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湘教版数学7年级下册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（*）班.时间：.2.1.1平方根和算术平方根第2章实数湘教版数学七年级下册2.1.1平方根和算术平方根练习题班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕平方根和算术平方根知识点设计，涵盖平方根的定义、算术平方根的定义、求法及简单应用，分基础巩固、能力提升、拓展应用三个层次，旨在帮助同学们熟练掌握两个概念的区别与联系，灵活解决相关问题，时长建议25分钟。一、基础巩固题（每题10分，共40分）1.判断下列说法是否正确，错误的请改正。（1）16的平方根是4（）改正：________（2）0的算术平方根是0（）改正：________（3）-9的平方根是±3（）改正：________（4）算术平方根一定是正数（）改正：________2.直接写出下列各数的平方根和算术平方根。（1）64：平方根________，算术平方根________（2）0.25：平方根________，算术平方根________（3）$$\frac{1}{16}$$：平方根________，算术平方根________（4）0：平方根________，算术平方根________3.求下列各数的平方根。（1）121（2）$$\frac{49}{81}$$（3）0.0016（4）10 4.填空：若x的算术平方根是3，则x = ________；若$$\sqrt{a} = 5$$，则a = ________；若$$\pm\sqrt{x} = \pm 4$$，则x = ________。二、能力提升题（每题15分，共30分）1.计算下列各式的值。（1）$$\sqrt{36} + \sqrt{49}$$（2）$$\sqrt{0.09} - \sqrt{\frac{1}{25}}$$（3）$$\pm\sqrt{1 - \frac{7}{16}}$$2.求下列各式中x的值。（1）$$x^2 = 25$$（2）$$4x^2 = 81$$（3）$$(x - 2)^2 = 16$$三、拓展应用题（每题15分，共30分）1.已知一个正数的两个平方根分别是2a - 5和a + 1，求这个正数及其算术平方根，并说明理由。2.已知$$\sqrt{x - 2} + \sqrt{y + 3} = 0$$，求$$(x + y)^2$$的平方根和算术平方根。参考答案一、基础巩固题1.（1）×，16的平方根是±4；（2）√；（3）×，-9没有平方根；（4）×，算术平方根是非负数（0的算术平方根是0）2.（1）±8，8；（2）±0.5，0.5；（3）$$\pm\frac{1}{4}$$，$$\frac{1}{4}$$；（4）0，03.（1）±11；（2）$$\pm\frac{7}{9}$$；（3）±0.04；（4）±0.014. 9；25；16二、能力提升题1.（1）13（解析：$$\sqrt{36}=6$$，$$\sqrt{49}=7$$，6+7=13）；（2）0.1（解析：$$\sqrt{0.09}=0.3$$，$$\sqrt{\frac{1}{25}}=0.2$$，0.3-0.2=0.1）；（3）$$\pm\frac{3}{4}$$（解析：$$1 - \frac{7}{16}=\frac{9}{16}$$，$$\pm\sqrt{\frac{9}{16}}=\pm\frac{3}{4}$$）2.（1）x=±5；（2）$$x=\pm\frac{9}{2}$$；（3）x=6或x=-2（解析：$$x-2=\pm4$$，解得x=6或x=-2）三、拓展应用题1.这个正数是9，算术平方根是3（解析：正数的两个平方根互为相反数，故2a-5 + a+1=0，解得a=$$\frac{4}{3}$$；则其中一个平方根为2×$$\frac{4}{3}$$-5=-$$\frac{7}{3}$$，另一个为$$\frac{7}{3}$$，这个正数为$$(\pm\frac{7}{3})^2=\frac{49}{9}$$，修正：解析：正数的两个平方根互为相反数，故2a-5 + a+1=0，解得a=$$\frac{4}{3}$$；则a+1=$$\frac{7}{3}$$，这个正数为$$(\frac{7}{3})^2=\frac{49}{9}$$，算术平方根为$$\frac{7}{3}$$）2.平方根是±1，算术平方根是1（解析：由算术平方根的非负性，$$\sqrt{x-2}\geq0$$，$$\sqrt{y+3}\geq0$$，且和为0，故x-2=0，y+3=0，解得x=2，y=-3；$$(x+y)^2=(2-3)^2=1$$，1的平方根是±1，算术平方根是1）温馨提示：解题时需牢记平方根与算术平方根的区别与联系——一个正数有两个平方根，它们互为相反数，算术平方根是其中的非负平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根；易错点为混淆两个概念、忽略算术平方根的非负性，计算时需仔细验证结果。1.了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示 一个数的算术平方根.（重点）
2.会求非负数的平方根与算术平方根.（难点）
请你说一说解决问题的思路．
　　学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25 dm2 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
平方根
问题引导
1
（1）若正方形画布的面积如下，请填表：
（2）你能指出它们的共同特点吗？
正方形的面积/dm2 1 9 16 36
正方形的边长/dm
都是已知一个数的平方，求这个数的问题.
1
3
4
6
填一填:
问题 如果一个数的平方等于 9，那么这个数是多少？
想一想：3 和 -3 有什么特征？
由于 ，
所以这个数是 3 或 -3.
3 和 -3 互为相反数，会不会是巧合呢
根据上面的研究过程填表：
如果我们把 　 分别叫作
　 的平方根，你能给出平方根的概念吗？
根据上述问题，即要找出一个数，使它的平方等于给定的数. 由此我们抽象出下述概念：
如果有一个数 r，使得 r2 = a，那么 r叫作 a 的一个平方根，也叫作二次方根.
总结归纳
因为边长大于 2 的正方形，它的面积一定大于 4，所以，比 2 大的数都不是 4 的平方根.
边长为 2
边长为 4
<
>
类似地，边长小于 2 的正方形，
它的面积一定小于 4，因此，
比 2 小的正数都不是 4 的平方根.
思考：除了 2 和 －2 以外，4 的平方根还有其他的数吗？
如果 r 是正数 a 的一个平方根，那么 a 的平方根有且只有两个：r 与 -r.
这样，正数 a 的平方根可以用 “ ”来表示.
把正数 a 的负平方根记作 ，读作“负根号 a”.
我们把正数 a 的正平方根记作 ，读作“根号a”；
总结归纳
由于 02 = 0，而非零数的平方不等于 0，因此零的平方根就是 0 本身.
由于同号两数相乘得正数，且 02 = 0，即在迄今为止我们所认识的数中，任何一个数的平方都不会是负数，因此负数没有平方根.
小结：正数平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是 0；负数没有平方根.
说一说 零的平方根是多少？负数有平方根吗？
例1 分别求下列各数的平方根：36， ，1.21.
解：由于 62 = 36，
因此 36 的平方根是 6 与 -6.
即
由于 1.12 = 1.21，
因此 1.21 的平方根是 1.1 与 -1.1.
即
由于 ，
因此 的平方根是 与 .
即
典例精析
例2 已知一个正数的两个平方根分别是 2a－2和 a－4，则 a 的值是________．
方法总结：本题考查了平方根的概念．一个正数有两个平方根，它们是互为相反数，两个数互为相反数，它们的和为 0.
解析：因为一个正数的两个平方根分别是 2a－2 和 a－4，
所以2a－2＋a－4＝0，解得 a＝2.
2
我们把正数 a 的正平方根 叫作 a 的算术平方根.
思考：正数、负数、0 的算术平方各有几个？
正数的算术平方根是一个正数，
0 的算术平方根还是 0，
负数没有算术平方根.
算术平方根的概念及性质
2
算术平方根具有双重非负性
a 的算术平方根
算术平方根的性质
非负数
非负数
例3 分别求下列各数的算术平方根：
（1）100； （2） ； （3）0.49.
解：(1) 由于 102 = 100，因此 .
(3) 由于 0.72 = 0.49，因此 .
(2) 由于 = ，因此 .
例4 若 |m - 1| + = 0，求 m + n 的值.
方法归纳：几个非负式的和为 0，则每个式均为 0，初中阶段学过的非负式有绝对值、偶次幂及一个数的算术平方根.
解：因为 | m - 1| ≥0， ≥0，
又 | m - 1| + = 0，
所以 | m - 1 | = 0， = 0.
所以 m = 1，n = -3. 所以 m + n = 1 + (-3) = -2.
1. 包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.
平方根与算术平方根的联系与区别：
2. 只有非负数才有平方根和算术平方根.
3. 0 的平方根是 0，算术平方根也是 0.
联系：
区别：
1. 个数不同：一个正数有两个平方根，
但只有一个算术平方根.
2. 表示法不同：平方根表示为± ，
而算术平方根表示为 .
1. 分别求下列各数的平方根：
练 习
（1）64； （2） ；（3）6.25.
解：（1） ；
（2） ；
（3） .
2. 分别求下列各数的算术平方根：
（1）81； （2） ；（3）0.16.
解：（1） ；
（2） ；
（3） .
3. 判断下列说法是否正确，并说明理由.
（1） 的值是±4；（2）(－4)2 的平方根是－4.
解：（1）不正确， ；
（2）不正确， (－4)2 的平方根是±4.
1. 的平方根的数学表达式是( )
D
A. B.
C. D.
2. 的算术平方根是( )
D
A. B. C. D. 0.64
3. 下面语句中正确的是( )
D
A. 64的平方根是
B. 的平方根是
C. 的平方根是
D. 0的平方根和算术平方根都是0
4. 的平方根是_______.
5. 完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是
___.
6. 当为_ ___时， 有最小值，最小值为___.
5
6
7. 教材P33习题T3 求下列各式的值：
（1） ；
【解】 .
（2） ；
.
（3） .
.
8. 求下列各式中 的值：
（1） ；
【解】，, ,
解得 .
（2） .
，， ，
解得或 .
9. 已知一个正数的两个平方根分别是和 .
（1）求这个正数；
【解】由题意可得 ，
解得 ，
所以这个正数是 .
（2）求 的算术平方根.
由（1）知，所以 .
10. 如果是一个整数，那么整数 可取的值
共有( )
A
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
11. 若与 的和是单项式，则
的平方根为____.
【点拨】因为与的和是单项式，所以 ，
.所以.所以 的平方根
是 .
平方根的概念
正数的平方根
负数的平方根
0 的平方根
正平方根
→
→
（没有）
（就是 0 本身）
负平方根
算术平方根
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