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2025-2026学年江苏省南京市高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知点A（1，1，2），向量，则点B的坐标为（　　）
A. （1，2，0） B. （-1，-2，0） C. （3，4，4） D. （1，-2，0）
2.已知向量=（x,-1，1），=（1，2，1），且⊥，则x=（　　）
A. -2 B. -1 C. 2 D. 1
3.在（8x+3）n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则正整数n的值为（　　）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
4.对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（　　）
A. 若∥且∥，则∥
B. （+）= +
C. 若 = ，且，则
D. （ ）=（ ）
5.在空间直角坐标系中，x轴上与点A（-1，-2，2）和点B（0，0，1）距离相等的点是（　　）
A. （4，0，0） B. （-4，0，0） C. （-5，0，0） D. （5，0，0）
6.定义“各位数字之和为6的三位数叫幸运数”，如123，222，则所有幸运数的个数为（　　）
A. 21 B. 16 C. 11 D. 6
7.已知空间向量=（2，0，-1），=（1，1，0），=（0，λ，-1），若，，共面，则λ=（　　）
A. 2 B. 1 C. -2 D. -1
8.下列结论正确的是（　　）
A. 若，则m=2 B. 若，则m=7
C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.如图所示，在正四面体ABCD中，，则（　　）
A.
B.
C. 在平面ABC内的投影向量为
D. 在平面ABC内的投影向量为
10.已知f（x）=（2-x）9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，则（　　）
A. a0=512 B. a1+a2+…+a9=1
C. D. f（-1）除以5所得的余数是3
11.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为2，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，点P在线段CD1上，如图所示，则（　　）
A. B. BD⊥平面ACC1A1
C. 四边形BDD1B1为正方形 D. 的最小值为-
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）的展开式中，x3项的系数为 .
13.甲、乙等5名同学站成一排，其中甲、乙相邻且甲在乙的左边，不同的排法种数是 .（用数字填空）
14.阅读材料：平面直角坐标系xOy中，直线可以用关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0（A，B不全为零）表示，点P（x0，y0）到该直线的距离；空间直角坐标系O-xyz中，平面可以用关于x,y,z的三元一次方程Ax+By+Cz+D=0（A，B，C不全为零）表示，点P（x0，y0，z0）到该平面的距离，若在空间直角坐标系O-xyz中，点S（2，2，-1），点M（-2，0，1），点N（-2，1，2），则点S到平面OMN的距离为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点.
（1）求证：A1D⊥BD1；
（2）求异面直线A1D与EF所成角的余弦值.
16.(本小题15分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，DA⊥平面ABC，AC=BC=AD=2，M，N分别是线段AC，BD的中点.
（1）求直线MN与平面ABD所成角的大小；
（2）求点A到平面BMN的距离.
17.(本小题15分)
在二项式的展开式中，求：
（1）所有二项式系数的和；
（2）所有的有理项；
（3）系数最大的项.
18.(本小题17分)
某公司为包括甲、乙在内的6名本科毕业生面试准备了包括A房间的3个不同的面试室，且所有学生都参加面试，求符合下列各小题要求的不同安排方法.
（1）所有学生任意选择房间；
（2）若甲、乙有且只有1人在A房间，A房间安排三人，其他每个房间至少安排一人；
（3）恰有一个房间没有学生.（需写出必要的文字叙述、列式过程和计算步骤，并用数字作答.）
19.(本小题17分)
如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AB=2，∠ABC=120°，PD⊥平面ABCD，且.
（1）求证：BC∥平面PAD；
（2）求平面PAD与平面PBC所成角的余弦值；
（3）设平面PAD∩平面PBC=1，若点M在线段PB上运动，且，当直线l与平面ACM所成角取最大值时，求λ的值.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】BD
10.【答案】ACD
11.【答案】BCD
12.【答案】10
13.【答案】24
14.【答案】
15.【答案】证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
因为AB⊥平面ADD1A1，
又A1D 平面ADD1A1，
所以AB⊥A1D，
因为四边形ADD1A1为正方形，
所以AD1⊥A1D，
因为AB∩AD1=A，且AB、AD1 平面ABD1，
所以A1D⊥平面ABD1，
又因为BD1 平面ABD1，
所以A1D⊥BD1
16.【答案】
17.【答案】128 ，，T7=14x T3=
18.【答案】729种 72种 186种
19.【答案】证明：因为底面ABCD是菱形，可得BC∥AD，
又因为AD 平面PAD，BC 平面PAD，
所以BC∥平面PAD
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