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北京市第九中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共15小题，每小题5分，共75分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复平面内表示复数的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.“”是的( )
A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知向量在正方形网格中的位置如图所示若网格中每个小正方形的边长均为， 则( )
A. B. C. D.
6.函数的最小值为 ( )
A. B. C. D.
7.函数是( )
A. 周期为的偶函数 B. 周期为的偶函数 C. 周期为的奇函数 D. 周期为的奇函数
8.的图象可以由 的图象作 的变换得到
A. 先向左平移个单位，然后将横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
B. 先向右平移个单位，然后将横坐标变为原来的，纵坐标不变
C. 先将横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，然后向右平移个单位
D. 先将横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后向右平移个单位
9.若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为( )
A. B. C. D.
10.下列函数中，最小正周期为且是奇函数的是( )
A. B. C. D.
11.若，则( )
A. B. C. D.
12.已知函数的图象离原点最近的对称轴为，若满足，则称为“近轴函数”若函数是“近轴函数”，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
13.已知函数在区间上的最大值记为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
14.如图，是轮子外边沿上的一点，轮子半径为若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的水平距离为时，下列选项中，关于点的描述正确的是参考数据：( )
A. 点在轮子的右上位置，距离地面约为
B. 点在轮子的右上位置，距离地面约为
C. 点在轮子的左下位置，距离地面约为
D. 点在轮子的左下位置，距离地面约为
15.已知函数，下列结论中错误的是( )
A. 的图象关于直线对称 B. 的一个周期是
C. 在区间上单调递增 D. 的最大值为
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
16.已知角的顶点位于坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则 ．
17.已知复数为虚数单位，则的共轭复数为 ．
18.如图是以为圆心的一个圆，其中弦的长为，则 ．
19.柯西不等式是数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号现已知，，，则的最大值为 ．
20.已知，都是定义在上的函数，若存在实数，使对任意都成立，则称为，在上生成的函数．
函数为，在上生成的函数；
为，在上生成的函数；
函数为，在上生成的函数；
若为，在上的一个生成函数，且，，的最小值为，，则，；
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
已知向量，．
求；
求；
求与的夹角的余弦值．
22.本小题分
如图，角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，若点的坐标为．
求的值及的值；
求的值．
23.本小题分
已知函数的最大值为．
求的解析式；
求曲线的对称轴方程和的单调递增区间．
24.本小题分
已知函数
求的最小正周期；
当，求的最大值和最小值．
25.本小题分
如图是两个齿轮传动的示意图，已知上、下两个齿轮的半径分别为和，两齿轮中心，在同一竖直线上，且，标记初始位置点为下齿轮的最右端，点为上齿轮的最下端，以下齿轮中心为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，已知下齿轮以每秒弧度的速度逆时针旋转，并同时带动上齿轮转动，转动过程中，两点的纵坐标分别为，、转动时间为秒
当时，求点绕转动的弧度数；
分别写出，关于转动时间的函数表达式，并求当满足什么条件时，；
求的最小值．
26.本小题分
对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”．
若集合，，求集合相对的“余弦方差”；
若集合，证明集合相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数；
若集合，，，相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，求，的值．
参考答案
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17.．
18.
19.
20.
21.因为，，
所以；
因为，
所以；
因为，
则，
又，，
则，
即与的夹角的余弦值为．

22.解：依题意，由三角函数定义得，且为第二象限的角，
故，
所以，
则．
．

23.解：因为时，的最大值为，
所以，；
令，，
则，，即对称轴为，，
令，，
则，，
故的单调递增区间为，．
24.解：，
，
，
所以的最小正周期为：．
由可知，，
因为，所以．
所以当时，，当时，．
所以当，的最大值为，最小值为．

25.解：当时，点绕转动弧度，点与点处转过的弧长相等，则点绕转动的弧度数为．
转动时间为秒，点绕转动弧度，点绕转动弧度，
，，
当，解得，
由，得，．
所以满足条件的的集合为．
，当时，有最小值为．
26.解：当集合为，时，
集合相对的“余弦方差；
当集合时，
集合相对于常数的“余弦方差”
此时“余弦方差”是一个常数，且常数为；
当集合，，时，
集合相对于任何常数的“余弦方差”
要是上式是一个常数，则且
由，取，可满足上式．
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