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湘教版数学7年级下册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（*）班.时间：.2.3.2实数的运算第2章实数湘教版数学七年级下册2.3.2实数的运算练习题班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕实数的运算知识点设计，涵盖实数的加减、乘除、乘方、开方运算，以及实数运算的性质、运算顺序和简单应用，分基础巩固、能力提升、拓展应用三个层次，旨在帮助同学们熟练掌握实数的各类运算技巧，明确运算顺序，灵活运用运算性质解决问题，时长建议25分钟。一、基础巩固题（每题10分，共40分）1.判断下列计算是否正确，错误的请改正。（1）$$\sqrt{4} + \sqrt{5} = \sqrt{9}$$（）改正：________（2）$$\sqrt{16} - \sqrt{9} = 1$$（）改正：________（3）$$\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$$（）改正：________（4）$$\sqrt{8} \div \sqrt{2} = 4$$（）改正：________2.直接写出下列各式的结果。（1）$$\sqrt{9} + \sqrt{16} = $$________（2）$$\sqrt{25} - \sqrt{4} = $$________（3）$$\sqrt{3} \times \sqrt{3} = $$________（4）$$\sqrt{12} \div \sqrt{3} = $$________3.计算下列各式（结果化为最简形式）。（1）$$2\sqrt{2} + 3\sqrt{2}$$（2）$$\sqrt{18} - \sqrt{8}$$（3）$$\sqrt{5} \times 2\sqrt{5}$$4.填空：实数的运算顺序与有理数相同，先算________，再算________，最后算________；有括号的先算________。二、能力提升题（每题15分，共30分）1.计算下列各式（结果化为最简形式）。（1）$$(\sqrt{6} + \sqrt{3}) - (\sqrt{6} - \sqrt{3})$$（2）$$\sqrt{4} \times \sqrt{9} + \sqrt{2} \times \sqrt{8}$$2.求下列各式的值（结果保留小数点后两位）。（1）$$\sqrt{2} + \sqrt{3}$$（2）$$3\sqrt{5} - 2\sqrt{2}$$（3）$$\sqrt{6} \div \sqrt{2} + \sqrt{4}$$三、拓展应用题（每题15分，共30分）1.已知$$x = \sqrt{5} + 1$$，$$y = \sqrt{5} - 1$$，求$$x + y$$和$$xy$$的值，并判断结果是否为实数。2.一个正方形的边长为$$\sqrt{6}$$cm，另一个正方形的边长为$$\sqrt{2}$$cm，求这两个正方形的周长和与面积差（结果化为最简形式）。参考答案一、基础巩固题1.（1）×，$$\sqrt{4} + \sqrt{5} = 2 + \sqrt{5}$$（同类二次根式才能合并，$$\sqrt{4}$$与$$\sqrt{5}$$不是同类二次根式）；（2）√；（3）√；（4）×，$$\sqrt{8} \div \sqrt{2} = \sqrt{4} = 2$$2.（1）7；（2）3；（3）3；（4）23.（1）$$5\sqrt{2}$$；（2）$$\sqrt{2}$$；（3）104.乘方、开方；乘除；加减；括号里面的二、能力提升题1.（1）$$2\sqrt{3}$$（解析：去括号得$$\sqrt{6} + \sqrt{3} - \sqrt{6} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$）；（2）10（解析：$$2 \times 3 + \sqrt{16} = 6 + 4 = 10$$）2.（1）3.14（解析：$$\sqrt{2} \approx 1.414$$，$$\sqrt{3} \approx 1.732$$，和为≈3.14）；（2）3.71（解析：$$3\sqrt{5} \approx 6.708$$，$$2\sqrt{2} \approx 2.828$$，差为≈3.71）；（3）4.41（解析：$$\sqrt{6} \div \sqrt{2} = \sqrt{3} \approx 1.732$$，加$$\sqrt{4}=2$$，和为≈3.732，保留两位小数为3.73，修正：3.73）三、拓展应用题1. $$x + y = 2\sqrt{5}$$，$$xy = 4$$；均为实数；理由：$$x + y = (\sqrt{5} + 1) + (\sqrt{5} - 1) = 2\sqrt{5}$$，$$xy = (\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1) = 5 - 1 = 4$$；$$2\sqrt{5}$$是无理数，4是有理数，无理数和有理数都属于实数，故结果均为实数2.周长和：$$4(\sqrt{6} + \sqrt{2})$$cm（或$$4\sqrt{6} + 4\sqrt{2}$$cm）；面积差：4cm ；解析：第一个正方形周长$$4\sqrt{6}$$cm，第二个正方形周长$$4\sqrt{2}$$cm，周长和为$$4\sqrt{6} + 4\sqrt{2} = 4(\sqrt{6} + \sqrt{2})$$cm；第一个正方形面积$$(\sqrt{6})^2 = 6$$cm ，第二个正方形面积$$(\sqrt{2})^2 = 2$$cm ，面积差为$$6 - 2 = 4$$cm 温馨提示：解题时需牢记实数运算的核心要点——同类二次根式才能合并，非同类二次根式不能直接加减；实数的乘除运算中，$$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$$、$$\sqrt{a} \div \sqrt{b} = \sqrt{a \div b}$$（$$a \geq 0$$，$$b > 0$$）；运算顺序与有理数一致，易错点为非同类二次根式盲目合并、运算顺序错误，计算时需先化简二次根式，再按顺序运算，结果保留要求需严格遵循。1. 掌握实数的运算法则，熟练地利用计算器去解决
有关实数的运算问题.（重点）
2. 熟练掌握实数的大小比较方法．（难点）
实数的运算
把数从有理数扩充到实数以后，实数也可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且非负数可以进行开平方运算，任意实数都可以进行开立方运算.
运算顺序：
乘方、开方
乘除
加减
同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的.
在进行实数的运算时，有理数的运算法则、运算律等，对于实数仍然成立. 前面所学的有关数、式、方程（组）的性质、法则和解法，对于实数仍然成立.
填空：设 a，b，c 是任意实数，则
（1）a + b = （加法交换律）；
（2）(a + b) + c = （加法结合律）；
（3）ab = （乘法交换律）；
（4）(ab)c = （乘法结合律）；
b + a
a + (b + c)
ba
a(bc)
实数的运算
1
（5）a(b + c) = （乘法对于加法的分配律），
(b + c)a = （乘法对于加法的分配律）；
ab + ac
ba + ca
（6）实数的减法运算规定为 a - b = a + ；
(-b)
（9） 若 ab =0 ，则 a = 或 b = ；
（12）对于每一个非零实数 a，存在一个实数 b，满
足 a · b = b · a = 1，我们把 b 叫作 a 的＿＿＿.
（7）实数的除法运算规定为 a÷b =a ·______（ b≠0）；
（8）如果 a≠0，b≠0，那么 ab＿＿0；
倒数
≠
（11）a + 0 = 0 + a = ；
（10）a + (-a) = (-a) + a = ；
a
0
0
0
例1 计算下列各式的值：
解:
加法结合律
乘法对于加法的分配律
典例精析
思考：实数怎么比较大小呢？
实数的大小比较
2
对于实数 a，b：若 a－b＞0，则称 a 大于 b (或者 b 小于 a)，记作 a＞b (或 b＜a )；
若 a－b＜0，则称 a 小于 b (或者 b 大于 a)，记作 a＜b (或 b＞a)；
若 a－b＝0，则称 a 等于 b，记作 a＝b.
要注意的是，对于任何实数 a，b，在a＞b，a＝b，
a＜b这三种关系中，有且只有一种成立
1.正数大于零，负数小于零，正数大于负数；
2.两个正数，绝对值大的数较大；
3.两个负数，绝对值大的数反而小.
4.数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.
与有理数一样，在实数范围内：
总结归纳
一般地，对于两个正实数 a，b，
若 a＞b，则，反过来也成立.
若a＞b，则，反过来也成立.
典例精析
例2 比较下列各组数的大小.
(1) 2.5 与 ； (2) 3 与 ； (3) －3与 －.
解：(1) 因为 2.52＝6.25，()2＝7，又6.25＜7，
所以 2.5<.
(3) 因为|－3|＝3，|－|＝，由(2)知3，
所以－3<－.
(2) 因为3 ＝27，() ＝25，又2725，所以3.
思 考
不用计算器，分别估计 与 在哪两个相邻整数之间.
由于102＝100＜115，()2＝115，112＝121＞115， 所以 应介于 10 和 11 之间，即 10＜＜11.
由于43＝64＜121，()3＝121， 53＝125＞121，
所以 应介于 4 和 5 之间，即 4＜＜5.
例4 利用 = 1.414213562··· 和 = 2.645751311···
计算 + 的值(结果精确到0.001).
【方法总结】在实数运算中，当遇到无理数并且要求出结果的近似值时，可以按照要求的精确度用相应的近似有限小数代替无理数进行计算.
解： 由于需精确到 0.001，于是只需取 ≈ 1.4142，
≈ 2.6457，
故 + ≈ 1.4142 + 2.6457 = 4.0599 ≈ 4.060.
学而时习之
1. 判断（正确的画“√”，错误的画“×”）：
（1）－a 一定没有平方根； （ ）
（2） 是一个分数； （ ）
（3） 是无理数. （ ）
×
π 是无理数
×
×
2. 求下列各数的相反数和绝对值：
（1） ；（2） ；（3） －2.8；（4）π－3.1415.
解（1） 的相反数为 ， ；
（2） 的相反数为 ， ；
2. 求下列各数的相反数和绝对值：
（1） ；（2） ；（3） －2.8；（4）π－3.1415.
（3） 的相反数为 ，
因为 2.82 = 7.84 < 10，所以 2.8 < ，
2. 求下列各数的相反数和绝对值：
（1） ；（2） ；（3） －2.8；（4）π－3.1415.
（4）π－3.1415 的相反数为 3.1415－π，
因为 π = 3.1415926…，所以 π > 3.1415，
|π－3.1415| = π－3.1415.
（1） 与 ； （2）－4 与 .
3. 比较下列各组数的大小：
解（1） ， ；
，所以 .
（1） 与 ； （2）－4 与 .
3. 比较下列各组数的大小：
（2） ， ；
64 > 61，所以 －64 < －61， .
4. 不用计算器，分别估计 与 在哪两个
相邻整数之间.
所以 应介于 7 和 8 之间，
即 7 < < 8.
由于 72 = 49 < 50，
，82 = 64 > 50，
由于 53 = 125 < 196，
，63 = 216 > 196，
所以 应介于 5 和 6 之间，
即 5 < < 6.
5. 利用 和
计算 的值（结果精确到 0.001）.
解 由于需精确到 0.001，于是只需取 ，
，
故 ≈ 0.7337 － 0.8549 = －0.1212 ≈ －0.121.
温故而知新
6.（多选题）已知实数 a，b，c，d 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列说法正确的有（ ）.
（A）a >－3 （B）b + c > 0 （C）bc > 0
（D）| a | > | d | （E）b－a > 0
0
1
2
3
-1
-2
-3
4
5
-4
-5
O
a
b
c
d
BE
7. 若 a－2 的平方根是 ±2，2a + b + 7 的立方根是 3，
求 a2 + b2 的算术平方根.
解 (a－2) = 22 = 4，a = 6，
2a + b +7 = b + 19，b + 19 = 33 = 27，b = 8，
a2 + b2 = 62 + 82 = 100，
8. 我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个为一组，“完美组合数”.
例如，对于－9，－4，－1 这三个数，由于
， ，
又 6，3，2 都是整数，所以 －9，－4，－1 这三个数
是一组“完美组合数”.
（1）－18，－8，－2 这三个数是一组“完美组合数” 吗？请说明理由.
12，6，4 都是整数，所以 －18，－8，－2 这三个数
是一组“完美组合数”.
（2）若三个数－3，m，－12 是一组“完美组合数”，且其中有两个数乘积的算术平方根为 12，求 m 的值.
，m = －48
1. 计算 的结果为( )
B
A. 2 B. C. D.
2. [北京海淀区期末] 如图，表示数 的点应在( )
B
A. ，之间 B. ， 之间
C. ，之间 D. ， 之间
3. 教材P44例3 运用某种电子计算器求 的近
似值，其按键顺序正确的是( )
A
A.
B.
C.
D.
4. 我国古代数学家张衡将圆周率取值为 ，
祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为 .比较大小：-
___（填“ ”或“ ”）.
5. 用计算器计算： _______（精确到 ）
16.906
6. 计算：
（1） ；
【解】原式
.
（2） ；
原式
.
（3） .
原式 .
7. 解方程组：
【解】
,得 ,③
,得,解得 .
把代入②,得,解得 .
所以原方程组的解为
8. 按如图所示的程序计算，若开始输入的值为 ，则最后
输出的结果是( )
B
A. 24 B. C. 25 D.
9. 座钟的钟摆摆动一个来回所需的时间称为一
个周期，其计算公式为，其中 表示周期
单位：，表示摆长单位：，， 取3.14.假如一台座钟的摆长为 ，它每摆动一个来回发一次滴答
声，那么在一分钟内，该座钟大约发出滴答声的次数为
( )
D
A. 60 B. 48 C. 46 D. 42
【点拨】由题意知 ，所以在一
分钟内，该座钟大约发出滴答声的次数为 .故
选D.
10. 小李同学探索 的近似值的过程如下：
因为面积为86的正方形的边长是 ，且
，所以设 ，其中
，画出示意图如图.根据示意图，
12.21
可得.又因为 ，所以
.当时，可忽略 ，得
，解得，所以 .仿照该方法，
探究的近似值为______结果精确到 .
实数的运算
实数的运算律
用计算器计算
实数的大小比较

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