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2025-2026学年上海市普陀区回民中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。
1.已知两条直线l1：mx+y-1=0，l2：mx-y+1=0，“m=1”是“直线l1⊥l2”（　　）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要
2.若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（　　）
A. 2＜k＜6 B. 2＜k＜4
C. 4＜k＜6 D. 2＜k＜4或4＜k＜6
3.已知曲线f（x）=ln（ex）的一条切线为y=x+b,则b=（　　）
A. - B. - C. 0 D. 1
4.若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和右焦点，点P为椭圆上的任意一点，则 的最小值为（　　）
A. 2- B. C. 2+ D. 1
二、填空题：本题共12小题，共53分。
5.曲线y=x3-2x在（1，-1）处的切线方程为______．
6.已知直线l1：mx-2y+1=0，l2：x-（m+1）y+1=0，若l1∥l2，则m= .
7.已知圆心为（-2，3）的圆与直线x-y+1=0相切，则该圆的标准方程是 .
8.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=______．
9.AB是平面上长度为4的一条线段，P是平面上一个动点，且|PA|+|PB|=6，M是AB的中点，则|PM|的取值范围是 .
10.已知M为抛物线y2=4x上的动点，F为抛物线的焦点，点P（1，1），则|MP|+|MF|的最小值为 .
11.已知直线l过点P（-2，3），且与直线的夹角为，则直线l的方程为 .
12.已知，则= .
13.已知点A，B分别是椭圆的上、下顶点，点C为椭圆的右顶点，若△ABC为正三角形，则该椭圆的离心率为 .
14.与双曲线有公共渐近线且过点的双曲线的方程为 .
15.有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m,若行车道总宽度为7.2m,则车辆通过隧道时的限制高度为 m.
16.在直角坐标系中，O为坐标原点，曲线W的方程是+|y|=1，P为W上的任意一点．给出下面四个命题：
①曲线W上的点关于x轴，y轴对称；
②曲线W上两点间的最大距离为2；
③|OP|的取值范围为；
④曲线W围成的图形的面积小于．
则以上命题中正确的序号有 ．
三、解答题：本题共5小题，共79分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题13分)
求下列函数的导数：
（1）f（x）=3x4+sinx；
（2）．
18.(本小题15分)
已知圆的方程为x2+y2=9，过点P（4，2）作直线l交圆于A、B两点.
（1）当直线l的斜率为1时，求弦AB的长；
（2）当直线l的斜率变化时，求动弦AB的中点Q的轨迹方程.
19.(本小题15分)
已知B位于A正东方，且A，B两地相距800米，一炮弹在某处爆炸.在A处听到爆炸声的时间比B处晚2秒钟.
（1）爆炸点C应该在什么样的曲线上？并说明理由.
（2）若在B处观测到爆炸点C位于B处正北方向，试建立适当的直角坐标系，并确定爆炸点C的坐标.（精确到1米）（已知声音速度为340米/秒）
20.(本小题18分)
已知斜率为k的直线l经过抛物线C：y2=4x的焦点F，且与抛物线C交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），记点M的坐标为（5，0）.
（1）若点A和B到抛物线准线的距离分别为和3，求|AB|；
（2）若斜率k=1，求△AMB的面积；
（3）若△AMB是等腰三角形且|MA|=|MB|，求实数k.
21.(本小题18分)
历史上著名的卡西尼卵形线的探究具有代表性，卡西尼卵形线是表示到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹.
（1）试求到两个定点F1（-1，0），F2（1，0）的距离之积为常数2的动点P的轨迹方程（不要求化简）；
（2）探究该轨迹的对称性、顶点、范围（给出必要的探究过程）.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】x-y-2=0
6.【答案】-2
7.【答案】（x+2）2+（y-3）2=8
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】2
11.【答案】x=-2或
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】3.8
16.【答案】①③
17.【答案】解：（1）f（x）=3x4+sinx则f′（x）=12x3+cosx；
（2），则f′（x）=+-2e2x-1．
18.【答案】解：（1）直线l的斜率为1时，此时过P的直线可表示为：y-2=x-4，
设圆心到的距离为d,圆的半径为r,
则．
由题意可得r=3，，
所以．
（2）如图所示，
根据垂径定理，易知AB中点Q与O的连线垂直于AB，即可得Q在以OP为直径的圆上，
同时Q应在圆x2+y2=9内，
设圆心为C，则C（2，1），，
则Q在（x-2）2+（y-1）2=5上，
与x2+y2=9联立可得，
故Q轨迹方程为（x-2）2+（y-1）2=5，其中．
19.【答案】以A，B为焦点，且距B较近的双曲线的一支上 C（400，131）
20.【答案】解：（1）抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=-1．
由抛物线的定义，若点A和B到准线的距离分别为和3，则，|BF|=3，
∴．
（2）若斜率k=1，则直线l的方程为y=x-1，
由消去y,整理得x2-6x+1=0，Δ=36-4=32＞0，
∵A（x1，y1），B（x2，y2），
∴x1+x2=6，x1x2=1，
由抛物线的定义，|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=6+2=8．
M（5，0）到直线l：y=x-1即x-y-1=0的距离为，
∴△AMB的面积．
（3）直线l的方程为y=k（x-1），（易知k≠0）
由消去y,整理得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，Δ=（2k2+4）2-4k4=16（k2+1）＞0，
∵A（x1，y1），B（x2，y2），∴，x1x2=1，
∴AB中点，
其中，，∴，
∵△AMB是等腰三角形且|MA|=|MB|，∴MN⊥AB，
∴，解得k=±1．
∴实数k的值为1或-1．
21.【答案】 卡西尼卵形线关于坐标轴对称，关于原点中心对称；顶点为；范围为，y∈[-1，1]
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