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山东聊城市2025-2026学年高一第二学期期中教学质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平行四边形中，则为( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知，为单位向量，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.已知长方体的长、宽、高分别为，，，将该长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则剩下的几何体体积为( )
A. B. C. D. 不确定
5.已知平面直角坐标系中，点，若为锐角，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.已知梯形用斜二测画法画出的直观图为如图所示的梯形，其中，，，若梯形的面积为，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知中，为的重心，则的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.在中，点在边上，且的面积为，则的长为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于平面向量的说法错误的是( )
A. 若，则或
B. 若，则
C. 若与反向，则
D. 若，则存在唯一的实数，使得
10.设复数在复平面内对应的点为，为虚数单位，则( )
A.
B. 若，则最大值为
C. 若，则点的集合所构成的图形的面积为
D. 若复数是关于的方程的一个虚根，则
11.已知某科学实验室为保障脑机接口实验的精密仪器安全存储，设计了一款圆台形密封智能存储舱舱壁厚度忽略不计，内部装有两个实心金属球，其中一个金属球恰好与圆台的上、下底面及所有母线都相切即内切球，存储舱上底面直径，下底面直径，且，则下列说法正确的是( )
A. 存储舱的高为
B. 存储舱的表面积为
C. 存储舱的体积为
D. 舱中另一个球半径最大时，它的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.向量，则实数的值为 ．
13.正三棱锥的底面边长为，体积为，则该正三棱锥的侧棱长为 ．
14.如图，中，，，，为边靠近的三等分点，为中点，过作垂线交于，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，已知正八边形中．
建立适当的坐标系，求，的坐标
请用，表示．
16.本小题分
如图，在梯形，中，，，，，过点作，以为轴旋转一周得到一个旋转体．
求此旋转体的体积．
求此旋转体的表面积．
17.本小题分
在中，角的对边分别为，且．
求角的大小；
若的面积为，求的周长．
18.本小题分
已知复数满足，且．
若复数在复平面内对应的点在第二象限，求；
在第问条件下，若复数，且复数在复平面内对应点在第三象限，求实数的取值范围；
在问条件下，求的值．
19.本小题分
在中，角所对的边分别是，且．
求角的大小；
若为锐角三角形，求的取值范围；
若角的角平分线交于点，求长度的最大值．
参考答案
1.
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14.
15.解：如图，连接，以，所在的直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，
正多边形的中心即为坐标原点，
，，
所以，根据对称性可得，，又，
所以，．
由得，
设可得，
即解得，
所以．

16.解：旋转后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥，
，
所以小圆锥的半径，
圆柱的体积，
圆锥的体积，
旋转体的体积．
圆柱的侧面积，
圆锥的侧面积，
圆柱的底面积，
圆锥的底面积，
旋转体上底面的面积，
旋转体的表面积．

17.解：根据正弦定理及，得
，
，即，，
在中，，，又．
，．
由余弦定理得，．
，．
故的周长

18.解：设，
，即，
由，得，则，
又，则，解得，
又复数在复平面内对应的点在第二象限，，
所以．
由知，
所以，
因为复数在复平面内对应点在第三象限，所以，解得．
由知，
．

19.解：，
则由和正弦定理可得，，
因为，所以，又，所以，
因为，所以，所以，所以．
由正弦定理，，
所以
．
由三角形为锐角三角形可知，，解得，
所以，
所以的取值范围为．
由余弦定理，，
即，当且仅当时，等号成立．
又，
化简可得，．
所以，当且仅当时等号成立．
故长度的最大值为．

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