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2025-2026学年广东省中山市西区初级中学九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是（　　）
A.
B.
C.
D.
3.抛物线y=-x2+4x+2的对称轴是（　　）
A. 直线x=2 B. 直线x=-2 C. 直线x=1 D. 直线x=-1
4.若反比例函数的图象一定经过的点是（　　）
A. （-1，-6） B. （1，6） C. （-6，-1） D. （1，-6）
5.如图，在△ABC中，DE∥BC，，若AC=6，则EC=（　　）
A.
B.
C.
D.
6.如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关A，B，C，D，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（　　）
A.
B.
C.
D.
7.已知二次函数y=（x+1）2-2的图象上有三点A（1，y1），B（-2，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y1＞y3 C. y3＞y1＞y2 D. y3＞y2＞y1
8.如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果∠BOD的度数为122°，则∠DCE的度数为（　　）
A. 64°
B. 61°
C. 62°
D. 60°
9.一个圆锥的侧面积是2πcm2，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的高为（　　）
A. B. C. D. 2
10.如图，在Rt△AOB中，OA=OB=4，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则线段PQ长度的最小值为（　　）
A.
B.
C. 2
D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.在平面直角坐标系中，点（3，4）关于原点对称的点的坐标是______．
12.如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2m，净高CD为5m，则圆拱形门所在圆的半径为______m．
13.如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O相切于点A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于点D、E，若PA=12，则△PDE的周长为 .
14.如图，点A点B是的图象上关于原点对称的两点，且AC∥y轴，BC∥x轴，△ABC面积为S，则S的值为 .
15.如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=8，OB=6，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分的面积是 .
16.如图，直线y=-3x+3交坐标轴于点A，B.点C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，且BC⊥AB，连接AC交反比例函数图象于点D.若D恰好为AC的中点.则k的值为 .
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算：-4sin60°+|-|.
18.(本小题8分)
自从2021年7月国家出台“双减”政策以来，全国各地纷纷响应落实该政策.某学校在课后托管时间里开展了“A.音乐、B.体育、C.演讲、D.绘画”四项社团活动.
（1）某同学随机选择一项社团活动恰好是“演讲”，该事件的概率为______；
（2）甲、乙两位同学参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法.求他们参加同一项活动的概率.
19.(本小题10分)
如图，点O在∠ABC的边BC上，以OB为半径作⊙O，∠ABC的平分线BM交⊙O于点D.
（1）过点D作DE⊥BA于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由.
20.(本小题10分)
如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，可抽象为如图2是其平面示意图.路灯AB和汽车折臂升降机的折臂底座CD都垂直于地面MN，且它们之间的水平距离BC=3m,折臂底座高CD=1.5m,上折臂AE与下折臂DE的夹角∠AED=87°，下折臂DE与折臂底座的夹角∠CDE=135°，下折臂端点E到地面MN距离是4.5m.（结果精确到0.1m,参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，1.41）
（1）求下折臂DE的长；
（2）求路灯AB的高.
21.(本小题11分)
如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD为∠CAB的平分线交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，过点A作⊙O的切线交BC延长线于点F，过点D作DG∥AF，交AB于点G.
（1）求证：OD∥AC；
（2）连接CD，若∠BAC=60°，请判断四边形ACDO的形状，并证明你的结论；
（3）若，DE=2，求DG的长.
22.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，OA=2，点B在反比例函数的图象上，△OBA为等边三角形，延长BO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，连接CA并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点 D.
（1）求反比例函数的表达式以及点D的坐标；
（2）连接BD，求△OBD的面积；
（3）在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由.
23.(本小题16分)
将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．
（1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转后得到图②，点P是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，若A1B1∥AC，请判断△PCB的形状，并说明理由；
（2）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图③，点P是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP=CQ；
（3）在（2）的条件下，如图④，在B1C上取一点M，连接BM、PM，设AC=2，当BM⊥PB时，求△PBM的面积．
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】（-3，-4）
12.【答案】2.6
13.【答案】24
14.【答案】8
15.【答案】66-9π
16.【答案】4
17.【答案】解：
=
=
=-2．
18.【答案】；
．
19.【答案】解：（1）如图，⊙O，射线BM，直线DE即为所求．
（2）直线DE与⊙O相切，
理由：∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABM=∠CBM，
∴∠ODB=∠ABD，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线．
20.【答案】4.2m 9.9 m
21.【答案】证明：（1）∵在⊙O中，AB为⊙O的直径，点D是圆上一点，
∴OA=OD，
∴△OAD为等腰三角形，
∴∠OAD=∠ODA，
又∵AD为∠CAB的平分线，
∴∠OAD=∠DAC，
∴∠DAC=∠ODA，
∴OD∥AC；
（2）四边形ACDO为菱形，
证明：∵∠BAC=60°，
∴∠OAD=∠DAC=30°，
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°-60°=30°，
∵在⊙O中=，
∴∠ABC=∠ADC=30°，
∴∠OAD=∠ADC，
∴OA∥CD，
又∵OD∥AC，
∴四边形ACDO为平行四边形，
∵OA=OD，
∴平行四边形ACDO为菱形；
（3）解：设⊙O的半径长为r,
∵AF是⊙O的切线，
∴AF⊥AB，
∵DG∥AF，
∴DG⊥AB，
∴∠OGD=90°，
∵∠ACB=90°，OD∥AC，
∴OD⊥BC，
∴∠OEB=90°，
∵∠BOE=∠DOG，
∴∠OBE=∠ODG，
∴在△OBE与△ODG中
∴△0BE≌△ODG（ASA），
∴OG=OE=r-2，
∴AD2-AG2=OD2-OG2，
∴80-（2r-2）2=r2-（r-2）2，
r2-r-20=0，
r=-4（舍）或r=5，
∴DG==4
答：DG的长为4．
22.【答案】，点D的坐标为 在x轴上存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与△ABC相似；点Q的坐标为（3，0）或
23.【答案】（1）解：如图②：△PCB是等边三角形，
∵A1B1∥AC，∠A1=30°，
∴∠ACP=∠A1=30°，
∵∠ACB=90°，
∴∠PCB=60°，
∵∠ABC=60°，
∴∠PCB=∠ABC=60°，
∴△PCB是等边三角形．
（2）证明：∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=∠ACB=90°，
∴∠A1CQ=∠ACP=45°，
在△A1CQ和△ACP中，
∵，
∴△A1CQ≌△ACP（ASA），
∴CQ=CP；
（3）解：如图④：过点P作PG⊥AC于点G，
设PG=x，则CG=x，，
∵，
依题意得：，
解得：，
∴，
∵∠A=30°，
∴，
∵BC=AC tan30°=2，
∴AB=4，
∴，
∵∠PBM=90°，∠ABC=60°，
∴∠CBM=30°，
∴∠A=∠CBM=30°，
∵∠ACP=∠BCM=45°，
∴△ACP∽△BCM，
∴，
∴，
∴S△PBM=PB BM=8-4．
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