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山东青岛西海岸新区2025-2026学年高一下学期期中学业水平检测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.用斜二测画法画一个边长为的正方形的直观图，则此直观图的面积为( )
A. B. C. D.
2.已知向量的夹角为，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知是关于的方程的一个根，则实数的和为( )
A. B. C. D.
4.已知分别为三个内角的对边，若，则的形状为( )
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形
5.已知向量在上的投影向量为，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知等腰直角三角形底边长是，该三角形绕其底边旋转一周得到一个旋转体，用垂直于底边的平面去截此旋转体，则所得截面面积最大值为( )
A. B. C. D.
7.印度数学家婆罗摩笈多对凸四边形进行研究时，总结出如下结论：“若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大”在凸四边形中，若，，则四边形面积取得最大值时角的大小为( )
A. B. C. D.
8.在中，为边上靠近点的三等分点，为边上一点，若，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.用一个平面去截一个正三棱锥，得到的截面图形可能是( )
A. 等腰三角形 B. 等腰梯形 C. 平行四边形 D. 五边形
10.已知向量，则( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若夹角为钝角，则
11.如图，是由个全等的三角形与中间一个小等边三角形组成的大等边三角形，若，则( )
A. B.
C. D. 与夹角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在复数范围内可将多项式分解成一次因式的积，请尝试分解： ．
13.一条东西方向的河流两岸平行，河宽，水流的速度为向东，一艘游船从南岸码头出发航行到河对岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，方向为北偏西，则游船到达对岸的时间为 ．
14.已知分别为三个内角的对边，，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数．
求；
若复数是纯虚数，且满足，求在复平面内对应点的坐标．
16.本小题分
已知分别为三个内角的对边，且．
求；
若，求面积的最大值．
17.本小题分
如图，在直角梯形中，，，，为上一点，且．
若，求的值；
若是上一点，求的最小值．
18.本小题分
已知分别为三个内角的对边，设．
若，，，求；
证明：；
若，，求的值．
19.本小题分
已知正边形的顶点在单位圆上 记．
若，为圆上任意一点，判断的值与的位置是否有关？并说明理由；
证明：；
若点满足，求的值．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：，则；
因为复数是纯虚数，可设，
则，得，
则，解得或舍去，
所以，故在复平面对应的点的坐标为．

16.解：因为，
由正弦定理得，
即，
所以，
，
因为，所以，
因为，所以；
，
由余弦定理得，
化简得，又因为，当且仅当时，等号成立，
所以，即，
所以，故的面积最大值为．

17.解：以为坐标原点，分别以所在的直线为轴、轴建立平面直角坐标系如图所示：
则，，，，，，，
，则，
又因为，
所以，解得，，则；
设，则，，
所以，
函数的对称轴为，
所以时，的最小值为．

18.解：因为，，，
由正弦定理得，即，所以，
因为，所以或，
当时，，
当时，，
所以或；
，
由正弦定理，
所以，
则
，
所以；
法一：
，
由可得，
由知，
所以，因为，所以，
所以．
法二：由，对任意都成立，
令代替，，
则，
化简得，，
由知，
所以，因为，所以，
所以．

19.解：当时，
，
因为是单位圆的内接正三角形，所以为的重心，则，
所以为定值，与的位置无关．
考虑到正多边形中心与正多边形各个顶点之间的连线所夹角均相等，
可知每相邻三个顶点与正多边形中心的连线恰好构成一组角与其角平分线，
故可以得到以下式子：，，
，，，
求和得，即，
由普遍性可知，不恒为，所以．
由
，
由题意，，由知，
所以．

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