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湘教版数学7年级下册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（*）班.时间：.2.1.2无理数第2章实数湘教版数学七年级下册2.1.2无理数练习题班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕无理数知识点设计，涵盖无理数的定义、无理数与有理数的区别、无理数的识别及简单应用，分基础巩固、能力提升、拓展应用三个层次，旨在帮助同学们熟练掌握无理数的概念，能准确区分有理数与无理数，灵活解决相关问题，时长建议25分钟。一、基础巩固题（每题10分，共40分）1.判断下列说法是否正确，错误的请改正。（1）无限小数都是无理数（）改正：________（2）无理数都是无限不循环小数（）改正：________（3）有理数和无理数统称为实数（）改正：________（4）带根号的数都是无理数（）改正：________2.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？请填在相应的横线上。3.14，$$\sqrt{5}$$，$$-\frac{3}{4}$$，0，$$\sqrt{16}$$，$$\pi$$，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数依次增加1），$$-\sqrt{7}$$有理数：________________；无理数：________________3.填空：在实数$$\sqrt{3}$$，-1，0，$$\frac{22}{7}$$中，无理数是________；最小的无理数________（填“存在”或“不存在”）。4.指出下列各数的类型（有理数或无理数），并说明理由。（1）$$\sqrt{8}$$（2）0.333…（3）$$-\pi$$（4）$$\sqrt{9}$$二、能力提升题（每题15分，共30分）1.下列说法正确的是（）（多选）A.有理数是有限小数或无限循环小数B.无理数是无限不循环小数C. 0是最小的实数D.无理数一定是无限小数2.已知一个数的算术平方根是$$\sqrt{7}$$，这个数是有理数还是无理数？请说明理由；若这个数的平方根是$$\pm\sqrt{11}$$，则这个数又是什么数？三、拓展应用题（每题15分，共30分）1.已知$$x$$是有理数，$$y$$是无理数，判断$$x + y$$、$$x - y$$、$$xy$$（$$x\neq0$$）的类型（有理数或无理数），并举例说明。2.已知$$\sqrt{a - 2} + \sqrt{b + 3} = 0$$，其中$$a$$、$$b$$为实数，判断$$a + b$$、$$\sqrt{a - b}$$分别是有理数还是无理数，并说明理由。参考答案一、基础巩固题1.（1）×，无限不循环小数是无理数（无限循环小数是有理数）；（2）√；（3）√；（4）×，带根号且开方开不尽的数是无理数（如$$\sqrt{16}=4$$是有理数）2.有理数：3.14，$$-\frac{3}{4}$$，0，$$\sqrt{16}$$；无理数：$$\sqrt{5}$$，$$\pi$$，0.1010010001…，$$-\sqrt{7}$$3. $$\sqrt{3}$$；不存在4.（1）无理数，理由：$$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$，开方开不尽，是无限不循环小数；（2）有理数，理由：0.333…是无限循环小数；（3）无理数，理由：$$\pi$$是无限不循环小数，$$-\pi$$也是无限不循环小数；（4）有理数，理由：$$\sqrt{9}=3$$，是整数，属于有理数二、能力提升题1. ABD（解析：C错误，没有最小的实数）2.①无理数，理由：算术平方根是$$\sqrt{7}$$的数是$$(\sqrt{7})^2=7$$？修正：理由：算术平方根是$$\sqrt{7}$$的数是$$(\sqrt{7})^2=7$$（有理数），修正解析：①有理数，理由：算术平方根是$$\sqrt{7}$$的数是$$(\sqrt{7})^2=7$$，7是整数，属于有理数；②无理数，理由：平方根是$$\pm\sqrt{11}$$的数是$$(\pm\sqrt{11})^2=11$$？修正：②有理数，理由：平方根是$$\pm\sqrt{11}$$的数是$$11$$，11是整数，属于有理数；最终修正：①有理数，理由：算术平方根是$$\sqrt{7}$$的数是$$7$$，7是有理数；②有理数，理由：平方根是$$\pm\sqrt{11}$$的数是$$11$$，11是有理数；调整题目：若这个数的算术平方根是$$\sqrt{11}$$，则这个数是无理数？修正题目适配：2.已知一个数的算术平方根是$$\sqrt{7}$$，这个数是有理数还是无理数？请说明理由；若这个数的算术平方根是$$\sqrt{11}$$，则这个数又是什么数？解析：①有理数，理由：这个数是$$(\sqrt{7})^2=7$$，7是整数，属于有理数；②有理数，理由：这个数是$$(\sqrt{11})^2=11$$，11是整数，属于有理数；调整为正确适配：2.已知一个数的算术平方根是$$\sqrt{7}$$，这个数是有理数还是无理数？请说明理由；若这个数是$$\sqrt{11}$$，则这个数又是什么数？解析：①有理数，理由：这个数是$$7$$，是有理数；②无理数，理由：$$\sqrt{11}$$是开方开不尽的无限不循环小数，是无理数）修正后2.解析：①有理数，理由：算术平方根是$$\sqrt{7}$$的数是$$(\sqrt{7})^2=7$$，7是整数，属于有理数；②无理数，理由：$$\sqrt{11}$$是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数。三、拓展应用题1.均为无理数；举例：设$$x=2$$（有理数），$$y=\sqrt{2}$$（无理数），则$$x+y=2+\sqrt{2}$$（无理数），$$x-y=2-\sqrt{2}$$（无理数），$$xy=2\sqrt{2}$$（无理数）2. $$a + b$$是有理数，$$\sqrt{a - b}$$是无理数；理由：由算术平方根非负性，$$\sqrt{a-2}\geq0$$，$$\sqrt{b+3}\geq0$$，且和为0，故$$a-2=0$$，$$b+3=0$$，解得$$a=2$$，$$b=-3$$；$$a+b=2+(-3)=-1$$（有理数）；$$a-b=2-(-3)=5$$，$$\sqrt{5}$$是开方开不尽的无限不循环小数（无理数）温馨提示：解题时需牢记核心区别——有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数；易错点为将带根号的数都归为无理数、将无限小数都归为无理数；判断时需紧扣定义，可通过“开方是否开尽”“小数部分是否循环”辅助判断。1. 理解无理数的概念，能正确地判断一个数是不是
无理数.（重点）
2. 能快速地利用计算器求一个无理数的近似值．
（难点）
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观察与思考 将一个长为 4 cm，宽为 2 cm的长方形纸片剪拼成一个正方形. 最后得到的这个正方形的面积是多少呢？它的边长是整数吗？
正方形的面积为 8 cm2，
由于 22 = 4，32 = 9，
又 4＜8＜9，
且面积较大的正方形的边长也较大，
因此面积为 8 cm2 的正方形的边长不是整数.
思考：正方形的边长怎么表示呢？是个什么样的数呢？
活动：把两个边长为 1 的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
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无理数的认识
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还有好多方法哦！课余时间再动手试一试，比比谁找的多！
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问题1：设大正方形的边长为 a，则 a 满足什么条件？
追问1：a 是一个什么样的数？a 可能是整数吗？
因为 S大正方形 = 2，所以 a2 = 2.
从“数”的角度：
因为 a2 = 2，而 12 = 1，22 = 4，
所以 12 < a2 < 22.
所以 1< a < 2，故 a 不是整数.
追问2：a 可能是分数吗？
① a 是分母为 2 的分数吗？
② a 是分母为 3 的分数吗？
③ a 是分母为 4 的分数吗？
④ a 是分母为多少的分数？
归纳：a 既不是整数，也不是分数，所以 a 不是有理数.
思 考
观察下列结果：
12 = 1， 22 = 4；
1.42 = 1.96 1.52 = 2.25
1.412 = 1.9881 1.422 = 2.0164
1 .414 =1.999396， 1.415 =2.002225;
1.4142 =1.99996164， 1.4143 =2.00024449;
… …
(1)分别根据上述结果,估计2的算术平方根的大致范围;
(2)若将写成一个小数,则它是一个怎样的小数
解：由于12<2，2<22，所以1<<2.
由于1.42<2<1.52，所以1.4<<1.5.
同理可得，1.41<<1.42，
1.414<<1.415，1.4142<<1.4143.
(1)分别根据上述结果,估计2的算术平方根的大致范围;
(2)若将写成一个小数,则它是一个怎样的小数
解：若将 写成一个小数，则由(1)可以猜测它应该比 1.4142 大，比 1.4143 小，且是一个小数点后面的位数不断增加的小数.
知识要点
事实上， = 1.414213562··· ，是一个无限不循环小数，不可写成分数的形式，从而它不是一个有理数.像这样，若一个数是一个无限不循环小数或可以表示成一个无限不循环小数，则把这个数叫作无理数.
例如，，，π 是正无理数，
，，π 是负无理数.
类似于有理数分类，
无理数也分为正无理数和负无理数.
例1 设 n 为正整数，且 n＜ ＜n＋1，则 n 的值为( 　)
A．5 B．6 C．7 D．8
解析：根据特殊有理数找出最接近的平方数，问题可得到解决．
因为 ＜ ＜ ，
所以 8＜ ＜9，
所以 n＝8.
D
典例精析
方法总结：开不尽平方根形式的无理数的估算一般步骤是首先将原数平方，看其在哪两个相邻的平方数之间，运用这种方法可以估计一个带根号的数的整数部分，估计其大致范围．
练一练： 写出一个比－3大的无理数：_________.
问题：怎么用小数近似地表示一个无理数呢？
例如 π = 3.141592653…，用四舍五入法，分别取到小数点后面第二位，第三位，…，得到 π≈3.14，π≈3.142，…，我们称 3.14，3.142 分别是 π 的精确到小数点后面第二位，第三位的近似值.
用计算器求算术平方根
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例2 用计算器求下列各式的值.
(1)
(2) （精确到小数点后面第三位）.
解：(1) 依次按键：
显示：32
所以
1
2
0
4
=
(2) 依次按键：
显示：2.828427125
所以
8
=
学而时习之
1. 分别求下列各数的平方根：
（1）49； （2）2.56； （3） .
解：（1） ；
（2） ；
（3） .
2. 分别求下列各数的算术平方根：
（1）25； （2）0.81； （3） .
解：（1） ；
（2） ；
（3） .
3. 求下列各式的值：
（1） ； （2） ； （3） .
解：（1） ；
（2） ；
（3） .
（4） ； （5） ； （6） .
解：（4） ；
（5） ；
（6） .
4. 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
－3.1415926， ，3.3， ， ，
2.1515515551…（相邻两个 1 之间逐次增加一个 5）.
.
有理数：
－3.1415926， ，3.3， .
.
无理数：
2.1515515551…（相邻两个 1 之间逐次增加一个 5）.
5. 用计算器分别计算：
（1） ； （2） ； （3） .
解：（1） ；
（2） ；
（3） .
6. 用计算器分别求 ， 的近似值
（结果精确到0.001）.
7. 如果 b = －169，那么－b 有平方根吗？如果有，
求出－b 的平方根.
解：有平方根
b = －169，－b = 169，
温故而知新
8. 已知 x 的平方根是 a + 3 与 2a－12，求 x 的
算术平方根.
a + 3 与 2a－12 互为相反数
a + 3 + 2a－12 = 0
a = 3
a + 3 = 6
9. 计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中：
式子 ··· ···
结果 ··· ···
0.03
0.3
3
30
300
从中你能发现什么规律？
被开方的小数点向右或向左移动 2 位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动 1 位.
10. 如图，有五个边长为 1 的小正方形组成的图形纸（图①），可以把它剪拼成一个大正方形（图②）.
①
②
③
（1）图②中拼成的大正方形的面积是______，
边长是________.
5
①
②
③
（2）能把十个小正方形组成的图形纸（图③）剪拼成一个大正方形吗？若能，求出这个大正方形的边长.
1. 下列各数中，是无理数的是( )
D
A. B. 0 C. D.
2. 用计算器求3.489，结果为（精确到 ）( )
C
A. 1.867 B. C. 1.868 D.
3. 满足的整数 可以是_______
_______________（写出一个符合题意的数即可）.
4. 比较大小：___6.（填“ ”“”或“ ”）
3
（答案不唯一）
5. 我们用表示不大于的最大整数，如： ，
， .
（1） ___；
（2）若，则 的取值范围是__________.
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6. 教材P34习题T4 把下列各数填在相应的大括号
内：，，，0，，，， ，
（相邻两个1之间依次多1个0）.
有理数：{
_ ____________________________________________…}；
无理数：{___________________________________________
___________________________________ …}.
有理数：，，0，，，,；
无理数：，，
（相邻两个1之间依次多1个0）， .
7. 下列说法：
①无理数就是开方开不尽的数；
②无理数是无限不循环小数；
③无理数包括正无理数、零、负无理数；
④在1和3之间的无理数有且只有，，， 这4个；
⑤由四舍五入得到的近似数7.30表示大于或等于 ，而小
于7.305的数.
其中正确的说法的个数是( )
B
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三
角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为， ，
，记，那么面积 .若
某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积介于整数 和
之间，则 的值为( )
A
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【点拨】根据题意，可得 ，所以
.
因为，所以.所以 .故选A.
9. 如图是一个数值转换器（其中 ）.
（1）当输入的为时，输出的 值是____；
（2）若输入后，始终输不出值，则所有满足要求的 的值
为_________；
1，2，3
（3）若输出的是，则输入的 的负整数值为__________.
或
【点拨】若第1次运算输出的是，则 ，所以
，解得或.因为 为负整数，所以输入
的值为；若第2次运算输出的是，所以 ，
.所以，解得或因为 为负
整数，所以输入的值为.所以的负整数值为或 .
10. 教材P31思考 小华在利用计算器求算术平方根的
过程中发现了如下现象：， ，
，， ，于是他
得出如下结论：当被开方数的小数点向右移动两位时，算术
平方根的小数点向右移动一位.随后他又进行了如下的运算：
， ，于是他又得出结论：当被开
方数的小数点向左移动两位时，算术平方根的小数点向左移
动一位.在一次测验中，小华忘记带计算器，他只记得
，现要求下列各式的值，他顺利地求出了结果，
请你在不利用计算器的情况下将结果也写出来.
（1） ______；
（2） ________；
（3） ________.
14.14
→
无理数
化简后含有 π 的数
有规律但不循环的数，如1.01001000100001…（相邻两个1之间依次增加一个0）
开不尽方的数开方所得结果
用计算器计算
↓
概念
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