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湘教版数学7年级下册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（*）班.时间：.4.6两条平行线间的距离第4章平面内的两条直线湘教版数学七年级下册4.6两条平行线间的距离练习题班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕4.6两条平行线间的距离知识点设计，涵盖两条平行线间距离的定义、性质（两条平行线间的距离处处相等），结合垂线段、点到直线的距离知识辅助理解，分基础巩固、能力提升、拓展应用三个层次，旨在帮助同学们熟练掌握两条平行线间距离的核心概念，能准确区分点到直线的距离与平行线间的距离，灵活运用性质解决实际问题，规范计算平行线间的距离，时长建议25分钟。一、基础巩固题（每题10分，共40分）1.判断下列说法是否正确，错误的请改正。（1）两条平行线间的距离，是指一条直线上任意一点到另一条直线的距离（）改正：________（2）两条平行线间的距离处处相等（）改正：________（3）过一条平行线上的一点作另一条平行线的垂线段，这条垂线段的长度就是两条平行线间的距离（）改正：________（4）两条平行线间的距离是线段，点到直线的距离是长度（）改正：________2.填空：（1）两条平行线间的距离的定义：在两条平行线中，一条直线上的________到另一条直线的________，叫做这两条平行线间的距离；（2）两条平行线间的核心性质：________；（3）若直线l ∥l ，点A在l 上，过点A作l 的垂线段AB，垂足为B，则线段AB的________就是l 与l 之间的距离；（4）两条平行线间的距离与点到直线的距离的关系：两条平行线间的距离，本质是一条平行线上的点到另一条直线的________。3.如图（无图，结合题意答题），已知直线l ∥l ，过l 上一点P作l 的垂线段PQ，垂足为Q，PQ = 4cm，求l 与l 之间的距离，并说明理由（写出简要解题步骤）。4.选择题：下列关于两条平行线间距离的说法，正确的是（）A.两条平行线间的距离有无数条，且长度不相等B.两条平行线间的距离是其中一条直线上的点到另一条直线的垂线段C.两条平行线间的距离处处相等D.过平行线外一点作两条平行线的垂线段，长度不相等二、能力提升题（每题15分，共30分）1.如图（无图，结合题意答题），直线l ∥l ，点A、B在l 上，点C、D在l 上，过点A作l 的垂线段AE，垂足为E；过点B作l 的垂线段BF，垂足为F，已知AE = 5cm，求BF的长度，并说明理由（写出完整解题步骤，提示：结合平行线间距离的性质）。2.已知直线l ∥l ，直线l 分别交l 、l 于点M、N，过点M作l 的垂线段MG，垂足为G，若MN = 10cm，∠NMG = 30°，求l 与l 之间的距离（写出完整解题步骤，提示：结合直角三角形性质）。三、拓展应用题（每题15分，共30分）1.如图（无图，结合题意答题），在同一平面内，长方形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AB = 10cm，AD = 6cm，求AB与CD之间的距离，以及AD与BC之间的距离（写出完整解题步骤）。2.某长方形操场的长和宽分别是两条互相平行的线段，已知长所在的直线与宽所在的直线平行，量得一条长上某点到另一条长的垂线段长度为15米，求这个操场两条长之间的距离，以及两条宽之间的距离的关系（写出完整解题步骤，提示：结合长方形的特征和平行线间距离的性质）。参考答案一、基础巩固题1.（1）√；（2）√；（3）√；（4）×，两条平行线间的距离和点到直线的距离都是长度，垂线段是线段，不是距离2.（1）任意一点；垂线段的长度；（2）两条平行线间的距离处处相等；（3）长度；（4）距离3.解：l 与l 之间的距离为4cm；理由：∵l ∥l ，PQ是l 上一点P到l 的垂线段，根据两条平行线间距离的定义，∴PQ的长度就是l 与l 之间的距离，即4cm。4. C（解析：A错误，两条平行线间的距离处处相等；B错误，平行线间的距离是垂线段的长度，不是垂线段；D错误，过平行线外一点作两条平行线的垂线段，长度相等）二、能力提升题1.解：BF = 5cm；理由：∵l ∥l ，AE是点A到l 的垂线段，BF是点B到l 的垂线段，根据两条平行线间距离的性质，两条平行线间的距离处处相等，∴AE = BF；又∵AE = 5cm，∴BF = 5cm；答：BF的长度为5cm。2.解：∵MG是l 上点M到l 的垂线段，∴MG的长度就是l 与l 之间的距离；在Rt△MNG中，∠MGN = 90°，∠NMG = 30°，MN = 10cm；根据直角三角形性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，∴MG = $$\frac{1}{2}$$MN = $$\frac{1}{2}$$×10 = 5cm；答：l 与l 之间的距离为5cm。三、拓展应用题1.解：∵四边形ABCD是长方形，∴AB∥CD，AD⊥AB，AD⊥CD；∴AD是AB上一点A到CD的垂线段，AD的长度就是AB与CD之间的距离，即6cm；同理，AB是AD上一点A到BC的垂线段，AB的长度就是AD与BC之间的距离，即10cm；答：AB与CD之间的距离为6cm，AD与BC之间的距离为10cm。2.解：两条长所在的直线互相平行，一条长上某点到另一条长的垂线段长度为15米，根据平行线间距离的定义，这条垂线段的长度就是两条长之间的距离，即15米；∵长方形的长与宽互相垂直，两条宽所在的直线互相平行，∴两条宽之间的距离等于两条长的长度，与两条长之间的距离（15米，即长方形的宽）互相垂直且长度不相等（除非是正方形）；答：两条长之间的距离为15米，两条宽之间的距离等于长方形的长，与两条长之间的距离互相垂直。温馨提示：本章核心知识点是两条平行线间距离的定义和性质，解题时需重点区分“两条平行线间的距离”与“点到直线的距离”“垂线段”：三者的核心联系是平行线间的距离本质是点到直线的距离，三者的区别是垂线段是线段，距离是垂线段的长度；易错点为混淆“垂线段”与“距离”，或忽略平行线间距离“处处相等”的性质；解题时可结合图形（无图时简单画图）辅助理解，结合长方形、直角三角形等知识，规范计算平行线间的距离。1. 掌握公垂线段的概念及其性质；
2. 会求平行线间的距离. （重点）
复习导入
1. 什么是点到直线的距离？
2. 直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，哪条最短？
A
B
连接两点的线段的长度叫两点间的距离.
M
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.
N
a
某火车站一位铁路护路工人因有事出差，为了保证火车安全行驶，假设由你来顶替他工作，你应该怎样确定两条铁轨是平行的呢？
活动1：请各位同学用直尺量一量自己的数学课本，它的宽度是多少？
你的直尺与课本的两边成什么角度？量在课本的哪个位置？大家量得的结果是一样的吗？
可以把直尺放在课本上任何一个位置，但必须保持直尺与课本的两边互相垂直，量得的结果是一样的．
两条平行线间的距离
与两条平行直线都垂直的直线，叫作这两条平行直线的公垂线，这时连接两个垂足的线段，叫作这两条平行直线的公垂线段．
概念学习
A
B
C
D
l1
l2
图中的线段 AB，CD 都是平行线 l1 与 l2 的公垂线段.
活动2：请任意画两条互相平行的直线 a、b，在直线 a 上，任意取两点 A、B. 然后量出点 A、B 到直线 b 的距离，并加以比较，你能得到什么结果？
AC = DB
A
C
B
D
a
b
合作探究
活动3：把一把三角尺的一条直角边沿着直线 b 移动，请观察三角尺的另一条直角边与直线 a 交点处的刻度，问：刻度有改变吗？
a
b
通过上述实验，你发现了什么？
两条平行线的所有公垂线段都 .
相等
几何语言：
因为 a∥b，AC，BD 是 a，b 的公垂线段，
所以 AC = BD.
C
D
定义：两条平行线的公垂线段的长度叫作两条平行线间的距离.
A
B
概念学习
A
B
C
D
l1
l2
由上述结论可以进一步猜测：
平行线 l1 与 l2 之间的距离等于 l1 上任一点到直线 l2 的距离.
又线段 AB 的长度是点 A 到直线 l 的距离，
因此，平行线 l1 与 l2 之间的距离等于直线 l1 上的点 A 到直线 l 的距离.
思考：你可以说明这个猜想是正确的吗？
证明：如图，线段 AB 是两条平行线 l1 与 l2 的公垂线段，从而线段 AB 的长度是直线 l1 与 l2 之间的距离.
解：因为 AB∥DC，DE⊥AB，
所以 DE⊥DC.
又AB∥DC，BF⊥CD，
于是 BF⊥AB. 因而DE∥FB.
又 DF⊥DE，DF⊥FB，EB⊥DE，EB⊥FB，
从而线段 DF，EB 都是平行线 DE 与 FB 的公垂线段.
故 DF = EB. 又AB = DC，
所以 AB - EB = DC - DF，即 AE = CF.
例1 如图，AB∥DC，AB = DC，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为点 E，F，那么线段 AE 与 CF 相等吗
D
A
B
C
F
E
例2 如图，已知 AD∥BC，判断 与 是否相等，并说明理由.
解：相等. 理由如下：
所以△ABC 与 △DBC 的高相等.
因为 △ABC 与 △DBC 的底都是 BC，
所以 △ABC 与 △DBC 是同底等高三角形.
所以 S△ABC = S△DBC.
因为 AD∥BC，
解：在 a 上任取一点 A，过 A 作 AC⊥a，分别与 b，c 相交于 B，C 两点，
A
b
c
B
C
a
5
2
例3 如图，设 a，b，c 是三条互相平行的直线.
已知 a 与 b 的距离为 5 ，b 与 c 的距离为 2 ，求 a 与 c 的距离.
因为 a，b，c 是三条互相平行的直线，
所以AB⊥b，AC⊥a.
因此，线段AB，BC，AC分别是平行线a 与 b，b 与 c，a 与 c 的公垂线段.
又AC = AB + BC = 5 + 2 = 7，
因此，a 与 c 的距离是 7.
[选自教材P123 练习]
1. 利用平移画一条直线和已知直线 l 平行，且要求两条平行线间的距离为 2 cm， 这样的直线可以画几条？
可以画 2 条
[选自教材P123 练习]
2. 如图， MN∥AB，P，Q 为直线 MN 上的任意两点，△ PAB 和△ QAB 的面积有什么关系？ 为什么？
解: 相等.理由如下:
因为△ PAB 和△ QAB 的AB 边上的高相等，都是 MN 和 AB 之间的距离，即两三角形同底等高，所以△ PAB 和△ QAB 的面积相等.
1. 下列说法中，错误的是( )
A
A. 平行线间的距离就是两条平行线间的公垂线
B. 两条平行线的所有公垂线段都相等
C. 两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一个点到另
一条直线的距离
D. 垂线段最短
（第2题）
2. 如图，直线，点，在
上，点，，在 上，若
，则下列线段
的长度是到 的距离的是( )
C
A. B. C. D.
3. 如图，已知直线,直线 与它们分别垂直且相交于
,,三点.若,,则平行线, 之间的距离是___.
5
（第3题）
4. 如图，在 的网格中，每个小正方形的边长为1，小正
方形的顶点称为格点，点，，， 均在格点上，仅用无
刻度直尺完成下列作图.
（1）在线段上找一点，使 ；
【解】如图，连接交 于
，则点 即为所求.
（2）在线段上找一点，使；连接 ，直
接写出 的面积.
如图，取格点，连接交于，则点 即为所求.
的面积为3.
（第5题）
5. 如图，点在直线上移动，，
是直线上的两个定点，且直线 .
对于下列各值，不会随点 的移动而
变化的是( )
C
A. 的大小 B. 的周长
C. 的面积 D. 以上答案都不对
6. 在同一平面内，已知,,若直线， 之间的距离为
,直线，之间的距离为,则直线， 之间的距离为
( )
A
A. 或 B.
C. D. 不确定
（第7题）
7. 我们知道：平行线间的
距离处处相等.如图，, ,
，则图中与 面积相等的三
角形有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. 已知，为边上一点，将线段沿 方向平移
至，与交于点，.若与 的面积之和
为13，点是线段上一动点，的最小值为10，则
___.
5
两条平行线间的距离
概念
性质
公垂线
公垂线段
平行线间的距离
两条平行线的公垂线段都相等

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