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湘教版数学7年级下册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（*）班.时间：.小结与复习第4章平面内的两条直线湘教版数学七年级下册第4章平面内的两条直线综合练习题班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕第4章“平面内的两条直线”全章节知识点设计，涵盖相交与平行、平移、平行线的性质与判定、垂线、垂线段与点到直线的距离、两条平行线间的距离等核心内容，分基础巩固、能力提升、拓展应用三个层次，旨在帮助同学们系统梳理本章知识点，熟练掌握各类题型的解题方法，灵活运用本章知识解决实际问题，规范书写推理过程，时长建议40分钟。一、基础巩固题（每题8分，共40分）1.判断下列说法是否正确，错误的请改正。（1）同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种（）改正：________（2）平移前后，图形的形状、大小不变，对应点的连线平行且相等（）改正：________（3）两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行，两者都是平行线的性质（）改正：________（4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（）改正：________（5）两条平行线间的距离处处相等，且等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段长度（）改正：________2.填空：（1）同一平面内，两条直线相交形成的相对的角叫做________，它们相等；相邻的角叫做________，它们互补；（2）平移的两个要素是________和________；（3）平行线的判定方法有3种，分别是同位角相等、________、________，均可由角的关系推出线平行；（4）直线外一点到这条直线的________，叫做点到直线的距离；（5）若直线l ∥l ，过l 上一点作l 的垂线段，这条垂线段的________就是l 与l 之间的距离。3.如图（无图，结合题意答题），直线AB与CD相交于点O，∠AOC = 80°，求∠BOD、∠AOD的度数（写出简要解题步骤）。4.选择题：下列现象中，属于平移的是（）A.钟表指针转动B.抽屉推拉C.电风扇扇叶转动D.秋千摆动5.选择题：下列关于平面内两条直线的说法，正确的是（）A.相交的两条直线一定垂直B.平行线间的距离是垂线段C.垂线段最短D.两直线平行，同旁内角相等二、能力提升题（每题12分，共36分）1.如图（无图，结合题意答题），直线l ∥l ，直线l 分别交l 、l 于点M、N，∠1 = 65°，∠2与∠1是内错角，∠3与∠1是同旁内角，求∠2、∠3的度数，并说明理由（写出完整解题步骤）。2.已知直线AB、CD被直线EF所截，EG平分∠AEF，FH平分∠DFE，且∠AEF = ∠DFE，求证：AB∥CD（写出完整推理步骤，提示：结合角平分线性质和平行线判定方法）。3.如图（无图，结合题意答题），直线AB⊥CD，垂足为O，直线EF经过点O，∠AOE = 35°，求∠COF和∠DOE的度数（写出完整解题步骤，提示：结合垂直定义、对顶角和邻补角性质）。三、拓展应用题（每题12分，共24分）1.如图（无图，结合题意答题），在同一平面内，长方形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AB = 12cm，AD = 8cm，点P是AB上一点，过点P作CD的垂线段PQ，垂足为Q，求PQ的长度，以及AD与BC之间的距离（写出完整解题步骤）。2.某小区内有两条平行的小路l 和l ，现要从l 上的点A向l 修一条最短的小路，测得小路长度为10米，点B是l 上另一点，过点B作l 的垂线段BC，垂足为C，求BC的长度，并说明理由；若直线l 垂直于l ，判断l 与l 的位置关系（写出完整解题步骤）。参考答案一、基础巩固题1.（1）√；（2）√；（3）×，两直线平行，内错角相等是性质，内错角相等，两直线平行是判定；（4）√；（5）√2.（1）对顶角；邻补角；（2）平移方向；平移距离；（3）内错角相等；同旁内角互补；（4）垂线段的长度；（5）长度3.解：∵∠AOC与∠BOD是对顶角，∴∠BOD = ∠AOC = 80°；∵∠AOC与∠AOD是邻补角，∴∠AOD = 180°- 80°= 100°；答：∠BOD = 80°，∠AOD = 100°。4. B（解析：A、C、D均为旋转现象，只有B是平移现象）5. C（解析：A错误，相交的两条直线不一定垂直；B错误，平行线间的距离是垂线段的长度；D错误，两直线平行，同旁内角互补）二、能力提升题1.解：∠2 = 65°，∠3 = 115°；理由：∵l ∥l ，∠1与∠2是内错角，根据平行线性质2（两直线平行，内错角相等），∴∠2 = ∠1 = 65°；∵∠1与∠3是同旁内角，根据平行线性质3（两直线平行，同旁内角互补），∴∠1 + ∠3 = 180°，∴∠3 = 180°- 65°= 115°；答：∠2 = 65°，∠3 = 115°。2.证明：∵EG平分∠AEF，FH平分∠DFE（已知），∴∠GEF = $$\frac{1}{2}$$∠AEF，∠HFE = $$\frac{1}{2}$$∠DFE（角平分线的定义）；又∵∠AEF = ∠DFE（已知），∴∠GEF = ∠HFE（等式性质）；∵∠GEF与∠HFE是内错角，且∠GEF = ∠HFE，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）。3.解：∵AB⊥CD，垂足为O，∴∠AOC = 90°（垂直的定义）；∵∠AOE = 35°，∴∠COE = ∠AOC - ∠AOE = 90°- 35°= 55°；∵∠COE与∠DOF是对顶角，∴∠COF = ∠DOE（此处修正：∠COE与∠DOF对顶角，∠COF = 55°；∠DOE与∠AOE是邻补角，∴∠DOE = 180°- 35°= 145°）；答：∠COF = 55°，∠DOE = 145°。三、拓展应用题1.解：∵四边形ABCD是长方形，∴AB∥CD，AD⊥AB，AD⊥CD；∴PQ是点P到CD的垂线段，PQ与AD平行且相等，∴PQ = AD = 8cm，即AB与CD之间的距离为8cm；同理，AD与BC之间的距离等于AB的长度，即12cm；答：PQ的长度为8cm，AD与BC之间的距离为12cm。2.解：BC = 10米；理由：∵l ∥l ，点A到l 的小路是垂线段，长度为10米，即l 与l 之间的距离为10米；BC是点B到l 的垂线段，根据两条平行线间距离处处相等的性质，∴BC = 10米；∵l ⊥l ，l ∥l ，∴l ⊥l （垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条）；答：BC的长度为10米，l 与l 互相垂直。温馨提示：本章核心是平面内两条直线的位置关系（相交、平行）及相关性质、判定和应用，重点掌握平移的特征、平行线的性质与判定的区别、垂线和垂线段的性质、平行线间距离的定义；易错点为混淆平行线的性质与判定、垂线段与距离的概念、平移与旋转现象；解题时可结合图形辅助理解，规范书写推理步骤，注重知识点的综合运用，梳理章节内在联系，提升解题能力。一、对顶角
两个角有_________，并且两角的两边互为___________，具有这种特殊关系的两个角叫作对顶角.
对顶角的性质：____________.
A
O
C
B
D
1
3
2
4
公共顶点
反向延长线
对顶角相等
二、垂线
两条直线相交所成的四个角中，有一个角是_____时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的______，它们的交点叫______.
1. 垂线的定义
2. 经过直线上或直线外一点，_________一条直线与已
知直线垂直.
4. 直线外一点到这条直线的垂线段的______，叫作点到
直线的距离.
3. 直线外一点与直线上各点的所有连线中，______最短.
有且只有
垂线段
长度
直角
垂线
垂足
同位角、内错角、同旁内角的结构特征：
同位角 “F ”型
内错角 “Z ”型
同旁内角 “U ”型
三、同位角、内错角、同旁内角
三线八角
四、平行线
1. 在同一平面内，___________的两条直线叫作平行线.
3. 平行于同一条直线的两条直线______.
2. 经过直线外一点，________一条直线与已知直线平行.
4. 平行线的判定与性质：
两直线平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
性质
判定
没有公共点
有且只有
平行
五、平移
1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.
2. 平移的性质：
(1) 平移前后的图形的形状，大小和朝向完全相同；
(2) 对应线段平行(或在同一条直线上)且相等；
(3) 对应点所连线段平行(或在同一条直线上)且相等.
考点一 利用对顶角、垂线的性质求角度
例1 如图，AB⊥CD 于点 O，直线 EF 过 O 点，∠AOE = 65°，求∠DOF 的度数.
解：
因为 AB⊥CD，所以∠AOC = 90°.
因为∠AOE = 65°，
所以∠COE = 90° - 65° = 25°.
又因为∠COE =∠DOF (对顶角相等)，
所以∠DOF = 25°.
B
A
C
D
F
E
O
考点二 点到直线的距离
例2 如图 ，AC⊥BC，CD⊥AB 于点 D，CD = 4.8 cm，AC = 6 cm，BC = 8 cm，则点 C 到 AB 的距离是 cm，点 A 到 BC 的距离是 cm，点 B 到 AC 的距离
是 cm.
4.8
6
8
考点三 平行线的性质和判定
例3 （1）如图所示，∠1 = 72°，∠2 = 72°，∠3 = 60°，求∠4 的度数；
解：因为∠1 =∠2 = 72°，
所以 a∥b (内错角相等，两直线平行).
所以∠3 +∠4 = 180°
(两直线平行，同旁内角互补).
因为∠3 = 60°，所以∠4 = 120°.
a
b
例4 如图所示，下列四组图形中，有一组中的两个图形经过平移其中一个能得到另一个，这组图形是 ( )
解析：紧扣平移的概念及性质解题.
D
考点四 平移的性质
A B C D
解：设∠1 的度数为 x°，则∠2 的度数为 x°，
∠3 的度数为 8x°，根据题意可得
x°+ x°+ 8x°= 180°，解得 x = 18.
即∠1 = ∠2 = 18°.
而∠4 = ∠1 +∠2（对顶角相等），
故∠4 = 36°.
考点五 相交线中的方程思想
例5 如图所示， 交于点 O，∠1 =∠2，∠3:∠1 =
8:1，求∠4 的度数.
4
1
2
3
O
（
）
）
（
考点1 相交线所成的角
1. 如图，直线，相交于点，若 ，
平分，则 ______.
2. 如图，，相交于点， 交
于点，交于点 .
（1）指出，被 所截形成的同
位角、内错角、同旁内角；
【解】同位角：和；内错角：和 ；同旁内
角：和 .
（2）指出，被 所截形成的内错角；
和，和 都是内错角.
（3）指出，被 所截形成的同旁内角.
和，和 都是同旁内角.
考点2 平移
（第3题）
3. 第12届世界运动会于
2025年8月在四川成都举行，其会徽灵感源于熊
猫、芙蓉花、中国结.能通过如图平移得到的是
( )
C
A. B. C. D.
4. 如图，将周长为的沿方向平移得到 ，
连接，若四边形的周长是,则 平移的距
离是___ .
1
（第4题）
考点3 垂线
5. 如图，推动水桶，以点 为支点，使其向右
倾斜，若在点处分别施加推力,,则的力臂大于 的
力臂 .这一判断过程体现的数学依据是( )
A. 垂线段最短
B. 同一平面内过一点有且只有一条直线
与已知直线垂直
C. 两点确定一条直线
D. 过直线外一点有且只有一条直线与
已知直线平行
√
6. 直线，相交于点，过点作 .
（1）如图①，若 ，求 的度数；
【解】因为 ，
所以 ，即 .
又因为 ，
所以 .
（2）如图②，作射线使，则是 的
平分线，请说明理由；
因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 .
即 .
又因为 ，
所以 .
所以是 的平分线.
（3）在图①中作，直接写出与 的数量关系.
或 .
【点拨】①当在 下方时，如图①.因
为，所以 ，即
.因为 ，
所以 ；
②当在上方时，如图②.因为 ，
所以 .因为
，所以
.
综上，与 的数量关系为
或 .
考点4 平行线及其判定与性质
7. [衡阳月考] 下列说法正确的有( )
①平行于同一直线的两直线平行；②相等的角是对顶角；③
过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，
不重合的两条直线的位置关系有平行和垂直两种；⑤若
，，则 .
A
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. 如图， .
（1）若 ， ，则 的度数是
____ ；
72
【点拨】如图，过点作.因为，所以 .
所以 .
所以 .
又因为，所以 .
（2），和 之间的
数量关系是_____________________
_____________.
【点拨】因为 ，所以
.因为，所以 .
所以 .所以
.
9. 如图，已知 ,且
.
（1）试说明： ;
【解】因为, ,
所以,所以 ,
所以 .
因为 ,
所以 .
（2）若 ,,求 的度数.
因为, ,所以
.
因为 ,
,
所以 .
因为 ,
所以 ,
所以 .
平面内两条直线的位置关系
两条直线相交
对顶角相等
垂线，点到直线的距离
两条直线被第
三条直线所截
两直线平行
两直线平行的性质
两直线平行的判定
同位角、内错角、同旁内角
两直线平行的判定
同位角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行的性质
内错角相等，两直线平行
两直线平行，同位角相等
两直线平行，同旁内角互补
两直线平行，内错角相等
平行线间的公垂线段(距离)都相等

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