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湘教版数学7年级下册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（*）班.时间：.2.2立方根第2章实数湘教版数学七年级下册2.2立方根练习题班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕立方根知识点设计，涵盖立方根的定义、立方根的求法、立方根与平方根的区别及简单应用，分基础巩固、能力提升、拓展应用三个层次，旨在帮助同学们熟练掌握立方根的概念，能准确求一个数的立方根，区分立方根与平方根的不同，灵活解决相关问题，时长建议25分钟。一、基础巩固题（每题10分，共40分）1.判断下列说法是否正确，错误的请改正。（1）8的立方根是±2（）改正：________（2）0的立方根是0（）改正：________（3）负数没有立方根（）改正：________（4）立方根等于它本身的数只有0和1（）改正：________2.直接写出下列各数的立方根。（1）64：________（2）-27：________（3）0.008：________（4）$$-\frac{1}{125}$$：________3.求下列各数的立方根。（1）1000（2）$$-\frac{64}{27}$$（3）0.001（4）10 4.填空：若x的立方根是4，则x = ________；若$$\sqrt[3]{a} = -3$$，则a = ________；若$$\sqrt[3]{x} = x$$，则x = ________。二、能力提升题（每题15分，共30分）1.计算下列各式的值。（1）$$\sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{-64}$$（2）$$\sqrt[3]{0.125} - \sqrt[3]{\frac{1}{64}}$$（3）$$\sqrt[3]{1 - \frac{63}{64}}$$2.求下列各式中x的值。（1）$$x^3 = 125$$（2）$$8x^3 = 27$$（3）$$(x - 1)^3 = -8$$三、拓展应用题（每题15分，共30分）1.已知一个数的立方根是2a - 3，这个数的相反数的立方根是3a - 7，求这个数及其立方根，并说明理由。2.已知$$\sqrt[3]{x - 1} + \sqrt[3]{y + 2} = 0$$，其中x、y为实数，求$$(x + y)^{2026}$$的值，并判断$$\sqrt[3]{x + y}$$是有理数还是无理数。参考答案一、基础巩固题1.（1）×，8的立方根是2；（2）√；（3）×，负数有一个负的立方根；（4）×，立方根等于它本身的数有0、1和-12.（1）4；（2）-3；（3）0.2；（4）$$-\frac{1}{5}$$3.（1）10；（2）$$-\frac{4}{3}$$；（3）0.1；（4）0.014. 64；-27；0、1或-1二、能力提升题1.（1）-1（解析：$$\sqrt[3]{27}=3$$，$$\sqrt[3]{-64}=-4$$，3+(-4)=-1）；（2）0.25（解析：$$\sqrt[3]{0.125}=0.5$$，$$\sqrt[3]{\frac{1}{64}}=0.25$$，0.5-0.25=0.25）；（3）$$\frac{1}{4}$$（解析：$$1 - \frac{63}{64}=\frac{1}{64}$$，$$\sqrt[3]{\frac{1}{64}}=\frac{1}{4}$$）2.（1）x=5；（2）$$x=\frac{3}{2}$$；（3）x=-1（解析：$$x-1=-2$$，解得x=-1）三、拓展应用题1.这个数是1，立方根是1（解析：互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，故2a-3 + 3a-7=0，解得a=2；则立方根为2×2-3=1，这个数为$$1^3=1$$）2.值为1；$$\sqrt[3]{x + y}$$是有理数；理由：由立方根的性质，若$$\sqrt[3]{m} + \sqrt[3]{n}=0$$，则$$m=-n$$，故x-1=-(y+2)，解得x+y=-1；$$(x + y)^{2026}=(-1)^{2026}=1$$；$$\sqrt[3]{x + y}=\sqrt[3]{-1}=-1$$，-1是有理数）温馨提示：解题时需牢记立方根的核心性质——任何实数都有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；重点区分立方根与平方根的不同（平方根只有非负数有，立方根所有实数都有）；易错点为混淆立方根与平方根的符号规律、遗漏立方根等于本身的负数，计算时需紧扣定义验证结果。1. 了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.（重点）
2. 能用开立方运算求某些数的立方根，了解开立方和
立方互为逆运算.（难点）
立方根的概念
如果一个数 b，使得 b3 = a，那么b 叫作 a 的一个立方根，也叫作三次方根．a 的立方根记作 　 .
立方根的表示
一个数 a 的立方根可以表示为：
读作：立方根号 a，或三次根号 a.
说一说
已知一个正方体的体积为 8 cm3，如图所示，则它的棱长是多少？
由于 23 = 8，因此体积为 8 cm3 的正方体，它的棱长是 2 cm.
23 = 8
b3 = a
被开放数
根指数
读作“立方根号 a”或“三次根号 a”
求一个数的立方根的运算，叫作开立方.
23 = 8
立方
开立方
互为逆运算
填一填： 根据立方根的意义填空：
因为 = 8，所以 8 的立方根是（　）；
因为( )3 = 0.125，所以 0.125 的立方根是（　 ）；
因为( )3 ＝ 0，所以 0 的立方根是（　）；
因为( )3 ＝ －8，所以 －8 的立方根是（ ）；
因为( )3 ＝ ，所以 的立方根是（ ）.
0
2
-2
0
-2
0.5
0.5
立方根的性质
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根，
零的立方根是零.
立方根是它本身的数有 1，-1，0；
平方根是它本身的数
只有 0.
知识要点
平方根与立方根的异同
被开方数 平方根 立方根
有两个，互为相反数
有一个，是正数
无平方根
零
有一个，是负数
零
正数
负数
零
求一个数 a 的立方根的运算叫作开立方，a 叫作被开方数
注意：这个根指数3 绝对不可省略.
每个数 a 都有一个立方根，记作 ，读作“三次
根号 a”. 如：x3 = 7 时，x 是 7 的立方根．
a 叫作被开方数
3 叫作根指数
开立方及相关运算
2
例1 分别求下列各数的立方根：
1， ，0，-0.064．
由于 (-0.4)3 = -0.064，因此 .
解： 由于 13 = 1，因此 ；
由于 ，因此 ；
由于 03 = 0，因此 ；
典例精析
求下列各式的值：
体会：对于任何数 a ,
a
2
4
0
-2
-3
探究1
3
23 ___，
=
3
43 ___，
=
温馨提示：开立方与立方运算互为逆运算.
体会：对于任何实数 a，
a
8
27
0
-8
-27
探究2
求下列各式的值：
体会：
(1) 求一个负数的立方根，可以先求出这个负数绝对值的立方根，然后再取它的相反数；
(2) 负号可从“根号内”直接移到“根号外”.
求下列各式的值:
(1) ； (2)
探究3
-0.2
-0.2
例2 求下列各式的值：
例3 已知 x－2 的平方根是±2，2x＋y＋7 的立方根是 3，求 x2＋y2 的算术平方根．
方法总结：本题先根据平方根和立方根的定义，运用方程思想求出 x，y 值，再根据算术平方根的定义求解．
解: 因为x－2 的平方根是±2，
所以 x－2 ＝ 4. 所以 x ＝ 6.
因为2x＋y＋7 的立方根是 3，
所以2x＋y＋7 ＝ 27. 把 x ＝ 6 代入，解得 y ＝ 8.
因为x2＋y2 ＝ 36＋64 ＝ 100，
所以 x2＋y2 的算术平方根为 10.
例4 用计算器求下列各数的立方根：343， -1.331.
用计算器求立方根
解：依次按键：
显示：7
所以
4
3
3
=
SHIFT
依次按键：
显示：-1.1
所以
1
(-)
.
3
1
3
=
SHIFT
3
例5 用计算器求 的近似值（精确到 0.001）.
解 ： 依次按键：
显示：1.25992105
所以
=
2
SHIFT
议一议
1. 下列等式是否成立 与同学交流你的看法.
(1) a ； (2) a.
成立.
学而时习之
1. 判断下列说法是否正确，并说明理由.
（1）±4 是 64 的立方根;
（2）－64 没有立方根;
（3）(－5)3 的立方根是 －5;
（4）互为相反数的两个数的立方根也互为相反数.
×
×
√
√
2. 求下列各数的立方根：
（1）－1000；（2） ；（3）－0.008；（4）106.
解：（1） ；
（2） ；
2. 求下列各数的立方根：
（1）－1000；（2） ；（3）－0.008；（4）106.
（3） ；
（4） .
（1） ； （2） ；
3. 计算：
（3） ； （4） .
解：（1） ；
（2） ；
（1） ； （2） ；
3. 计算：
（3） ； （4） .
（3） ；
（4） .
4. 体积为 500 cm3 的正方体，它的棱长大约是多少
厘米（结果精确到 0.01 cm）？
a = （cm）
解：设棱长为 a cm，
a3 = 500，
5. 用计算器求下列各数的近似值 （结果精确到 0.001）.
（1） ； （2） ； （3） .
解：（1） ；
（2） ；
（3） .
温故而知新
6. 如图，将一个棱长为 4 的正方体盒子装满水，然后将水全部倒入一个侧面为正方形，长为侧面边长 2 倍的长方体盒子中. 如果长方体盒子正好被装满，求长方体盒子的长（结果精确到0.1）.
解：43 = 64，设长方体侧面为a
则 a2 · 2a = 64，a =
7. 计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中：
式子 ··· ···
结果 ··· ···
0.06
0.6
6
60
由此你能发现什么规律？
被开方的小数点向右或向左移动 3 位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动 1 位。
1. 下列说法中，正确的是( )
D
A. 没有立方根 B. 1的立方根是
C. 的立方根是 D. 的立方根是
2. 我们知道，球的体积公式是 .若一个乒乓球的体
积为 ，则这个乒乓球的半径为( )
A
A. B. C. D.
3. 教材P36例2 用计算器计算（精确到 ）:
（1） _____;
（2） _______.
1.07
4. 利用计算器计算时，按键如图所示，则显示结果是___.
0
5. 比较大小：___3;___ .
6. 计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） .
原式 .
7. 求下列各式中 的值：
（1） ；
【解】，， .
（2） .
，， .
8. 已知的平方根是， 的立方根是3.
（1）求 的平方根；
【解】由题意得， ，
解得，.所以 .
因为，所以的平方根为 .
（2）若的算术平方根是4，求 的立方根.
因为 的算术平方根是4，
所以.所以，解得 .
所以 .
因为的立方根为，所以的立方根为 .
9. 已知，则 的值为( )
D
A. B. 0或
C. 0 D. 0，或
10. [长沙校级月考] 如果， ，
那么 ( )
B
A. 28.72 B. 13.33 C. D.
11. [邵阳月考] 已知，则 的立
方根为( )
A
A. B. C. 1 D. 2
【点拨】因为，所以
解得 所以 .因为
，所以的立方根为 .
12. 若，，则 的值是( )
C
A. 0 B. C. 0或 D. 0或
立方根
立方根的概念及性质
开立方及相关运算

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