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湘教版数学7年级下册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（*）班.时间：.4.5.1垂线的概念第4章平面内的两条直线湘教版数学七年级下册4.4.2平行线的判定方法2、3练习题班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕4.4.2平行线的判定方法2（内错角相等，两直线平行）、判定方法3（同旁内角互补，两直线平行）知识点设计，涵盖内错角、同旁内角的识别，两种判定方法的理解与应用，以及三种判定方法（含方法1）的辨析，分基础巩固、能力提升、拓展应用三个层次，旨在帮助同学们熟练掌握两种新的平行线判定方法，能准确识别内错角、同旁内角，灵活运用三种判定方法判断两直线平行，规范书写推理过程，时长建议25分钟。一、基础巩固题（每题10分，共40分）1.判断下列说法是否正确，错误的请改正。（1）内错角相等，两直线平行（）改正：________（2）同旁内角相等，两直线平行（）改正：________（3）两条直线被第三条直线所截，若内错角相等，则同旁内角一定互补（）改正：________（4）平行线的三种判定方法，都是由角的关系推出线平行（）改正：________2.填空：（1）平行线的判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果________相等，那么这两条直线平行；（2）平行线的判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果________互补，那么这两条直线平行；（3）内错角的位置特征是：在截线________，且在被截直线________；同旁内角的位置特征是：在截线________，且在被截直线________；（4）若直线AB、CD被直线EF所截，∠AEF与∠CFE是内错角，且∠AEF = ∠CFE，则________∥________；若∠BEF与∠CFE是同旁内角，且∠BEF + ∠CFE = 180°，则________∥________。3.如图（无图，结合题意答题），直线AB、CD被直线EF所截，∠1与∠2是内错角，已知∠1 = 65°，∠2 = 65°，判断AB与CD是否平行，并说明理由（写出简要解题步骤）。4.选择题：下列选项中，能利用“同旁内角互补，两直线平行”判定两直线平行的是（）A.因为∠1 = ∠2，所以AB∥CD B.因为∠1 + ∠2 = 180°，所以AB∥CDC.因为AB∥CD，所以∠1 = ∠2 D.因为AB∥CD，所以∠1 + ∠2 = 180°二、能力提升题（每题15分，共30分）1.如图（无图，结合题意答题），直线l 、l 被直线l 所截，∠1 = 50°，∠2 = 50°，∠3 = 130°，判断l 与l 、l 与l 是否平行，并说明理由（写出完整解题步骤，可结合三种判定方法）。2.已知直线AB、CD被直线EF所截，EG平分∠AEF，FH平分∠CFE，且∠AEF + ∠CFE = 180°，求证：AB∥CD（写出完整推理步骤，提示：结合角平分线性质和同旁内角互补判定平行）。三、拓展应用题（每题15分，共30分）1.如图（无图，结合题意答题），在同一平面内，直线AB、CD、EF两两相交，∠1 = ∠2 = 110°，∠3 = 70°，判断AB与CD、EF与CD的位置关系，并说明理由（写出完整解题步骤，灵活选用判定方法）。2.某小区内有两条直线型小路AB和CD，被一条交叉小路EF所截，测得∠AEF = 70°，∠DFE = 110°，请判断AB与CD是否平行，并说明理由；若要使AB∥CD，还可以测得哪些内错角相等或同旁内角互补（写出完整解题步骤）。参考答案一、基础巩固题1.（1）√；（2）×，同旁内角互补，两直线平行；（3）√；（4）√2.（1）内错角；（2）同旁内角；（3）两侧；之间；同侧；之间；（4）AB；CD；AB；CD3.解：AB∥CD；理由：∵∠1与∠2是内错角，且∠1 = ∠2 = 65°，根据平行线的判定方法2（内错角相等，两直线平行），∴AB∥CD4. B（解析：A是利用内错角相等判定平行，C、D是平行线的性质，只有B是利用同旁内角互补判定平行）二、能力提升题1.解：l ∥l ，l ∥l ；理由：∵∠1与∠2是内错角，且∠1 = ∠2 = 50°，根据平行线的判定方法2，∴l ∥l ；∵∠2与∠3是同旁内角，且∠2 + ∠3 = 50°+ 130°= 180°，根据平行线的判定方法3，∴l ∥l ；答：l 与l 平行，l 与l 平行。2.证明：∵EG平分∠AEF，FH平分∠CFE（已知），∴∠GEF = $$\frac{1}{2}$$∠AEF，∠HFE = $$\frac{1}{2}$$∠CFE（角平分线的定义）；又∵∠AEF + ∠CFE = 180°（已知），∴∠GEF + ∠HFE = $$\frac{1}{2}$$（∠AEF + ∠CFE）= 90°（等式性质）；∵∠GEF与∠HFE是同旁内角，且∠GEF + ∠HFE = 180°（此处修正：∠AEF与∠CFE是同旁内角，推导应为∠AEF + ∠CFE = 180°，直接根据判定方法3），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）。三、拓展应用题1.解：AB∥CD，EF∥CD；理由：∵∠1与∠2是同旁内角，且∠1 + ∠2 = 110°+ 110°= 220°（修正：∠1的对顶角与∠2是内错角，∠1的对顶角= ∠1 = 110°，∠2 = 110°，内错角相等，∴AB∥CD）；∵∠2与∠3是同旁内角，且∠2 + ∠3 = 110°+ 70°= 180°，根据判定方法3，∴EF∥CD；答：AB与CD平行，EF与CD平行。2.解：AB∥CD；理由：∵∠AEF与∠DFE是同旁内角，且∠AEF + ∠DFE = 70°+ 110°= 180°，根据平行线的判定方法3，∴AB∥CD；若要使AB∥CD，还可以测得：∠BEF = ∠DFE（内错角相等），或∠AEF = ∠CFE（内错角相等），或∠BEF + ∠CFE = 180°（同旁内角互补）；答：AB与CD平行；还可以测得∠BEF = ∠DFE等内错角相等，或∠BEF + ∠CFE = 180°等同旁内角互补。温馨提示：本章核心知识点是平行线的判定方法2（内错角相等，两直线平行）和方法3（同旁内角互补，两直线平行），解题时需重点区分内错角与同旁内角的位置特征，熟练掌握三种判定方法的灵活运用；易错点为混淆内错角与同旁内角的位置、误用“同旁内角相等”判定平行，或忽略三种判定方法的核心逻辑（角关系→线平行）；解题时可结合图形（无图时简单画图）辅助识别角的类型，规范书写推理步骤，确保判定过程严谨。 1. 理解垂线的概念、性质；（重点）
2. 会运用垂线的性质解决问题. （难点）
情境导入
日常生活中，如图中的两条直线的关系很常见，你还能举出其他生活中的例子吗
在相交线的模型中，固定木条 a，转动木条 b，当 b 的位置变化时，a、b 所成的角 α 也会发生变化.
）
α
a
b
b
b
b
b
）
α
垂线的概念
问题 如图，直线 AB 与 CD 交于点 O，当∠AOC＝90° 时，∠BOD、∠AOD、∠BOC 等于多少度？为什么？
A
B
C
D
O
由对顶角和平角的性质，可知当∠AOC＝90°时，
∠BOD =∠AOD =∠BOC = 90°.
在同一平面内的两条直线相交所成的四个角中，若有一个角是直角(此时可知其余三个角也是直角)，则称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.
若两条直线相交所成的四个角中没有直角，则称其中一条直线为另一条直线的斜线.
垂直的定义：
知识要点
A
B
C
D
如图，直线CD是AB的斜线，同样，直线AB也是CD的斜线.
如果直线 AB 与直线 CD 垂直，那么可记作：AB⊥CD（或 CD⊥AB）.
如果用 l、m 表示这两条直线，那么直线 l 与直线 m 垂直可记作：l⊥m（或 m⊥l）.
其中 O 点是这两条互相垂直的直线的垂足.
B
A
C
D
O
l
m
垂直的表示法
反之，若直线 AB⊥CD，垂足为 O，那么∠AOD = 90°.
符号语言：
如图，当直线 AB 与 CD 相交于 O 点，∠AOD = 90° 时，AB⊥CD，垂足为 O.
①判定：因为∠AOD = 90°（已知），
所以 AB⊥CD（垂直的定义）.
符号语言：
②性质：因为 AB⊥CD（已知），
所以∠AOD = 90° (垂直的定义).
(∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)
垂直概念的延伸
A
B
C
D
O
(2) 若直线 AB、CD 相交于点 O，且 AB⊥CD，那么
∠BOD =_____°；
例1 (1) 如图1，若直线 m、n 相交于点 O，∠1 = 90°，则 ；
O
m
n
1
B
C
A
O
m⊥n
90
图1
图2
(3) 如图2，BO⊥AO，∠BOC 与∠BOA 的度数之比为
1∶5，则∠COA = °，∠BOC 的补角为 °.
72
162
你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？
活动1：
如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？
活动2：
例2 如图，直线 BC 与 MN 交于点 O，AO⊥BC，∠BOE =∠NOE，若∠EON = 20°，求∠AOM 和∠NOC 的度数．
解：因为∠BOE＝∠NOE，∠EON＝20°，
所以∠BON＝2∠EON＝40°.
所以∠NOC＝180°－∠BON
＝180°－40°＝140°.
∠MOC＝∠BON＝40°.
因为 AO⊥BC，所以∠AOC＝90°.
所以∠AOM ＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°.
综上可知，∠AOM ＝50°，∠NOC ＝140°.
思考：在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线，
这两条直线平行吗？为什么？
a
b
c
b⊥a，c⊥a
b∥c
？
猜想：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
合作探究
(1) 在同一平面内，b⊥a，c⊥a，试说明：b∥c.
1
2
因为 b⊥a，c⊥a（已知），
所以 b∥c
(同位角相等，两直线平行).
所以∠1 = ∠2 = 90°
(垂直的定义).
解法1：如图，
a
b
c
验证猜想
因为 b⊥a，c⊥a (已知)，
所以∠1 =∠2 = 90° (垂直的定义).
所以 b∥c (内错角相等，两直线平行).
a
b
c
1
2
解法2：如图，
在同一平面内，b⊥a，c⊥a，试说明：b∥c.
你还有其他的解法吗？
验证猜想
(2) 如图，在同一平面内，如果直线 a∥b，l⊥a，那么 l⊥b 吗
解：因为 l⊥a，
所以∠1 = 90°.
因为 a∥b，
所以 ∠2 = ∠1= 90°(两直线平行，同位角相等)，
因此 l⊥b.
a
b
l
1
2
几何语言：
因为 b⊥a，c⊥a (已知)，
所以 b∥c (同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行).
a
b
c
1
2
反之，在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线也垂直于另一条直线.
验证猜想
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
例3 如图的简易屋架中，BD，AE，HF 都垂直于 CG，若∠1＝60°，求∠2 的度数．
解：因为 BD，AE 都垂直于 CG，所以 BD∥AE（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）.
从而∠2＝∠1＝60°（两直线平行，同位角相等）.
C
A
B
D
E
F
G
H
1
2
例4 如图，在△ABC 中，CD⊥AB 于点 D，∠1 = ∠2，求∠BEF 的度数.
解：因为 CD⊥AB，
所以∠BDC = 90°.
又因为∠1 = ∠2，
所以 DC∥EF
(同位角相等，两直线平行).
所以∠BEF=∠BDC = 90°(两直线平行，同位角相等).
解：方法1：测出∠3 = 90°，
理由是同位角相等，两直线平行.
方法2：测出∠2 = 90°，
理由是同旁内角互补，两直线平行.
方法3：测出∠5 = 90°，
理由是内错角相等，两直线平行.
方法4：测出∠2，∠3，∠4，∠5 中任意一个角为 90°，
理由是同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行.
例5 如图，为了说明示意图中的平安大街与长安街是互相平行的，在地图上量得∠1=90°，你能通过度量图中已标出的其他的角来验证这个结论吗？说出你的理由.
（第1题）
1. 如图，直线和相交于点 ，
.若 ，则 的
大小为( )
B
A. B. C. D.
2. 设,, 为同一平面内的三条直线，下列说法中不正确的是
( )
D
A. 若,,则 B. 若,,则
C. 若,,则 D. 若,,则
3. 如图，直线，相交于点，平分 ，
于点，则 _____.
（第3题）
（第3题）
【点拨】
因为平分 ，所以
因为 ，所以
.所以
.因
为 ，所以
.
4. 两条直线相交构成四个角，以下4个条件：
①有一个角是直角；
②有一对对顶角相等；
③有一对邻补角相等；
④有三个角都相等.
其中能判定这两条直线垂直的个数是___.
3
5. 如图所示是地球截面图，
其中， 分别表示南回归线和北回归
线，表示赤道，点 表示某市的位置.
现已知地球南回归线的纬度是南纬 ，
该市的纬度是北纬 ，而冬至正午时，
太阳光（太阳光线都是互相平行的）直射南回归线
（光线的延长线经过地心 ），则该市冬至正午时，太阳
光线与地面水平线的夹角 的度数是______.
6. 教材P115练习T1 如图，直线 ，
相交于点， .
（1）若 ，求 的度数；
【解】因为，所以 .
又因为 ,
所以 .
所以 .
（2）如果，请判断与 的位置关系，并说明理由.
.理由如下：
因为 ，
所以 ，即 .
因为 ，
所以 ，即 .
所以 .
7. 如图①，汉代的《淮南万毕术》中记载的 “取大
镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改
变光路的方法.为探清一口深井的底部情况，如图②，在井口放置一
面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角
时，已知 ，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射
入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角 为( )
B
A. B. C. D.
8. 在同一平面内有100条互不重合的直线，
若,,,, , ,则下列结论
正确的是( )
C
A. B. C. D.
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.
1. 垂线的定义
2. 垂线的性质
在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行.
在同一平面内，如果一直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线也垂直于另一条.

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