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2025-2026学年上海外国语大学附属大境中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共16分。
1.若在△ABC中，“A＞B“是“sinA＞sinB“的（　　）条件
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要
2.设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是“＜0”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.函数y=1-2sin2（x-）是（　　）
A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数
C. 最小正周期为π的奇函数 D. 最小正周期为π的偶函数
4.三角函数是刻画周期现象最典型的数学模型.关于三角函数周期性给出两个结论：
①函数y=cosx cos2x是周期函数；
②函数y=cosx+cos（πx）是周期函数.
则下列判断正确的是（　　）
A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.半径为3的扇形面积为π，则此扇形的弧长为 .
6.已知tanα=2，则= ．
7.已知点A（4，3），将OA绕坐标原点O顺时针旋转至OA′，则点A′的坐标为 .
8.函数在（0，π）上的单调递减区间为 .
9.已知和是两个不平行的向量，向量与平行，则实数t= .
10.在平面直角坐标系中，角α的终边与角β的终边关于y轴对称.若，则tan2β= .
11.已知奇函数f（x）的一个周期为2，当x∈（0，1）时，，则f（7.5）= ______.
12.若将函数的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是 .
13.已知，则在上的投影向量为______.
14.已知函数，若满足f（a）=f（b）=f（c）（a＜b＜c），则ac+bc的取值范围是 .
15.设α、β∈[-4π，4π]，若，则的最大值等于 .
16.已知四边形ABCD是平行四边形，若，，，且，则在上的数量投影为 .
三、解答题：本题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知.
（1）求与的夹角大小；
（2）求在上的数量投影.
18.(本小题8分)
已知角α、2α-β的顶点在半面直角坐标系的原点，始边与x轴正半轴重合，且角α的终边与单位圆（圆心在原点，半径为l的圆）的交点A位于第二象限，角2α-β的终边和单位圆的交点B位于第三象限，若点A的横坐标为xA=-，点B的纵坐标为yB=-．
（1）求sin2α、cos2α的值：
（2）若0＜β＜π，求β的值．（结果用反三角函数值表示）
19.(本小题10分)
如图，某景区为了增加观赏性，初步计划在景区路口A的两条公路AB，AC之间建造三角形的花园，已知∠BAC为，花园的另外两个顶点分别在M，N两点（沿着公路且异于点O），为了便于游客赏玩，沿着花园修建观景通道MN，已知观景通道长2km,记.
（1）试用θ表示出AM，AN，以及此花园AMN的面积.
（2）θ为多少时，花园AMN的面积最大？最大面积为多少？
20.(本小题12分)
已知函数的图像，如图所示：
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（mx）（m＞0）在上是严格增函数，求实数m的最大值.
（3）将函数y=f（x）的图像向右移动个单位，再将所得图像的上各点的横坐标缩短到原来的a（0＜a＜1）倍得到y=g（x）的图像，若y=g（x）在区间[-1，1]上至少有30个最大值，求实数a的取值范围.
21.(本小题12分)
对于函数y=f（x），若在其定义域内存在实数x0，t,使得f（x0+t）=f（x0）+f（t）成立，称y=f（x）是“t跃点”函数，并称x0是函数f（x）的“t跃点”.
（1）若函数f（x）=sinx-m,x∈R是“跃点”函数，求实数m的取值范围；
（2）是否同时存在实数m和正整数n使得函数h（x）=cos2x-m在上有2025个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的m和n的值；若不存在，请说明理由.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】（-3，4）
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】[2，2024）
15.【答案】6
16.【答案】10
17.【答案】；
．
18.【答案】解：（1）由题意可得cosα=-，sinα=，
即有sin2α=2sinαcosα=2××（-）=-，cos2α=2cos2α-1=2×-1=-；
（2）由题意可得cos（2α-β）=-，sin（2α-β）=-，
cosβ=cos[2α-（2α-β）]=cos2αcos（2α-β）+sin2αsin（2α-β）
=（-）×（-）+（-）×（-）=，
0＜β＜π，可得β=arccos．
19.【答案】，，；
；．
20.【答案】； ； ．
21.【答案】 存在，或
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