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第十章 不等式与不等式组
培优专题：一元一次不等式组的实际应用
类型一：在实际问题中列一元一次不等式组
1.七年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵；若每人平均植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵。若设同学人数为x人，下列各项能准确求出同学人数与种植树木的数量的是（ ）
2.从小明家到学校的路程是2400米，如果小明早上7点离家，要在7点30分至40分之间（不含30分和40分）到达学校，设步行的速度为x米/分，则可列不等式组为______________，小明步行的速度范围是_____________。
3.某企业决定购买A,B两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表。
型号 A型 B型
价格/（万元/台） 12 10
月污水处理能力/（吨/月） 200 160
经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月污水处理能力不低于1380吨，该企业有哪些购买方案呢？为解决这个问题，设购买A型污水处理设备x台，则所列不等式组为__________________。
类型二：列一元一次不等式组求解实际问题
应用1：积分问题
4.某次知识竞赛共有20道题，每一道题答对得5分，答错或不答都扣3分。若小亮获得二等奖(70～90分)，则小亮答对了________道题。
应用2：购物问题
5.王叔叔在店内购买了两种蛋糕送给同事，如图为蛋糕的价格表。已知王叔叔共购买了10盒蛋糕，花费的金额不超过500元。若王叔叔将蛋糕分给75位同事，每人至少能拿到一个蛋糕，则王叔叔花了___________元购买蛋糕。
应用3：分配问题
6.一些女生住若干间宿舍，若每间住6人，则剩下12人无处住；若每间住8人，则有一间宿舍住人但不足4人。求这些女生的人数。
应用4：购买方案问题
7.为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子。已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元。
(1)购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？
(2)若购买甲、乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，学校有哪几种购买方案？
(3)若商家每售出一个甲种品牌毽子的利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子的利润是4元，在(2)的条件下，学校如何购买毽子才能使商家获得利润最大？最大利润是多少元？
应用5：运输方案问题
8.某市计划用大、中型车辆共30辆调拨不超过190吨蔬菜和162吨肉制品补充当地市场。已知一辆大型车可运蔬菜8吨和肉制品5吨；一辆中型车可运蔬菜3吨和肉制品6吨。
(1)符合题意的运输方案有几种？请你设计出来。
(2)若一辆大型车的运费是900元，一辆中型车的运费是600元，试说明(1)中哪种运输方案费用最低，最低费用是多少元？
应用6：生产方案问题
9.某工厂计划生产A,B两种产品共10件，其成本和售价如下表所示。
产品种类 A种 B种
成本/（万元/件） 3 5
售价/（万元/件） 4 7
(1)若工厂计划获利14万元，则应分别生产A,B两种产品各多少件？
(2)若工厂投入资金不多于44万元，且获利不少于14万元，则工厂有哪些生产方案？
参考答案
1.C
2.
3.
4.17或18 [解析]设小亮答对了x道题。
根据题意，得 ，解得 。
∵x为正整数，∴x=17或18。即小亮答对了17道题或18道题。
5.490 [解析]设购买桂圆蛋糕x盒，则购买金枣蛋糕（10-x）盒。
依题意得 ，解得 。
又∵x为正整数，∴x=3，∴，即王叔叔花了490元购买蛋糕。
6.解：设一共有x间宿舍，则女生有(6x+12)人。
根据题意得，解得。
∵x是整数，。
答：这些女生有66人。
7.解：(1)设购买一个甲种品牌毽子需要x元，一个乙种品牌毽子需要y元。
根据题意，得 ，解得 。
答：购买一个甲种品牌毽子需要15元，一个乙种品牌毽子需要10元。
(2)设购买m个甲种品牌毽子，则购买 个乙种品牌毽子。
根据题意，得 ，解得 。
又∵m, 均为正整数，∴m可以为60,62,64，∴学校共有3种购买方案。
方案1：购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子；
方案2：购买62个甲种品牌毽子，7个乙种品牌毽子；
方案3：购买64个甲种品牌毽子，4个乙种品牌毽子。
(3)学校选择方案1，商家可获得的总利润为5×60+4×10=340（元）；
学校选择方案2，商家可获得的总利润为5×62+4×7=338（元）；
学校选择方案3，商家可获得的总利润为5×64+4×4=336（元）。
∵ 340＞338＞336，∴在（2）的条件下，学校购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子时，商家获得利润最大，最大利润是340元。
8.解：(1)设安排x辆大型车，则安排(30-x)辆中型车。
依题意，得 ，解得18 x 20。
∵ x为整数，∴x=18,19,20，∴符合题意的运输方案有3种。
方案1：安排18辆大型车，12辆中型车；
方案2：安排19辆大型车，11辆中型车；
方案3：安排20辆大型车，10辆中型车。
(2)方案1：900×18+600×12=23400（元）；
方案2：900×19+600×11=23700（元）；
方案3：900×20+600×10=24000（元）。
∵ 23400＜23700＜24000，∴安排18辆大型车，12辆中型车所需费用最低，最低费用是23400元。
9.解：(1)设生产A,B两种产品分别为x件、y件。
由题意，得 ，解得 。
答：生产A种产品6件，B种产品4件。
(2)设生产A种产品a件，则生产B种产品(10-a)件。
由题意，得 ，解得3 a 6。
∵a为整数，∴a=3,4,5,6，∴该工厂共有四种生产方案。
方案一：生产A种产品3件，B种产品7件；
方案二：生产A种产品4件，B种产品6件；
方案三：生产A种产品5件，B种产品5件；
方案四：生产A种产品6件，B种产品4件。

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