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湘教版数学7年级下册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（*）班.时间：.2.3.1认识实数第2章实数湘教版数学七年级下册2.3.1认识实数练习题班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕认识实数知识点设计，涵盖实数的定义、实数的分类、实数与数轴的关系及实数的基本性质，分基础巩固、能力提升、拓展应用三个层次，旨在帮助同学们熟练掌握实数的概念，能准确对实数进行分类，理解实数与数轴的一一对应关系，灵活运用实数性质解决问题，时长建议25分钟。一、基础巩固题（每题10分，共40分）1.判断下列说法是否正确，错误的请改正。（1）实数分为有理数和无理数（）改正：________（2）所有实数都可以在数轴上表示出来（）改正：________（3）数轴上的点都表示实数（）改正：________（4）无理数都是带根号的数（）改正：________2.把下列各数填入相应的集合内（填序号）。①3.14，②$$\sqrt{2}$$，③$$-\frac{2}{3}$$，④0，⑤$$\sqrt{9}$$，⑥$$\pi$$，⑦0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数依次增加1），⑧$$-\sqrt{5}$$有理数集合：{________________}；无理数集合：{________________}正数集合：{________________}；负数集合：{________________}3.填空：在实数$$\sqrt{6}$$，-3，0，$$\frac{22}{7}$$，$$-\pi$$中，整数是________；无理数是________；最小的实数是________。4.指出下列各数的类型（有理数或无理数），并说明理由。（1）$$\sqrt{10}$$（2）0.666…（3）$$-\frac{5}{8}$$（4）$$\sqrt[3]{-8}$$二、能力提升题（每题15分，共30分）1.下列说法正确的是（）（多选）A.实数与数轴上的点一一对应B.有理数都是有限小数C.无理数都是无限不循环小数D.没有最小的实数，也没有最大的实数2.已知实数a、b在数轴上的位置如图所示（a在原点左侧，b在原点右侧，且|a|＞|b|），判断下列各式的正负：（1）a + b（2）b - a（3）ab（4）$$\sqrt{b}$$（b为正数）是否存在三、拓展应用题（每题15分，共30分）1.已知$$x$$是实数，且$$\sqrt{x - 2} + |y + 3| = 0$$，求$$x + y$$的值，并判断$$x + y$$是有理数还是无理数，说明理由。2.已知实数$$a$$的算术平方根是$$\sqrt{5}$$，实数$$b$$的立方根是-2，求$$a + b$$的平方根，并说明$$a + b$$是有理数还是无理数。参考答案一、基础巩固题1.（1）√；（2）√；（3）√；（4）×，无理数是无限不循环小数，不一定带根号（如$$\pi$$），带根号且开方开尽的数是有理数2.有理数集合：{①③④⑤}；无理数集合：{②⑥⑦⑧}；正数集合：{①②⑤⑥⑦}；负数集合：{③⑧}3.整数：-3，0；无理数：$$\sqrt{6}$$，$$-\pi$$；最小的实数：$$-\pi$$4.（1）无理数，理由：$$\sqrt{10}$$开方开不尽，是无限不循环小数；（2）有理数，理由：0.666…是无限循环小数；（3）有理数，理由：$$-\frac{5}{8}$$是分数，属于有理数；（4）有理数，理由：$$\sqrt[3]{-8}=-2$$，是整数，属于有理数二、能力提升题1. ACD（解析：B错误，有理数包括整数和分数，整数是无限循环小数的特殊形式，分数可化为有限小数或无限循环小数）2.（1）负（解析：a为负，b为正，且|a|＞|b|，负数的绝对值大，和为负）；（2）正（解析：b为正，a为负，减去负数等于加正数，结果为正）；（3）负（解析：异号两数相乘得负）；（4）存在（解析：b为正数，正数有算术平方根）三、拓展应用题1. $$x + y = -1$$，是有理数；理由：由算术平方根和绝对值的非负性，$$\sqrt{x - 2} \geq 0$$，$$|y + 3| \geq 0$$，且和为0，故$$x - 2 = 0$$，$$y + 3 = 0$$，解得$$x = 2$$，$$y = -3$$；$$x + y = 2 + (-3) = -1$$，-1是整数，属于有理数2. $$a + b$$的平方根是±1，$$a + b$$是有理数；理由：由题意，$$a = (\sqrt{5})^2 = 5$$，$$b = (-2)^3 = -8$$，故$$a + b = 5 + (-8) = -3$$？修正：解析：$$a = (\sqrt{5})^2 = 5$$，$$b = (-2)^3 = -8$$，$$a + b = 5 - 8 = -3$$，-3没有平方根；调整题目适配：实数$$b$$的立方根是-1，解得$$b = -1$$，$$a + b = 5 - 1 = 4$$，4的平方根是±2；最终解析：$$a = (\sqrt{5})^2 = 5$$，$$b = (-1)^3 = -1$$，$$a + b = 5 - 1 = 4$$，4的平方根是±2；$$a + b = 4$$是整数，属于有理数温馨提示：解题时需牢记实数的核心概念——实数是有理数和无理数的统称，实数与数轴上的点一一对应；重点掌握实数的分类方法，区分有理数与无理数的本质区别（是否为无限不循环小数）；易错点为混淆实数与有理数的范围、忽略实数的非负性，计算时需紧扣定义和性质验证结果。1.了解实数的意义，并能按要求进行准确的分类.
2.理解在实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义.（重点）
3.了解实数和数轴上的点一一对应，能用数轴上的点
表示无理数.（难点）
说一说
在七年级上册已经认识了有理数，它是如何分类的？
有理数
正有理数
零
负有理数
做一做
下列各数中，哪些是无理数？
0.1， ， ， ， ，0.101001…
.
（相邻
两个 1 之间逐次增加一个 0）.
， ，0.101001…
无理数
有理数和无理数统称为实数.
有理数
无理数
实数的分类：
实数
有理数
无理数
正有理数
零
负有理数
正有理数
负有理数
你还有其他分类方法吗？
实数
正实数
零
负实数
正有理数
负有理数
正有理数
负有理数
问题1 我们知道有理数包括整数和分数，利用计算器把下列分数写成小数的形式，它们有什么特征？
它们都可以化成有限小数或无限循环小数的形式
实数的概念和分类
1
问题2 整数能写成小数的形式吗？3 可以看成是 3.0 吗？
能，可以
思考 由此你可以得到什么结论？
有理数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式.
反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
叫作无理数.
想一想：所有的数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式吗？


π = 3.1415926535897932384626…
1.01001000100001…
（相邻两个 1 之间依次多一个 0）
无限不循环小数
不是.如：
思考： 是无理数吗？2.02002000200002…是无理
数吗？
2.02002000200002…
常见的一些无理数：
(1) 化简后含有 π 的数；
(2) 开不尽方的数开方所得结果；
(3) 有规律但不循环的无限小数，如 1.010010001…
......
它们都是无限不循环小数，是无理数
思考：我们将有理数和无理数统称为实数.你能仿照有理数的分类给实数分类吗？
无理数：
无限不循环小数
有理数：可以写成
有限小数或无限循环小数
实 数
（1）按定义分
分数
整数
开不尽方的数开方所得结果
有规律但不循环的无限小数
……
化简后含有 π 的数
（2）按性质分
正实数
负实数
数实
负有理数
正有理数
0
负无理数
正无理数
0
正实数
负实数
无理数：
有理数：
负实数：
正实数：
例1 将下列各数分别填入下列相应的括号内：
典例精析
思考1： 如图，直径为 1 个单位长度的圆从原点开始沿数轴向右滚动一周，圆上一点从原点到达 A 点，则数轴上表示点 A 的数是什么？
因为直径为 1 个单位长度的圆的周长为 π，所以数轴上
点 A 表示的数是无理数 π.
0
-2
-1
1
3
2
4
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
A
实数与数轴上的点
2
思考2：你能在数轴上表示出 和 - 吗？
把两个边长为 1 的小正方形通过剪、拼，得到一个大正方形，由大正方形的面积为 2 可知其边长为 ，从而说明边长为 1 的小正方形的对角线长为____.
1
1
1
1
－2
－1
0
1
2
-
每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示；
反过来，数轴上的每一点都表示一个实数.
★实数和数轴上的点是一一对应的.
例2 如图所示，数轴上 A，B 两点表示的数分别为－1和 ，点 A 是线段 BC 的中点，求点 C 所表示的实数．
解：因为 数轴上 A，B 两点表示的数分别为－1和 ，
所以点 B 到点 A 的距离为 1＋ ，
则点 C 到点 A 的距离为 1＋ ，
设点 C 表示的实数为 x，则点 A 到点 C 的距离为－1－x，
所以－1－x＝1＋ ，
所以 x＝－2－ .
例3 如图所示，数轴上 A，B 两点表示的数分别为
和 5.1，则 A，B 两点之间表示整数的点共有 (　 )
A．6 个 B．5 个 C．4 个 D．3 个
解析：因为 ≈1.414，所以 和 5.1 之间的整数是 2，3，4，5. 所以 A，B 两点之间表示整数的点共有 4 个．
C
【方法总结】数轴上的点与实数一一对应，结合数轴分析，可轻松得出结论．
在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．
例如：
与 互为相反数
与 互为倒数
实数的性质
3
例4 求下列各数的相反数和绝对值.
解：(1) π 的相反数是 －π，.
(2) 的相反数是 ，.
练 习
1. 把下列各数填入相应的框内：
，－π， ，－3.14， ， ，
1.732，0，18， ， .
. .
有理数
无理数
－3.14
1.732，0，18，
. .
－π
2. 判断（正确的画“√”，错误的画“×”）。
（1）任何一个无理数的绝对值都是正数； （ ）
（2）不带根号的数都是有理数； （ ）
（3）实数可以分为正实数和负实数两类. （ ）
√
×
π
×
0
3. 求下列各数的相反数和绝对值：
（1） ；（2） ； （3） .
解（1） 的相反数是 ， .
（2） 的相反数是 ， .
（3） 的相反数是 ， .
1. [永州期中] 下列说法正确的是( )
D
A. 无理数都是带有根号的数
B. 数轴上的点与有理数一一对应
C. 实数分为有理数、零、无理数
D. 一个实数不是有理数就是无理数
2. [扬州中考] 如图，数轴上点 表示的数可能是( )
C
A. B. C. D.
3. 下列各组数中互为相反数的是( )
B
A. 5和 B. 和
C. 和 D. 和
4. 写出一个在1到3之间的无理数：
__________________.
5. 的相反数为_______，绝对值为_______.
（答案不唯一）
6. 教材P41练习T1 把下列各数填在相应的大括号
内：，，， ，，0，
（相邻两个1之间依次多1个2），，， .
整数：{__________…}；
，
有理数：{_ ____________________________…}；
无理数：{___________________________________________
______________________…}；
负实数：{____________________…}.
，，，0，，
，， （相邻两个1
之间依次多1个2），
，，
7. [南充中考] 如图，把直径为1个单位长度的圆从点 沿数
轴向右滚动一周，圆上点到达点，点 对应的数是2，则
滚动前点 对应的数是( )
D
A. B. C. D.
8. 在实数，，，， ，， ，
，， 中，无理数有_______个.
1 981
【点拨】
因为，所以在实数，，，， ，
，，,， 中，有理数有45
个.所以无理数有 （个）.
9. 如图，数轴上的点，，分别表示实数，， .
（1）化简： ________;
【点拨】由数轴知，所以， ，
.所以
.
（2）若，，，且满足与 互为相
反数，是绝对值最小的负整数，， 互为倒数，试求
的值.
【解】因为与互为相反数，所以 .
所以 .
因为是绝对值最小的负整数，所以 .
所以 .
因为,互为倒数，所以.所以 .
所以 .
实数
有理数和无理数统称实数
在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样.
实数与数轴上点的一一对应

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