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2025-2026学年北京市第三十五中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式中，最简二次根式是（　　）
A. B. C. D.
2.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）
A. 1，1，2 B. 2，3，4 C. 1，， D. 9，12，13
3.下列计算正确的是（　　）
A. B.
C. D.
4.如图，数轴上点A所表示的数为a,则a的值是（　　）
A. B. C. D.
5.下列说法正确的是（　　）
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形
C. 对角线相等的平行四边形是矩形
D. 有一个角是直角的矩形是正方形
6.如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点（2，0），与y=x+1的图象交于点P（1，2），则下列说法正确的是（　　）
A. 关于x,y的方程组的解是
B. 方程kx+b=0的解是x=-2
C. 方程kx+b=x+1的解是x=2
D. 不等式kx+b＜x+1的解集是x＜1
7.如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈=十尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（）
A. x2＋62 =102 B. (10－x)2＋62 = x2
C. x2＋(10－x)2=62 D. x2＋62 =(10－x)2
8.如图1，已知点E，F，G，H是矩形ABCD各边的中点，AB=6，BC=8.动点M从某点出发，沿某一路径匀速运动，设点M运动的路程为x,过点M作MQ⊥BC于点Q，则△BMQ的面积y关于x的函数关系的图象如图2所示，那么这条路径可能是图中的（　　）
A. F→G→H→E→F B. E→H→G→F→E C. G→F→E→H→G D. G→H→E→F→G
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.函数y=自变量x的取值范围是 ．
10.已知正比例函数y=kx的图象经过第二，四象限，请写出一个符合条件的函数表达式 ．
11.已知一次函数y=（m-2）x+1，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是 .
12.已知：在 ABCD中，∠A+∠C=160°，则∠B的度数是 °．
13.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=2，∠AOB=60°，则BD的长为______．
14.如图， 菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，连接OE，若，OA=4，则AB= ，菱形ABCD的面积是 .
15.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，AD是BC边上的中线，那么AD的长为 .
16.如图，线段AB的长为10，点D在线段AB上运动，以AD为边长作等边三角形ACD.再以CD为边长，在线段AB上方作正方形CDGH，记正方形CDGH的对角线交点为O.连接OB，则线段BO的最小值为 .
三、解答题：本题共11小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
（1）；
（2）.
18.(本小题6分)
如图，在 ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且∠AEC=∠AFC.
求证：四边形AECF是平行四边形.
19.(本小题7分)
已知：如图，在△ABC中，AB=AC.
求作：以AC为对角线的矩形ADCE.
作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P，作射线AP与BC交于点D；
②以点A为圆心，CD的长为半径画弧；再以点C为圆心，AD的长为半径画弧，两弧在AC的右侧交于点E；
③连接AE，CE.
四边形ADCE为所求的矩形.
（1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成以下证明.
证明：∵AE=CD，CE=AD，
∴四边形ADCE为平行四边形（______）.（填推理的依据）
由作图可知，
AD平分∠BAC，
又∵AB=AC，
∴AD⊥BC（______）.（填推理的依据）
∴∠ADC=90°.
∴平行四边形ADCE是矩形（______）.（填推理的依据）
20.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（-1，0）和B（0，2）.
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）若点C是x轴上一点，且△ABC的面积为3，求点C的坐标.
21.(本小题6分)
如图，直线l1：y=kx+b（k≠0）经过点A（-6，0），且与直线l2：y=2x相交于点B（m,4）.
（1）求m、k和b的值；
（2）过点N（n,0）且垂直于x轴的直线与l1，l2分别交于C，D两点.
①当n=-2时，求△BCD的面积；
②当点C位于点D上方时，直接写出n的取值范围是______.
22.(本小题6分)
如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，将矩形ABCD翻折，使得点B落在CD边上的点E处，折痕AF交BC于点F，求FC的长．
23.(本小题6分)
如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB=2，BD=4，求OE的长．
24.(本小题6分)
一辆电动车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶72千米匀速驶向B地，货车到达B地装填货物耗时15分钟，然后立即按原路返回A地.电动车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发的时间x（时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）A，B两地之间的距离是______千米，a=______；
（2）直接写出线段FG的解析式，并指出自变量x的取值范围；
（3）求电动车与货车第二次相遇的时间.
25.(本小题6分)
在函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质的过程.以下是研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各题：
x …… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ……
y …… a 2 5 b 5 2 1 ……
（1）写出表中a、b的值：a= ______，b= ______；描点、连线，在答题卡上所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象.
（2）结合函数图象，下列说法正确的有______.（请填入所有正确结论的序号）
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴；
②该函数图象不经过第三象限；
③当x＜0时，y随x的增大而减小；
④若点A（m,c），B（n,c）为该函数图象上不同的两点，则m+n=0；
⑤该函数图象与直线x=-2、x=2以及x轴围成区域的面积大于14：
（3）结合所画函数图象，直接写出不等式的解集是______.
26.(本小题7分)
如图，点E在正方形ABCD的边CD上（CE＞DE），以B为圆心，AB长为半径画弧交AE于H，过点H作FG⊥AE交AD于点F，交BC于点G，连接BH.
（1）①根据题意补全图形.
②用等式表示∠BHG与∠ABH的数量关系并证明.
（2）求证：DE=BG.
（3）若在线段CE上存在一点M，使得DE=EM=CM，连接GM，用等式表示AE和GM的数量关系并证明.
27.(本小题4分)
阅读理解：
【新定义】对于线段MN和点Q，定义：若QM=QN，则称点Q为线段MN的“等距点”；特别地，若∠MQN=90°，则称点Q是线段MN的“完美等距点”.
【解决问题】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（6，0），点P（m,n）是直线上一动点.
（1）已知4个点：B（3，-3）、C（3，-2）、D（-3，-3）、以上这四个点中______是线段OA的“等距点”，______是线段OA的“完美等距点”（填写大写字母）；
（2）若点P在第三象限，且，点H在y轴上，且H是线段AP的“等距点”，求点H的坐标；
（3）若点M是线段OP的“完美等距点”，则称△OMP为OP的“完美等距三角形”.点P在第一象限，N是x轴上一个动点，是否存在这样的点G，使点G在OP的“完美等距三角形”上且为线段AN的“完美等距点”.若存在，请直接写出点P横坐标m的取值范围______.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】x≥5
10.【答案】y=-x（答案不唯一）
11.【答案】m＞2
12.【答案】100
13.【答案】4
14.【答案】2
16

15.【答案】2.5
16.【答案】5
17.【答案】解：（1）原式=
=
=．
（2）原式=（）2-1-6
=
=．
18.【答案】解：∵在 ABCD中，
∴AD∥BC，
∴∠AFC+∠FCB=180°，
∵∠AEC=∠AFC，
∴∠AEC+∠FCB=180°，
∴AE∥FC，
又∵AD∥BC，
∴四边形AECF是平行四边形．
19.【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 三线合一 有一个角是90°的平行四边形是矩形
20.【答案】解：（1）把点A（-1，0）和B（0，2）代入一次函数y=kx+b（k≠0）得：
，
解之得：，
∴这个一次函数的解析式为：y=2x+2；
（2）设点C坐标为（c,0），
∵点A（-1，0），B（0，2），
∴AC=|c-（-1）|=|c+1|，
∵△ABC的面积为3，
∴，
|c+1|=3，
c+1=±3，
解得：c=2或-4，
∴点C坐标为（2，0）或（-4，0）．
21.【答案】m=2，，b=3；
①12，②n＜2．
22.【答案】解：∵△ABF≌△AEF，
∴AE=AB=5．
在矩形ABCD中，AD=BC=4，
在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，
∴DE=3，CE=CD-DE=2．
设FC=x，则EF=BC-FC=4-x．
在Rt△ECF中，EF2=EC2+FC2，
即（4-x）2=22+x2，
8x=12，，
∴．
23.【答案】解：（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB=∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴CD=AD=AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=AB，
∴ ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE=OA=OC，
∵BD=4，
∴OB=BD=2，
在RtAOB中，AB=2，OB=2，
∴OA==4，
∴OE=OA=4．
24.【答案】54;1 y=-54x+108（1≤x≤2） 货车出发后h
25.【答案】1 10 ①②④⑤ x＜-1或2＜x＜3
26.【答案】①见解析；②结论：∠ABH=2∠BHG．见解析；
见解析；
AE=GM；见解析．
27.【答案】B、C、E;B （0，4） m≥4
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