x)=log9(3x+),任取x1,x2∈(0,+∞)且x1所以(+)-(+)=(-)+=.
因为x1,x2∈(0,+∞)且x1所以-<0,-1>0,
所以<0,
所以+<+,
所以log9(+)所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
又因为f(x)为偶函数,
所以若f(t(2x-2-x))则|t(2x-2-x)|<|22x+2-2x|,
当x=0时,即0<2,所以t∈R.
当x≠0时,|2x-2-x|>0,
所以|t|<,
设u(x)===
|2x-2-x|+≥2=2(当且仅当|2x-2-x|=时,等号成立),
因为|2x-2-x|∈(0,+∞),所以等号能成立,
所以u(x)min=2,所以|t|<2,
所以-2综上,实数t的取值范围为(-2,2).综合检测试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数f(x)=ln(x+1)+的定义域是( )
A.(-1,+∞)
B.(0,+∞)
C.(-1,0)∪(0,+∞)
D.[-1,0)∪(0,+∞)
2.国家高度重视青少年视力健康问题,指出要“共同呵护好孩子的眼睛,让他们拥有一个光明的未来”.某校为了调查学生的视力健康状况,决定从每班随机抽取5名学生进行调查.若某班有50名学生,将学生从01到50编号,从下面所给的随机数表的第2行第4列的数开始,每次从左向右选取两个数字,则选取的第三个号码为( )
0154　3287　6595　4287　5346
7953　2586　5741　3369　8324
4597　7386　5244　3578　6241
A.13 B.24 C.33 D.36
3.如图,已知向量a,b,c,d,e的起点相同,则c+d-e等于( )
A.-b B.b
C.7a-b D.-7a+b
4.已知函数f(x)=log3x与g(x)的图象关于直线y=x对称,则g(-1)等于( )
A.3 B.
C.1 D.-1
5.不透明箱子中有形状、大小都相同的5个球,其中2个白球,3个红球,现从箱子中随机摸出2个球,则2个球颜色相同的概率为( )
A. B.
C. D.
6.在△ABC中,D为AC的中点,E为BC上靠近B点的三等分点,则等于( )
A.+ B.-+
C.- D.--
7.诺贝尔化学奖得主瑞典物化学家阿伦尼乌斯提出了电离学说,并在总结大量实验结果的基础上导出了著名的反应速率公式,即阿伦尼乌斯方程:k=A,其中k为温度T时的反应速度常数,A为阿伦尼乌斯常数,Ea为实验活化能(与温度无关的常数),T为热力学温度(单位:开),R为摩尔气体常数, e为自然对数的底数.已知某化学反应,若热力学温度为T1时,反应速度常数为k1,则当热力学温度为4T1时,反应速度常数为( )
A.2k1 B.
C.A D.
8.已知函数f(x)=对于任意两个不相等实数x1,x2,都有<0成立,则实数a的取值范围是( )
A.[,] B.()
C.() D.[,1)
二、选择题:本题共3个小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列各选项中,表示同一函数的是(　　)
A.f(x)=1,g(x)=x0
B.f(x)=x,g(x)=()3
C.f(x)=ln x,g(x)=ln x2
D.f(x)=22x,g(x)=4x
10.在△ABC中,D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,点G为△ABC的重心,则下述结论正确的是(　　)
A.+=
B.=(+)
C.++=0
D.++=0
11.某商场开通三种平台销售某商品,收集一月内的平台数据如图(1),为了解消费者对各平台销售方式的满意程度,该商场用分层抽样的方法抽取了4%的顾客,并对抽取的顾客进行满意度调查,得到的数据如图(2),则下列说法正确的是(　　)
A.样本容量为240
B.若样本中对平台三满意的人数为40,则m=40%
C.总体中对平台二满意的消费者人数约为300
D.样本中对平台一满意的人数为24
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.写出一个具有性质①②③的函数f(x)=　 .
①f(x)的定义域为{x|x≠0};②f(x)在(-∞,0)上单调递增;
③f(ab)=f( )·f( ).
13.现对一批设备的性能进行抽检,第一次检测每台设备合格的概率是0.5,不合格的设备重新调试后进行第二次检测,第二次检测合格的概率是0.6,如果第二次检测仍不合格,则作报废处理. 设每台设备是否合格相互独立,则每台设备报废的概率为　　　　,检测3台设备,则恰有2台合格的概率为　　　　.
14.某单位为了更好地开展党史学习教育,举办了一次党史知识测试,其200名职工成绩的频率分布直方图如图所示,则这200名职工成绩的第三四分位数为　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
计算:(1)()+×-;
(2)(lg 5)2+lg 2×lg 5+lg 4-log34×log23.
16.(本小题满分15分)
设向量a=(-1,2),b=(1,-1),c=(4,-5).
(1)求|a+2b|;
(2)若c=λa+μb,λ,μ∈R,求λ+μ的值;
(3)若=a+b,=a-2b,=4a-2b,求证:A,C,D三点共线.
17.(本小题满分15分)
水葫芦原产于巴西,1901年作为观赏植物引入中国.现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长.某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究,发现其蔓延速度越来越快,经过2个月其覆盖面积为18 m2,经过3个月其覆盖面积为27 m2.现水葫芦覆盖面积y(单位:m2)与经过时间x(x∈N)个月的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=p+q(p>0)可供选择.(参考数据:≈1.414,≈1.732,lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1 )
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;
(2)求原先投放的水葫芦的面积,并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1 000倍.
18.(本小题满分17分)
某保险公司决定每月给推销员确定具体的销售目标,对推销员实行目标管理.销售目标确定的适当与否,直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性,为此,该公司当月随机抽取了50名推销员上个月的月销售额(单位:万元),绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)①根据图中数据,求出月销售额在[14,16)组内的频率;
②根据直方图估计月销售目标定为多少万元时,能够使70%的推销员完成任务 并说明理由;
(2)该公司决定从月销售额为[22,24)和[24,26)的两组中,选取2名推销员介绍销售经验,求选出的推销员来自同一组的概率.
19.(本小题满分17分)
已知函数f(x)=log9(9x+1)+bx(b∈R)为偶函数.
(1)求b的值;
(2)求f(x)的最小值;
(3)若f(t(2x-2-x))

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