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湘教版数学7年级下册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（*）班.时间：.1.2.2完全平方公式第1章整式的乘法湘教版数学七年级下册1.2.2完全平方公式练习题班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕完全平方公式（两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$，$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$）设计，分基础巩固、能力提升、拓展应用三个层次，兼顾公式应用、易错点突破与逆向运用，旨在帮助同学们熟练掌握公式，灵活解决相关问题，时长建议25分钟。一、基础巩固题（每题10分，共40分）1.判断下列计算是否正确，错误的请改正。（1）$$(x+2)^2=x^2+4x+4$$（）改正：________（2）$$(2a-1)^2=4a^2-4a+1$$（）改正：________（3）$$(x-3)^2=x^2-6x-9$$（）改正：________（4）$$(a+b)^2=a^2+b^2$$（）改正：________2.直接写出下列各式的结果。（1）$$(x+1)^2=$$________（2）$$(3a-2)^2=$$________（3）$$(-x+5)^2=$$________（4）$$(2x+3y)^2=$$________3.运用完全平方公式计算下列各式。（1）$$(x+6)^2$$（2）$$(5a-3b)^2$$4.填空：若$$(x+m)^2=x^2+8x+16$$，则m = ________。二、能力提升题（每题15分，共30分）1.运用完全平方公式计算下列各式（结果化为最简形式）。（1）$$(x-2)^2+(x+2)^2$$（2）$$(2x-1)^2-3x(x-2)$$2.已知$$a+b=5$$，$$ab=3$$，求$$a^2+b^2$$和$$(a-b)^2$$的值。三、拓展应用题（每题15分，共30分）1.运用完全平方公式计算：$$2025^2 + 2026^2 - 2 \times 2025 \times 2026$$，并说明每一步的运算依据。2.一个正方形的边长为$$(x+3)$$cm，若边长增加2cm，求新正方形的面积比原正方形的面积增加了多少（面积公式：$$S =边长\times边长$$）；若x = 5，求增加的实际面积。参考答案一、基础巩固题1.（1）√；（2）√；（3）×，$$(x-3)^2=x^2-6x+9$$；（4）×，$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$（遗漏积的2倍项）2.（1）$$x^2+2x+1$$；（2）$$9a^2-12a+4$$；（3）$$x^2-10x+25$$；（4）$$4x^2+12xy+9y^2$$3.（1）$$x^2+12x+36$$；（2）$$25a^2-30ab+9b^2$$ 4. 4二、能力提升题1.（1）$$2x^2+8$$；（2）$$x^2+2x+1$$2. 19、13（解析：由完全平方公式逆用，$$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$$，代入$$a+b=5$$，$$ab=3$$，得$$5^2 - 2 \times 3 = 25 - 6 = 19$$；$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=19 - 6 = 13$$）三、拓展应用题1. 1（解析：第一步，识别完全平方差逆用形式：$$2025^2 + 2026^2 - 2 \times 2025 \times 2026=(2026-2025)^2$$（完全平方公式逆用）；第二步，计算括号内的值：$$2026-2025=1$$；第三步，计算平方：$$1^2=1$$）2.增加的面积：$$(4x+4)$$cm ；实际增加面积：24cm （解析：原面积$$(x+3)^2=x^2+6x+9$$，新边长$$x+3+2=x+5$$，新面积$$(x+5)^2=x^2+10x+25$$，增加的面积$$(x^2+10x+25)-(x^2+6x+9)=4x+4$$；当x=5时，$$4 \times 5 + 4 = 24$$）温馨提示：解题时需牢记完全平方公式的结构，切勿遗漏“积的2倍”项；注意符号变化，$$(a-b)^2$$中是“减2ab”，$$(-a+b)^2$$与$$(a-b)^2$$结果一致；逆用公式可简化求值问题，易错点为漏项和符号出错，计算时可对照公式分步验证。1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点.
（重点）
2.会运用公式进行简单的运算.(难点)
复习导入
同学们，前面我们学习了多项式乘多项式法则和合并同类项法则，你会计算下列各题吗？
(x+3)2 = ______________________，
(x-3)2 = _______________________,
(x+3) (x+3) = x2+6x+9
(x-3) (x-3) = x2-6x+9
这些式子的左边和右边有什么规律
(2m+3n)2=________________________________,
(2m-3n)2=______________________________.
(2m+3n) (2m+3n)=4m2+12mn+9n2
(2m-3n) (2m-3n)=4m2-12mn+9n2
完全平方公式
p2 + 2p + 1
m2 + 4m + 4
p2－2p + 1
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1) ( p + 1 )2 = ( p + 1 )( p + 1 ) = .
(2) ( m + 2 )2 = ( m + 2 )( m + 2 ) = .
(3) ( p－1 )2 = ( p－1 )( p－1 ) = .
(4) ( m－2 )2 = ( m－2 )( m－2) = .
m2－4m + 4
根据上面的规律，你能直接写出下面式子的结果吗？
(x＋y)2 = .
x2 + 2xy + y2
(x－y)2 = .
x2－2xy + y2
1
完全平方公式
(x + y)2 = ；
x2 + 2xy + y2
(x - y)2 = .
x2 - 2xy + y2
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的 2 倍. 这两个公式叫作完全平方公式.
简记为：
“首平方，尾平方，
积的 2 倍放中央”
知识要点
公式特征：
1. 积为二次三项式；
2. 积中的两项为两数的平方；
3. 另一项是两数积的 2 倍，且与乘式中间的符号相同；
4. 公式中的字母 x，y 可以表示数、单项式或多项式.
你能根据图 1 和图 2 的面积解释完全平方公式吗
b
a
a
b
b
a
b
a
图 1
图 2
想一想：
设 a，b 都是正数，将完全平方公式1中的 x 用 a 代入，y 用 6 代入，可得 (a ± b) = a ± 2ab + b .
几何解释：
a
a
b
b
=
+
+
+
a2
ab
ab
b2
(a + b)2 = .
a2 + 2ab + b2
完全平方公式1：
a2
ab b(a b)
= a2 2ab + b2
=
(a b)2
a b
a
a
ab
b(a b)
b
b
(a b)2
几何解释：
(a - b)2 = .
a2 - 2ab + b2
完全平方公式2：
a b
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
a2
(1) ( a + )2；
= a2
+ a
+
+
+ 2 a
解：( a + )2 =
例1 运用完全平方公式计算：
典例精析
解：(2x－3)2 =
= 4x2
(3) (2x－3)2.
( x－y )2 = x2 － 2xy + y2
(2x)2
－ 2×(2x)×3
+ 32
－ 12x
+ 9.
(2) (3m＋n)2.
解：将完全平方公式1 中的 x 用 3m 代入，y 用 n 代 入，可得
(3m＋n )2＝ (3m)2＋2 3m n ＋n2
＝9m2＋6mn＋n2.
例2 如果 36x2＋(m＋1)xy＋25y2 是一个完全平方式，求 m 的值．
解：因为36x2＋(m＋1)xy＋25y2
＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2，
所以(m＋1)xy＝±2×6x · 5y.
所以m＋1＝±60.
所以 m＝59 或 m＝－61.
方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的 2 倍，就构成了一个完全平方式．注意积的 2 倍的符号可正可负，避免漏解．
1.运用完全平方公式计算：
(1) (2x+3)2
(2)
解：
(2x+3)2
= (2x)2+2·2x·3+32
= 4x2+12x+9
[教材P19 练习第1题]
(3) (5x-2y)2
(4) (-4a-3b)2
解：
(5x-2y)2
= (5x)2-2·5x · 2y+(2y)2
= 25x2-20xy+4y2
(-4a-3b)2
= (-4a)2-2· (-4a) ·3b+(3b)2
= 16a2+24ab+9b2
2.计算：
[教材P19 练习第2题]
(1) 1032
(2) 2972
1032
=(100+3)2
=1002+2×100×3+32
=10 000+600+9
=10 609
解：
2972
= (300-3)2
= 3002-2×300×3+32
= 90 000-1800+9
= 88 209
3.试利用右图解释(a-b)2=a2-2ab+b2
[教材P19 练习第3题]
a
b
b
a
b2
由图可知把一个边长为 a 的正方形分割成 4 部分
则 (a-b)2为图中黄色部分的面积
黄色部分的面积=总面积-红色部分的面积-蓝色部分的面积
可得: (a-b)2=a2-2b(a-b)-b2 = a2-2ab+2b2-b2 = a2-2ab+b2
所以 (a-b)2=a2-2ab+b2
解：
1. 下列算式： ；
； ；
.其中计算
错误的有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 如果,则 的值是( )
D
A. 4 B. 或4 C. 8 D. 或8
【点拨】因为 ,
,所以,.所以 .所
以 .
3. 教材P19练习T3 边长为 的正方形如图所示，
这个正方形的面积不能表示为( )
C
A.
B.
C.
D.
4. 在多项式 中添加一个单项式，使
其成为一个完全平方式，则添加的单项式是______________
_____（写出一个即可）.
（答案不唯
一）
5. 利用完全平方公式计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ;
原式 .
（3） ；
原式
.
（4） .
原式
.
6. 已知,,为实数，且 ，
，则,, 之间的大小关系是( )
A
A. B. C. D.
7. 已知， ，则
的值为( )
B
A. 2 B. 19 C. 25 D. 31
【点拨】因为 ，所以
.所以 .又因为
，所以.所以.所以 .故选B.
8. 现有甲、
乙两个正方形纸片，如图，将
甲、乙并列放置后得到图①，
已知点为 的中点，连接
， ；将乙纸片放到甲纸
19
片的内部得到图②，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图
②中阴影部分的面积为6，则图①中阴影部分的面积为____.
完全平方公式
法则
注意
(a±b)2 = a2±2ab＋b2
1. 项数、符号、字母及其指数
2. 不能直接应用公式进行计算
的式子，需要先添括号变形
3. 弄清完全平方公式和平方差
公式的不同点（从公式结构
特点及结果两方面）

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