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2025-2026学年天津市和平区双菱中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共9小题，共27分。
1.设函数y=（2x+1）3，若，则x0=（　　）
A. 或 B. -1或0
C. D. 0
2.已知随机变量X的分布规律为P（X=i）=ai2（i=1，2，3），则P（X=2）=（　　）
A. B. C. D.
3.从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有（　　）
A. 30种 B. 36种 C. 42种 D. 60种
4.已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象大致是（　　）
A.
B.
C.
D.
5.某次测试共设置两道必答题，考生至少答对其中一道题即可通过测试.已知考生甲答对每一题的概率均为，在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为（　　）
A. B. C. D.
6.将一个边长为24的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒，当方盒容积最大时，x=（　　）
A. 2 B. C. D. 4
7.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的猜想中错误的是（　　）
A. 由“第n行所有数之和为2n”猜想：
B. 由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数和”猜想：
C.
D. 第29行中从左到右第14与第15个数相等
8.已知函数，当x2＞x1＞0时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
9.已知函数若直线y=kx与y=f（x）有三个不同的交点，则实数k的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.已知函数f（x）=cosx,则= .
11.若二项式的展开式中的二项式系数和为A，各项系数和为B，则A-B= .
12.袋子中有3个红球，2个黄球，m个蓝球，现从中任取两个球，记取出的红球个数为X，若取出的两个球都是红球的概率为，则E（X）= .
13.已知X的分布列为：
X -1 0 1
P a
设 Y=2X+1，则Y的方差D（Y）的值是 ．
14.现有两个罐子，都放有3个球，这些球除颜色外，大小与质地都相同，A罐中放有2个红球，1个白球，B罐中放有3个红球，从两个罐子中各摸出1个球并交换，这样交换2次后，白球还在A罐子中的概率是 .
15.已知函数，g（x）=ln（x+1）-ax2，若 x1∈[1，e]， x2∈（0，1]使得f（x1）＞g（x2）成立，则实数a的取值范围是 .
三、解答题：本题共5小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
已知函数f（x）=x（x-a）2
（1）若f（x）在x=2处有极小值，求a；
（2）若a=4，求f（x）在区间[-1，3]上的最值.
17.(本小题10分)
，若（2x-1）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等.
（1）求n的值；
（2）求x2的系数；
（3）求|a1|+|a2|+|a3|+ +|an|的值.
18.(本小题10分)
2024年被业界公认为“具身智能元年”.得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟.人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活.新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动.活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格.已知小明、小华，小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为，假设他们之间通过与否相互独立.
（1）求这3人中至多有2人通过第一轮的概率；
（2）设这3人中通过第二轮的人数为ξ，求ξ的分布列及期望.
19.(本小题10分)
已知函数f（x）=（lnx）2-ax2lnx2-x4.
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）恰有3个零点，求a的取值范围.
20.(本小题10分)
已知函数f（x）=ex-ax-1.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a=1时，存在不相等的x1、x2，满足f（x1）=f（x2），证明：x1+x2＜0；
（3）对任意的x＞0，f（x）≥（1-x）ex+lnx恒成立，求a的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】
11.【答案】33
12.【答案】1
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】（ln2，+∞）
16.【答案】2 f（x）min=-25，f（x）max=
17.【答案】解：（1）(2x-1)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则，解得n=10，即n的值为10；
（2）由（1）知，(2x-1) 10的展开式中x2项为：，所以a2=180，即x2的系数为180；
（3）由（1）知，(2x-1) 10的展开式中，
当x=0时，a0=1，
因为a0，a2，a4，a6，a8，a10∈（0，+∞），a1，a3，a5，a7，a9∈（-∞，0），
所以|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+ +|a10|=a0-a1+a2-a3+ +a10，
当x=-1时，，
所以．
18.【答案】 分布列：
ξ 0 1 2 3
P
期望为
19.【答案】y=-（2a+4）x+2a+3（或（2a+4）x+y-2a-3=0）
20.【答案】当a≤0时，f（x）在R上单调递增；当a＞0时，f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增 当a=1时，由（1）可得，f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．
不妨设x2＜0＜x1，要证x1+x2＜0，即证x1＜-x2，即证f（x1）＜f（-x2）．
∵f（x1）=f（x2），即证f（x2）-f（-x2）＜0．
令g（x）=f（x）-f（-x）=ex-e-x-2x，（x＜0），∴g′（x）=ex+e-x-2＞0
∴g（x）在（-∞，0）上单调递增，∴g（x）＜g（0）=0，∴f（x2）-f（-x2）＜0．
∴f（x1）＜f（-x2），∴x1＜-x2，∴x1+x2＜0，证毕 [1，+∞）
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