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2025-2026学年云南师范大学附属中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知全集U=R，集合，则 UA=（　　）
A. （-∞，0） B. （-∞，1） C. [0，+∞） D. [1，+∞）
2.已知α，β是两个不同的平面，直线l α，则“l⊥β”是“α⊥β”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.设a=log32，b=log52，，则（　　）
A. a＞b＞c B. a＞c＞b C. c＞a＞b D. c＞b＞a
4.已知向量，满足，，，则与的夹角为（　　）
A. B. C. D.
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AB的中点，N为CC1的中点，P为线段AA1上一点且A1P=3AP.过点M，N，P作该正方体的截面，记为α，则截面α为（　　）
A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形
6.已知在△ABC中，点D在边BC上，且AD平分∠BAC，AB=1，AC=2，则=（　　）
A. B. C. D.
7.设函数f（x）=ex+e-x+a（x-1）2，g（x）=3cosx-2ax,当x∈（-1，1）时，曲线y=f（x）与y=g（x）恰有一个交点，则a=（　　）
A. -1 B. C. D. 1
8.已知正三棱台ABC-A1B1C1的体积为28，AB=8，A1B1=4，M，N分别是BC和B1C1的中点，则异面直线MN与AB1所成角的余弦值为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若函数，则下列说法中正确的有（　　）
A. f（x）的最小正周期为
B. f（x）的定义域为
C. f（x）图象的对称中心的坐标为
D. f（x）的单调递增区间为
10.记△ABC内角A，B，C的对边分别为a,b,c,下列说法中正确的有（　　）
A. 若sinA＞sinB，则A＞B B. 若sin2A=sin2B，则A=B
C. 若，则A=B D. 若bcosC+ccosB=b,则A=B
11.类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图①，由不共面的三条射线PA，PB，PC构成的图形称为三面角P-ABC，记∠APC=α，∠BPC=β，∠APB=γ，二面角A-PC-B的大小为θ，则cosγ=cosαcosβ+sinαsinβcosθ.如图②，在平面四边形ABCD中，AB=AC=CD=1，，，如图③，将△ACD沿AC翻折至△ACP，记二面角P-AC-B的平面角为θ1，记二面角A-CP-B的平面角为θ2，则下列说法正确的有（　　）
A. 当时，则PA⊥AB B. 当时，则
C. 当PC⊥BC时， D. cosθ2的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，已知△O′A′B′是一个平面图形用斜二测画法画出的直观图，O′A′=2，O′B′=3，则原平面图形的周长是 .
13.已知函数f（x+2）为奇函数，当x＜2时，f（x）=ax2-x（a≠0），若f（x）在（2，3]上单调递增，则a的取值范围是 .
14.如图，某公园内有一个半圆形湖面，O为圆心，半径为1千米，现规划在半圆弧岸边上取点C，D（点C在点A与点D之间），满足∠COD=∠OBD，拟在四边形OBDC区域内种植荷花，并在湖面上修建栈道CD，DB作为观光路线，若观光路线总长度CD+DB取得最大值时，则sin∠COD= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量，，其中x∈R，设函数.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若，求f（x）的最大值和最小值.
16.(本小题15分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）求B；
（2）若，，求△ABC的面积.
17.(本小题15分)
如图，已知在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，点D是BC的中点.
（1）求证：A1C∥平面ADB1；
（2）若AB=AC=5，BC=8，AA1=2，求三棱锥C1-ADB1的体积.
18.(本小题17分)
如图，设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a,b,c,D为边AB上的中点，且，b=2，
（1）求a；
（2）求cos∠ACB；
（3）设M，N分别为边CA，CB上的动点，线段MN交CD于P，且四边形ABNM的面积为△CAB面积的，求的取值范围.
19.(本小题17分)
如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，AB⊥AC，BC=3，CD=7，，已知E为线段BD上一动点且BE=λBD，其中0＜λ＜1.
（1）当时，
（ⅰ）求证：AB⊥CE；
（ⅱ）若三棱锥A-BCE的各个顶点都在球O的球面上，求球O的体积；
（2）设AE与平面BCD所成角为α，当时，求tanα的最大值.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】BC
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】12
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】π ；f（x）max=1
16.【答案】 或
17.【答案】如图，连接A1B，设A1B∩AB1=E，连接DE，
因为四边形AA1B1B是矩形，则E为A1B的中点，
又因为D是BC的中点，
所以DE∥A1C，
又因为A1C 平面ADB1，DE 平面ADB1，
所以A1C∥平面ADB1 8
18.【答案】4
19.【答案】（ⅰ）证明：如图，连接CE，在△BCD中．
由余弦定理，得．
故BD=8．
又，
∴．
当时，此时，DE=2．
在△BCE中，于是，
即，，
故BC⊥CE．
又∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，而CE 平面BCD，
∴CE⊥平面ABC，∴AB⊥CE．
（ⅱ）36π
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