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2025-2026学年上海市第二中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共12分。
1.方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
2.已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
3.如果f（x）=ax-ex在区间（-1，0）上不单调，那么实数a的取值范围为（　　）
A. B.
C. D.
4.已知A，B分别为曲线（包含直线）C1，C2上的点，定义曲线C1，C2之间的最短距离为d（C1，C2）=min|AB|（其中min|AB|表示点A与点B距离的最小值）.已知：，，，则d（C1，C2）-d（C1，C3）+d（C2，C3）=（　　）
A. 0 B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是______．
6.已知双曲线C：，则C的离心率为 .
7.两条直线l1：x-y=0与l2：2x-2y-3=0之间的距离是 .
8.若直线x-y+m=0被圆（x-1）2+（y-2）2=25截得的弦长为6，则m的值为 .
9.已知f（x）=，求f′（1）= .
10.已知函数f（x）=x3，请写出一条过点（1，0）且与y=f（x）的图象相切的直线方程 .
11.函数y=cosx+ln|x|，x∈[-2π，0）∪（0，2π]的所有极小值点的和是 .
12.直线y=2x+b被曲线y=x2所截得的弦长为，则实数b的值为 .
13.如图，把椭圆的长轴AB分成4等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，3个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+|P3F|= .
14.直线kx-y+2k-1=0与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围为 .
15.已知点A（-1，0），B（1，0）及抛物线y2=4x，若抛物线上点P满足|PA|=m|PB|，则m的最大值为______．
16.矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=1，折叠纸片，使点A落在CD边上的点A′处，并且折痕交边AB于点E，交边AD于点F，当折痕EF最短时，sin∠AEF= .
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
某果园种植了三个品种的苹果树，共计500棵，其中A品种250棵，B品种150棵，C品种100棵，采用分层抽样的方法抽取10棵果树，估计苹果产量.
（1）应抽取B品种苹果树多少棵？
（2）若测得所抽取的10棵果树的产量（单位：kg）数据如茎叶图所示，求第80百分位数，并用经验概率估计果树产量不小于30kg的概率.
18.(本小题10分)
已知函数y=f（x），f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜），其部分图像如图所示.
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（B）=1，a、b、c成等差数列，判断△ABC的形状.
19.(本小题10分)
某圆台形建筑如图所示，圆台O1O2的轴截面A1ACC1为等腰梯形，AC=2AA1=2A1C1=4，B为底面圆周上异于A，C的动点，P是BC的中点.
（1）求证：直线C1P∥平面A1AB；
（2）若点Q是PC1的中点，求三棱锥Q-ABA1体积的最大值.
20.(本小题12分)
已知双曲线.
（1）设点F为左焦点，B为双曲线右支上任一点，写出点F坐标与直线FB斜率kFB的取值范围；
（2）过点P（m,2）（m＞0）作Γ的切线，
①若切线斜率为k,求实数k与实数m满足的关系式；
②若可以作两条这样的切线l1、l2，它们的斜率分别为k1、k2.若k1k2=t,求实数m的取值范围及t的取值范围.
21.(本小题12分)
已知a∈R，.
（1）若x=1是函数y=f（x）的驻点，求a的值；
（2）当时，求函数y=f（x）的单调区间；
（3）当a=2时，对于任意的x∈[1，e]，是否存在n≥1，且n∈N，使得f（x）≤n-sinn-3成立，若存在，求n的取值范围？若不存在，请说明理由.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】4
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】1
10.【答案】y=0或（写出其中一条即可）
11.【答案】0
12.【答案】0
13.【答案】15
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】3 30.5；
18.【答案】（1） （2）等边三角形
19.【答案】证明：如图，取AB的中点H，
又P是BC的中点，
所以PH∥AC，且，
又A1C1∥AC，且A1C1=2，
所以A1C1∥PH，且A1C1=PH，
所以四边形A1C1PH是平行四边形，
所以C1P∥A1H，又A1H 平面A1AB，C1P 平面A1AB，
所以C1P∥平面A1AB
20.【答案】，kFB∈（-2，2） ①（m2-1）k2-4mk+8=0；②m的取值范围；t的取值范围（-∞，-8）∪（8，+∞）
21.【答案】a=1；
当时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；
当时，函数f（x）的单调递增区间为和（2，+∞），单调递减区间为；
存在，n≥4，n∈N．
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