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湘教版数学7年级下册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（*）班.时间：.小结与评价第1章整式的乘法湘教版数学七年级下册第1章整式的乘法综合练习题班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕第1章“整式的乘法”全章节知识点设计，涵盖同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、单项式的乘法、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘及乘法公式的综合运用，分基础巩固、能力提升、拓展应用三个层次，旨在帮助同学们系统梳理章节知识，熟练掌握各类运算技巧，提升综合解题能力，时长建议30分钟。一、基础巩固题（每题8分，共40分）1.直接写出下列各式的结果（考查幂的运算）。（1）$$a^3 \cdot a^5 = $$________（2）$$(x^4)^2 = $$________（3）$$(-2ab)^3 = $$________（4）$$3x \cdot 2x^2 = $$________（5）$$(x+2)(x-2) = $$________2.判断下列计算是否正确，错误的请改正。（1）$$(a^2)^3 = a^5$$（）改正：________（2）$$2x \cdot 3x^3 = 6x^3$$（）改正：________（3）$$(x-3)^2 = x^2-6x-9$$（）改正：________（4）$$(2x+1)(x-2) = 2x^2-3x-2$$（）改正：________3.计算下列各式（考查单项式、多项式乘法）。（1）$$2x^2(3x^3-4x+1)$$（2）$$(a+3)(a-4)$$4.运用乘法公式计算：$$(2a-3b)^2$$和$$(x+5)(x-5)$$。5.填空：若$$3^m \cdot 3^n = 3^8$$，则$$m+n = $$________；若$$(x+m)^2 = x^2-6x+n$$，则$$m = $$________，$$n = $$________。二、能力提升题（每题15分，共30分）1.计算下列各式（综合考查幂的运算与整式乘法）。（1）$$(-2x^2y)^3 \cdot 3xy^2 + x^3y \cdot (-4x^2y^4)$$（2）$$(x-2)(x+3) - (x-1)^2$$2.已知$$a+b=4$$，$$ab=2$$，运用乘法公式求下列各式的值：（1）$$a^2 + b^2$$（2）$$(a-b)^2$$（3）$$a^2 - b^2$$三、拓展应用题（每题15分，共30分）1.运用乘法公式简化计算：$$2026^2 - 2025 \times 2027$$，并说明运算依据。2.一个长方形的长为$$(2x+3)$$cm，宽为$$(x-2)$$cm，另一个正方形的边长为$$(x+1)$$cm（$$x>2$$）。（1）用整式表示长方形和正方形的面积；（2）求长方形与正方形的面积差；（3）当$$x=4$$时，求面积差的实际值。参考答案一、基础巩固题1.（1）$$a^8$$；（2）$$x^8$$；（3）$$-8a^3b^3$$；（4）$$6x^3$$；（5）$$x^2-4$$2.（1）×，$$a^6$$；（2）×，$$6x^4$$；（3）×，$$x^2-6x+9$$；（4）√3.（1）$$6x^5 - 8x^3 + 2x^2$$；（2）$$a^2 - a - 12$$4. $$4a^2 - 12ab + 9b^2$$；$$x^2 - 25$$5. 8；-3；9二、能力提升题1.（1）$$-28x^7y^5$$；（2）$$3x - 7$$2.（1）12（解析：$$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 16 - 4 = 12$$）；（2）8（解析：$$(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab = 16 - 8 = 8$$）；（3）±8（解析：$$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) = 4 \times (\pm 2\sqrt{2}) = \pm 8\sqrt{2}$$）三、拓展应用题1. 1（解析：第一步，逆用平方差公式，$$2025 \times 2027 = (2026 - 1)(2026 + 1) = 2026^2 - 1$$（平方差公式逆用）；第二步，代入原式：$$2026^2 - (2026^2 - 1) = 1$$）2.（1）长方形面积：$$(2x+3)(x-2) = 2x^2 - x - 6$$；正方形面积：$$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$$；（2）面积差：$$x^2 - 3x - 7$$；（3）1（解析：当$$x=4$$时，$$16 - 12 - 7 = -3$$，绝对值为3，此处修正：$$4^2 - 3 \times 4 - 7 = 16 - 12 - 7 = -3$$，面积差为$$|x^2 - 3x - 7| = 3$$，实际面积差为3cm ）温馨提示：本章重点是幂的运算和整式乘法法则、乘法公式的综合运用，解题时需先判断式子特点，选择合适的运算方法；注意符号变化和公式的逆向运用，避免出现漏项、符号错误和公式混淆；计算后可通过展开、代入特殊值等方式验证结果，确保准确性。数与代数
数与式
方程与不等式
函数
有理数
实数
代数式
幂的运算
单项式的乘法
多项式的乘法
乘法公式
同底数幂的乘法
幂的乘方
积的乘方
平方差公式
完全平方公式
法则名称 文字表示 式子表示 逆用
同底数幂的乘法
幂的乘方
积的乘方
am·an = am+n
(m、n为正整数)
am+n = am·an
(m、n为正整数)
(am)n = amn
(m、n为正整数)
amn = (am)n
(m、n为正整数)
(ab)n = anbn
(m、n为正整数)
anbn = (ab)n
(m、n为正整数)
知识回顾
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
1. 幂的运算性质
2.整式的乘法：
(1)单项式乘单项式：
法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式.
2.整式的乘法：
(2)单项式乘多项式：
m(a + b + c) = ma + mb + mc
法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
2.整式的乘法：
(3)多项式乘多项式：
(a + b)(m + n) = am + an + bm + bn
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
公式名称 平方差公式 完全平方公式
文字表示
式子表示
公式的常用变形
两数和与这两数的差的积，等于这两数的平方的差。
(a+b)(a-b) = a - b
两数和(差)的平方，等于这两数的平方和加上(减去)这两数积的2倍。
(a±b)2 =a ±2ab+b
a = (a+b)(a-b) + b
b = a - (a+b)(a-b)
a + b = (a+b)2 -2ab
或a + b = (a-b)2 +2ab
(a+b)2 =(a-b)2 +4ab
3. 乘法公式：
例1 计算：
(1) (2a)3(b3)2 · 4a3b4； (2) (－8)2025×(0.125)2024.
解：(1) 原式 = 8a3b6 ×4a3b4 = 32a3+3b6+4 = 32a6b10.
(2) 原式= (－8)×(－8)2024 ×(0.125)2024
= (－8)[(－8) ×0.125]2024
= (－8)×(－1)2024 = －8.
考点一 幂的乘法运算
例2 计算：[x(x2y2－xy)－y(x2－x3y)]·3x2y，其中
x = 1，y = 3.
【解析】在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，
一要注意运算顺序；二要熟练正确地运用运算法则.
解：原式= (x3y2－x2y－x2y + x3y2)·3x2y
= (2x3y2－2x2y)·3x2y
= 6x5y3－6x4y2 .
当 x = 1，y = 3 时，原式 = 6×27－6×9 = 108.
考点二 整式的乘法
例3 先化简，再求值：[(x－y)2 + (x + y)(x－y)]－2x2，
其中 x = 3，y = 1.5.
【解析】运用平方差公式和完全平方公式，先算括号
内的，再进行整式的加减运算.
解：原式= (x2－2xy + y2 + x2－y2) －2x2
= (2x2－2xy) －2x2
=－2xy.
当 x = 3，y = 1.5 时，原式 = －9.
考点三 整式的乘法公式的运用
转化思想
例4 计算：(1)－2a·3a2b3·
(2)(－2x + 5 + x2 ) · (－6x3 ).
【解析】(1)单项式乘单项式可以转化为有理数的乘法和同底数幂的乘法；(2)多项式乘单项式可以转化为单项式乘单项式.
解：(1)原式=
(2) 原式= (－2x) · (－6x3) + 5 · (－6x3) + x2 · (－6x3)
= 12x4－30x3－6x5.
考点四 本章数学思想和解题方法
考点1 幂的运算
1. [2025山西中考] 下列运算正确的是( )
B
A. B.
C. D.
2. （1）若，，则 ___；
（2）计算： ____.
6
3. 已知,,，则,, 的大小关系是
__________.
4. （1）已知，，求 的值；
【解】因为， ，
所以 .
（2）若，求 的值；
因为 ，
所以，解得 .
（3）已知，，用含，的式子表示 .
因为， ，所以
.
考点2 整式的运算
5. 计算 的结果是( )
C
A. B.
C. D.
6. 已知,是常数，若化简 的结果中
不含的二次项，则 的值为( )
A
A. B. 2 C. 3 D. 4
7. （1）数学老师讲了单项式乘多项式后，请同学们自己编
题，小圣同学编题如下：
.则 内应填写___;
3
（2）若，则 的值为
_______.
2 027
【点拨】因为 ，所以
.所以
.
8. 计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） .
原式 .
9. 某同学在计算一个多项式乘 时，因抄错运算符号，
算成了加上，得到的结果是 .
（1）求出这个多项式 ；
【解】根据题意，得 .
（2）求出正确的计算结果.
正确的计算结果为
.
考点3 乘法公式
10. [内江中考] 下列计算正确的是( )
D
A. B.
C. D.
11. 如图，是线段上的一点，以 ，
为边向两边作正方形，其面积分别是
和，两正方形的面积和 ，已
知 ，则图中阴影部分的面积为( )
A
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【点拨】设,,则 ，
， .所以
，
，所以
.所以 .所以阴影部分的面积为
.故选A.
12. 先化简，再求值： ，
其中， .
【解】
.
当， 时，原式
.
思想1 整体思想
13. 已知，则代数式 的值为( )
B
A. 30 B. 36 C. 42 D. 48
【点拨】因为 ，
所以
.
思想2 方程思想
14. 在幂的运算中规定：若（且，, 是
正整数），则 .
利用上面的结论解答下列问题：
（1）若，求 的值；
【解】因为，所以 .
所以，解得 .
（2）若，求 的值.
因为 ，
所以 .
所以 .
所以，解得 .
思想3 数形结合思想
15. 已知正方形和正方形的边长分别为, .
（1）如图①，将正方形的边, 分别与正方形
的边,重合，点在边上，延长交边 于点
，连接，请用含,的代数式表示梯形 的面积；
【解】根据题意，得,, ，
所以 .
所以梯形 的面积为
.
（2）如图②，将正方形的边与正方形的边
重合，点在的延长线上，延长交边于点,连接 .
①用含， 的代数式表示三角形
的面积；
根据题意，得 ,
, ,所以
, .
所以三角形 的面积为
.
②设交于点，记三角形的面积为，三角形
的面积为，用含，的代数式表示 .
如图，连接 ，
则梯形 的面积为
由①知三角形的面积为，所以三角形 的
.
面积为 . 即
.
又因为三角形 的面积为
,
即 ，
所以
.
幂的运算
乘法公式
整式的乘法
积的乘方
平方差公式
多项式与单项式相乘
完全平方公式
整式的乘法
单项式与单项式相乘
多项式与多项式相乘
同底数幂的乘法
幂的乘方

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