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2025-2026学年广东省惠州市惠东县高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设复数z=2+i,则=（　　）
A. 4 B. -4 C. 2i D. -2i
2.已知向量，满足，，，则=（　　）
A. B. 1 C. 2 D. 3
3.已知△ABC的直观图△A′B′C′是直角三角形，如图所示，其中O′B′=A′B′=B′C′=2，则AC的长度为（　　）
A. 8
B. 4
C. 4
D. 4
4.已知z1，z2∈C，则下列说法正确的是（　　）
A. 若z3∈C，z1z3=z2z3，则z1=z2 B. 若，则|z1|=|z2|
C. 若|z1+z2|=|z1-z2|，则z1 z2=0 D.
5.已知圆台的上底面积，下底面积分别为π、4π，体积为7π，则该圆台的外接球表面积为（　　）
A. 16π B. 20π C. 24π D. 28π
6.如图，在△ABC中，，P是线段BN上一点，若，则m的值为( )
A. B. C. 1 D. 3
7.已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2BC=2CD=2AD=4，点M为边CD上的动点，若∠AMB=α，则cosα的范围是（　　）
A. B. C. D.
8.如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径6cm，高8cm（不含杯脚），已知水的高度是4cm，现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变.如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（　　）
A. 98颗
B. 106颗
C. 120颗
D. 126颗
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（　　）
A. 圆柱的侧面积为4πR2 B. 圆锥的侧面积为
C. 圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和 D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小
10.设复数z满足|z-i|=1，则以下结论正确的是（　　）
A. z在复平面上对应的轨迹是圆 B. |z|的最大值为2
C. |z|的最小值为0 D. 复数z的虚部取值范围是[-1，1]
11.在△ABC中，已知AB=4，AC=2，，若，则（　　）
A. S△ACD=3S△ABD B.
C. 是在上的投影向量 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.定义运算=ad-bc，若复数，y=，则|x|=______，|y|=______．
13.如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一动点（含端点A，B）.若AB=2，则||的取值范围是 .
14.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称；如图所示，圆筒内径长2cm,外径长3cm,筒高4cm,中部是棱长为3cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为 cm3.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
（1）作图题：如图所示，已知同起点的三个向量，，，求作向量.
（2）设两个非零向量，不共线，，，.
①若和共线，求实数k的值；
②求证：A、B、D三点共线.
16.(本小题15分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知3csinC=（3a+2b）sinA+（3b+a）sinB.
（1）求角C的大小；
（2）若，求c的最小值及△ABC的面积.
17.(本小题15分)
已知函数.
（1）求函数f（x）的周期、单调增区间、对称中心坐标；
（2）当时，求函数f（x）的值域；
（3）当x∈（0，m）时，方程f（x）=-1有3个不同的实数根，求实数m的范围.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=-2sin2x+2cosx+t,其中t为常数.
（1）当时，f（x）≤0恒成立，求实数t的取值范围；
（2）设函数f（x）在上有两个零点m,n,
①求t的取值范围；
②证明：cosm＞sinn.
19.(本小题17分)
已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+3，且当x＞0时，f（x）＞-3.
（1）求f（0）的值，并证明f（x）+3为奇函数；
（2）求证：f（x）在R上是增函数；
（3）若f（1）=2，解关于x的不等式f（x2+x）+f（1-2x）＞9.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】ABC
10.【答案】ABC
11.【答案】BC
12.【答案】1
13.【答案】[，]
14.【答案】
15.【答案】 ①±2；②由题意得，
因为，所以和共线，
结合有公共点B，可得A、B、D三点共线
16.【答案】 ；
17.【答案】f（x）的最小正周期为π，单调增区间为[-+kπ，+kπ]，k∈Z；对称中心坐标为（kπ+，），k∈Z [-1，] m的范围是（，2π]
18.【答案】（-∞，-2] ①；②证明：由①得u1=cosm，u2=cosn为y=h（u）与y=t的图象的交点，
则，即cosm=-1-cosn，
因为，不妨设m＜n，所以，则，
则，
因为，所以，
所以，则，
所以，即cosm＞sinn
19.【答案】解：（1）因为f（x+y）=f（x）+f（y）+3，
取x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0）+3，所以f（0）=-3，
取y=-x,则f（0）=f（x）+f（-x）+3=-3，
于是f（x）+3=-f（-x）-3=-[f（-x）+3]，
所以f（x）+3为奇函数．
（2）证明： x1，x2∈R，x1＜x2，则x2-x1＞0，
由当x＞0时，f（x）＞-3，得f（x2-x1）＞-3，即f（x2-x1）+3＞0，
因为f（x+y）=f（x）+f（y）+3，
则f（x2）=f[x1+（x2-x1）]=f（x1）+f（x2-x1）+3＞f（x1），
所以f（x）在R上是增函数．
（3）由f（1）=2，得f（2）=f（1）+f（1）+3=7，f（3）=f（1）+f（2）+3=12，
不等式f（x2+x）+f（1-2x）＞9 f（x2+x）+f（1-2x）+3＞12，
则f（x2-x+1）＞f（3），由（2）知，x2-x+1＞3，即x2-x-2＞0，解得x＜-1或x＞2，
所以原不等式的解集为（-∞，-1）∪（2，+∞）．
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