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山东济宁市实验中学等校2025-2026学年高一第二学期期中质量检测数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.用斜二测画法画一个边长为4的正方形的直观图，则直观图的面积是（）
A. B. C. D.
3.已知是不共线的向量，且，则（ ）
A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线
4.在中，，是角，所对的边，，，，则边的值为（ ）
A. B. C. D.
5.在长方体中，分别为和的中点，则下列说法错误的是（ ）
A. 四点共面 B. 三线共点
C. 与是异面直线 D. 与是相交直线
6.已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
7.正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是（ ）
A. B. C. 28 D. 56
8.若复数满足，则（ ）
A. B. 2 C. D. 3
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的虚部为1 B. C. D. 为纯虚数
10.已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆锥的侧面积为 B. 圆锥的体积为
C. 圆锥的外接球的表面积为 D. 圆锥的内切球的体积为
11.在中，角所对的边分别为，．若为的垂心，且，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的面积为
C. 边的最小值为
D. 若，则为等腰三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，若，则 ．
13.某校兴趣小组想要测量某塔的高度，在塔附近选取了相距50米的（与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度 米．
14.在中，角所对的边分别为，且，若，，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数满足．
(1)求复数；
(2)若复数是关于的方程的一个根，求实数的值．
16.(本小题15分)
已知向量．
(1)求；
(2)求与的夹角．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥中，底面为梯形，且，且为的中点．
(1)求证：平面；
(2)设平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并证明．
18.(本小题17分)
如图，在中，，与交于点．
(1)试用表示和；
(2)若．
（i）求的大小；
（ii）若以为底面的直三棱柱的所有顶点均在半径为的球的球面上，求直三棱柱的体积．
19.(本小题17分)
在中，角所对的边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若平分交于，且，求边上的高；
(3)若为锐角三角形，为边的中点，求中线长度的取值范围．
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】BC
10.【答案】ACD
11.【答案】BCD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）因为，所以；
（2）因为复数是关于的方程的一个根，
所以，展开得，
所以，解得.

16.【答案】解：（1）已知向量
所以，，解得，
所以
（2）因为，
又因为．
所以，设与的夹角为，且，
所以，得，即与的夹角为.

17.【答案】解：（1）证明：设为的中点，连接，．
又因为为的中点，所以，，
又因为，，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面
（2）直线与平面平行，证明如下：
因为平面，平面，平面平面，所以，
又因为平面，平面，所以平面.

18.【答案】解：（1）因为，所以．
设，则，
则，
又，三点共线，
所以存在实数使得，即，
因为不共线，所以，解得，
所以.
（2）（i）因为，
所以
，
解得，又，所以；
（ii）在△中，由余弦定理，
得到，解得，
所以△外接圆的直径为，解得，
设直三棱柱的高为，其外接球的半径为，
则，即，解得，
又△的面积为，
所以直三棱柱的体积为.

19.【答案】解：（1）由正弦定理得
因为，
所以，
所以，
因为，所以，即
又所以
（2）因为平分交于，所以，
又，即，
化简得．
在△中，由余弦定理得，即，
所以解得
又，所以，
所以边上的高为．
（3）因为为边的中点，所以，
所以，
由正弦定理得，所以，，
所以
因为△为锐角三角形，所以，即，
所以，所以，
所以，所以，
所以中线长度的取值范围是．

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