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2025-2026学年上海市杨浦区复旦大学附属中学高二（下）期中数学试卷（B卷）
一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。
1.在空间直角坐标系中，O为坐标原点，对空间中任意一点P（x,y,z），则下列叙述错误的是（　　）
A. 点P关于x轴的对称点是P1（x,-y,-z）
B. 点P关于平面yOz的对称点是P2（-x,y,z）
C. 点P关于y轴的对称点是P3（x,-y,z）
D. 点P关于原点的对称点是P4（-x,-y,-z）
2.下列说法正确的是（　　）
A. 如果随机事件A与B可以同时发生，则事件A与B不独立
B. 若成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近1
C. 若随机变量ξ，η满足η=2ξ-2，则D[η]=4D[ξ]-2
D. 对于随机事件A与B，若，则事件A与B相互独立
3.一组数据x1，x2，x3， ，x10满足xi-xi-1=2（2≤i≤10），若去掉x1，x10且从x2，x3，…，x9中随机选两个数加入，组成一组新数据.则新数据与原数据相比，下列统计量中：①极差；②平均数；③方差；④第90百分位数，一定变小的个数为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.对于一个单位球，O为球心，A1，A2， ，Ak在球面上，若对任意的1≤i＜j≤k,都有，则k的最大值为（　　）
A. 4 B. 6 C. 7 D. 8
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知空间向量的坐标为（1，2，2），则= .
6.若随机变量X的分布为，则X的期望E[X]= .
7.已知随机变量X服从正态分布N（10，σ2）（σ＞0），若X在（8，12）内取值的概率为，则X在（-∞，8]内取值的概率为 .
8.已知随机变量X服从二项分布，则X+1的期望E[X+1]= .
9.为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习，如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为 .
10.棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1的中点，则点E到平面BDC1的距离为 .
11.如图所示的电路中，每个元件接通的概率均为且相互独立，则这个电路接通的概率为 .
12.现有甲、乙两组数据.甲组数据有6个数，其平均数为3，方差为5；乙组数据有9个数，其平均数为5，方差为3.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为 .
13.质数又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7，…，那么，如果我们在不超过20的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A=“这两个数都是素数”，事件B=“这两个数不是孪生素数”，则P（B|A）= .
14.如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则|PE|+|PF|的最小值为 .
15.甲、乙两位同学进行科学知识抢答竞赛，规定先取得4轮胜利的同学最终获胜，获胜者可以获得年级组长张老师提供的1000元奖金.每轮甲赢的概率为p（0＜p＜1），乙赢的概率为1-p,且每轮竞赛相互独立.在甲赢了2轮，乙赢了1轮后，竞赛因故中止，张老师决定按照竞赛再继续进行下去各自获胜的概率之比分配奖金.当时，乙同学获得的奖金的最大值为 元.
16.在三棱锥D-ABC中，已知AD=a,CB=b,DC=c,AB=3，AC⊥BD，则的最小值为 .
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让行人”.
（1）现用线性回归模型拟合违章人次y与月份x之间的关系，设y随x波动的回归方程为，已知监测月份的均值=3，违章人次的均值=100，=-10.5，求的值，并预测该路口7月份不“礼让行人”违规驾驶人次；
（2）交警从监测的5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查90人，调查驾驶员“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下面的2×2列联表.
不礼让行人 礼让行人
驾龄不超过2年 ①_____ 16
驾龄2年以上 26 ②_____
已知不“礼让行人”违规驾驶的共计50人次，请补充填写上面的2×2列联表（在答题纸上的相应位置填空），并判断能否认为“礼让行人”行为与驾龄有关？
附：.
18.(本小题14分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，.
（1）证明：AB⊥平面ACC1A1；
（2）求二面角A1-BC1-C的大小.
19.(本小题14分)
在空间直角坐标系O-xyz中，已知n∈N，n≥1，点集An={（0，0，0），（1，0，0），（2，0，0），…，（n,0，0）}，Bn={（0，1，0），（0，2，0），…，（0，n,0）}，Cn={（0，0，1），（0，0，2），…，（0，0，n）}，集合Mn=An∪Bn∪Cn.
（1）当n=2时，从集合Mn中随机任取两个不同的点，用随机变量X表示这两点之间距离的平方，求X的分布，期望E[X]与方差D[X]；
（2）当n=3时，从集合Mn中依次任取四个不同的点P1，P2，P3，P4，设事件，与事件，求P（A|B）.
20.(本小题18分)
如图，已知空间向量、、的模分别为2、2、3，且两两之间的夹角都为60°.我们引入空间斜坐标系：以A为原点，以的方向分别为x、y、z轴的正方向，分别为斜坐标系下x、y、z轴正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组[x,y,z]一一对应，称向量的斜坐标为[x,y,z]，记作.
（1）求向量的斜坐标；
（2）设，求及；
（3）在线段BD1上是否存在一点P，使得直线AP与平面ABCD所成角的大小为？若存在，请求出的斜坐标；若不存在，请说明理由.
21.(本小题18分)
已知n∈N，n≥1，集合M={0，1，2， ，n}，T={（a0，a1，a2， ，an）|ai∈M，i=0，1，2 ，n}.对T中的两个不同元素X=（x0，x1，x2， ，xn）和Y=（y0，y1，y2， ，yn），若存在定义域为M，值域为M的子集的函数y=f（x），x∈M，同时满足条件：①f（f（x））=x,x∈M；②yi=f（xi），i∈{0，1，2， ，n}；③xi+yi∈{0，n,2n}，i∈{0，1，2， ，n}，则称X与Y是T中的一对“友好元素”.
（1）分别求当n=1和n=2时，集合T的元素个数|T|；
（2）当n=4时，若X=（0，0，1，3，4），写出X对应的所有“友好元素”；
（3）若X=（x0，x1，x2， ，xn）和Y=（y0，y1，y2， ，yn）是T中的一对“友好元素”，且满足x0，x1， ，xn最大值为n.当n=6时，是否存在随机变量ζ同时满足以下三个条件：①ζ的取值集合为（i=0，1，2 ，n）③ζ的期望E[ζ]=？若存在，求分布，及其对应的T中的一对“友好元素”X与Y（只需写出一对即可）；若不存在，说明理由.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】3
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】3
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】4.76
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】27.2
16.【答案】2
17.【答案】58次 补全后的列联表如下：
不礼让行人 礼让行人 合计
驾龄不超过2年 24 16 40
驾龄2年以上 26 24 50
50 40 90
认为“礼让行人”行为与驾龄无关
18.【答案】证明：在△ABC中，AB=AC=2，，
∴AB2+AC2=22+22=8=BC2，
∴AB⊥AC，
又∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，且AB 平面ABC，
∴AA1⊥AB，
∵AC∩AA1=A，且AC，AA1 平面ACC1A1，
∴AB⊥平面ACC1A1 π-
19.【答案】
X 1 2 4 5 8
P
，
20.【答案】[2，2，3] 2（x+y+z）； 存在；
21.【答案】n=1时，|T|=4；n=2时，|T|=27 （0，0，3，1，4）和（4，4，3，1，0）
ξ 1 2 5 6
P
X=（0，0，0，1，2，5，6），Y=（0，0，0，5，4，1，6）
第1页，共1页

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