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2025-2026学年重庆市开州区文峰初中教共体九年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2026的倒数是（　　）
A. 2026 B. C. D. -2026
2.如图，这个几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（　　）
A.
B.
C.
D.
3.把一块含30°角的直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，若∠1=54°，则∠2的大小是（　　）
A. 32° B. 30° C. 24° D. 22°
4.反比例函数的图象所在象限为（　　）
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第一、四象限 D. 第二、四象限
5.佛山市2025年参加中考的人数约为91000人，将91000用科学记数法表示为（　　）
A. 91×103 B. 9.1×103 C. 9.1×104 D. 0.91×105
6.如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，已知BO：OE=2：1，则△ABC与△DEF的面积之比是（　　）
A. 1：2
B. 1：4
C. 2：1
D. 4：1
7.如图，PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，若∠A=62°，则∠P的度数为（　　）
A. 72°
B. 48°
C. 65°
D. 56°
8.如图，某民族服饰的花边均是由若干个基本图形组成的有规律的图案，第1个图案由4个基本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成，第3个图案由10个基本图形组成，按照这一规律，第8个图案中基本图形的个数为（　　）
A. 22 B. 25 C. 28 D. 31
9.如图，在正方形ABCD中，点M在边CB上，点N在对角线BD上，连接DM，CN，点P，Q分别为CN，DM中点，若，，则的值为（　　）
A.
B.
C.
D.
10.已知整式，其中n,an为正整数，a1，a2，…，an-1为自然数，整数a0满足|a0|+a1=8，a0+a1+a2+…+an=6.定义整式M的“加权值”.下列说法：
①当n=1时，不等式M≤5的解集为；
②当x=1，n=3时，M′的最小值为17；
③满足条件的所有二次三项式的和取最小值时，.
其中正确的个数是（　　）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.家住重庆的小高得知2026年春晚有四个分会场（黑龙江哈尔滨、浙江义乌、安徽合肥、四川宜宾）后，打算随机选择一个前往，则他恰好选到离家最近的分会场的概率是 .
12.若n为正整数，且满足，则n= .
13.某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，则增长率为 .
14.若x-|y|=7，|x|-2y=4，则xy= .
15.如图，⊙O是等腰△ABC的外接圆，AB=AC=5，BC=6.连接AO并延长交⊙O于点D，∠ABC的角平分线交AD于点E，交⊙O于点F，连接AF，则AF的长度为 .
16.若一个四位自然数各数位上的数字均不为零，且满足千位数字与十位数字之和，百位数字与个位数字之和均为6的倍数，则称M为“吉量数”.例如：四位数4521，∵4+2=6，5+1=6，6为6的倍数，∴4521为“吉量数”.按照这个规定，最大的“吉量数”是 ；若“吉量数”M=1000a+100b+10c+d（1≤a≤5，1≤b≤5，1≤c≤9，1≤d≤9，且a,b,c,d均为整数）的千位数字和百位数字分别加上4，十位数字和个位数字不变，得到的四位数记为M1，将M1的十位数字和千位数字交换位置，个位数字与百位数字交换位置后得到的四位数为M2，记.若F（M）是5的倍数，且是一个完全平方数，则满足条件的“吉量数”M的最大值与最小值的差为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
求不等式组：的整数解.
18.(本小题8分)
数学实践小组对平行四边形进行了以下探究：在平行四边形对角线BD所在的直线上取两点E、F，使∠DAE=∠BCF.这样所得的四边形AECF是平行四边形.请根据他们的思路完成以下作图和推理填空：
（1）如图，用直尺和圆规，在BC的右侧作∠BCF=∠DAE，交直线DB于点F，连接AF（不写作法，保留作图痕迹）
（2）已知：四边形ABCD是平行四边形，BD与AC交于点O，点E、F是直线BD上两点，连接AE、CE、AF、CF，∠BCF=∠DAE.求证：四边形AECF是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，①______，
∴∠ADB=∠CBD，
∴180°-∠ADB=180°-∠CBD，
∴②______.
在△EDA和△FBC中：
，
∴△EDA≌△FBC（ASA），
∴AE=CF，③______，
∴④______，
∴四边形AECF是平行四边形.
19.(本小题10分)
为了解文峰初中学生对DeepSeek等智能软件的使用情况，学校举办了智能软件使用技能竞赛.现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析.所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组：A.90＜x≤100；B.80＜x≤90；C.70＜x≤80；D.60＜x≤70），下面给出了部分信息：
八年级抽取20名学生的竞赛成绩为：65，66，70，75，77，81，82，82，82，83，84，87，88，89，92，95，96，98，98，100.
九年级抽取20名学生的竞赛成绩在B组的数据是：81，82，85，86，87，88.
八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表
年级 八年级 九年级
平均数 84.5 84.5
中位数 83.5 b
众数 a 79
方差 102.75 122.5
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a=______，b=______，m=______；
（2）请根据以上数据进行分析，你认为学校八、九年级中哪个年级学生的技能竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）学校八年级有1100名学生，九年级有1000名学生，请估计八年级和九年级两个年级竞赛成绩为优秀（80＜x≤100）的学生共有多少名？
20.(本小题10分)
先化简，再求值：，其中x满足x2=tan260°+（π-1）0.
21.(本小题10分)
列方程解应用题：为发展农业新质生产力，重庆农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业.经测试，每分钟一名工人采茶的数量比一台机器人采茶的数量少5片，若一名工人采茶6分钟、一台机器人采茶10分钟，共采茶450片.
（1）分别求出一名工人和一台机器人每分钟采茶的片数；
（2）经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得以提高，机器人每分钟比之前多采2a片茶叶，工人每分钟比之前多采a片茶叶，这样，一台机器人采1200片茶叶所用的时间是一名工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求出a的值.
22.(本小题10分)
如图1，矩形ABCD中，AB=3cm,BC=4cm,动点P以1cm/s的速度从点B沿折线B→A→C运动（不与点B，C重合），连接PC、PB，同时，动点Q以0.5cm/s的速度从点A出发沿AC运动，当点P停止运动时点Q也随之停止运动.过点Q作QH⊥AD于点H，设点P的运动时间为x（单位：s），记△PBC的面积为y1，记△ACD与△AQH的周长比为y2，请回答下列问题：
（1）请直接写出y1、y2分别与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1、y2的图象，并写出函数y1的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出当y1＞y2时x的取值范围.（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
23.(本小题10分)
如图，某海域捕鱼作业区B位于补给中心A的北偏东30°方向距离60海里处，位于岛屿C的北偏西45°方向，岛屿C位于补给中心A的正东方.（参考数据：，
（1）求岛屿C与捕鱼作业区B之间的距离；（结果保留到小数点后一位）
（2）某渔船在B处监测发现大量鱼群向正西方向迁移，渔船立即向补给中心A发送信号并同时以每小时30海里的速度向正西方向追赶鱼群.补给中心A接到信号后，立即派出另一艘大型渔船从A出发（接受信号及通知时间忽略不计），沿正北方向以每小时30海里的速度前往协同捕捞.当两船相距20海里时，它们开始启动协同捕鱼作业.请问大型渔船出发后多少小时，两船开始启动协同捕鱼作业？（结果保留根号）
24.(本小题10分)
如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（-2，0），B，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为x=2.
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）过点A作AE∥BC交y轴于点E，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，连接PE，AP，抛物线对称轴上有一动点N，过点N作MN⊥y轴于点M，连接PM，BN，当△AEP的面积与△AOC面积之差最大时，求点P的坐标和PM+BN+MN的最小值；
（3）将抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）沿射线AC方向平移得到新抛物线y′，新抛物线y′恰好经过点C，点D为原抛物线的顶点，在新抛物线y′上是否存在点Q，使得∠BDQ+∠CBO=45°.请写出所有符合条件的点Q的横坐标，并写出其中一个点Q横坐标的求解过程.
25.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=60°，点D在AC上，延长CB至点E，连接DE交AB于点F.
（1）如图1，连接BD，当DF=BF，∠DBC=α时，求∠E的度数（用含α的代数式表示）；
（2）如图2，点G为线段BE上一点，当AD=BG，BE=CG时，求证：；
（3）如图3，当AB=4，BE=8时，点M、N分别为射线EB、CA上的动点，始终满足EM=CN，连接BN，将△BCN沿BN翻折，点C的对应点为P，连接AM、MN、PM、PN，当AM+BN取得最小值时，直接写出△PMN的面积.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】
12.【答案】6
13.【答案】20%
14.【答案】1000
15.【答案】
16.【答案】9999
4218

17.【答案】-1，0，1，2．
18.【答案】∠BCF即为所求； AD∥BC;∠EDA=∠FBC;∠AED=∠CFB;AE∥CF
19.【答案】82;81.5;30 八年级学生的技能竞赛成绩较好，理由如下：
∵八、九年级的平均分均为84.5分，八年级的中位数高于九年级的中位数，八年级的方差小于九年级的方差，
∴整体上看八年级学生竞赛成绩较好 1375
20.【答案】，0．
21.【答案】解：（1）设一名工人每分钟采茶x片，一台机器人每分钟采茶y片，
根据题意得：，
解得：．
答：一名工人每分钟采茶25片，一台机器人每分钟采茶30片；
（2）根据题意得：=×1.5，
解得：a=5，
经检验，a=5是所列方程的解，且符合题意．
答：a的值为5．
22.【答案】；
当0＜x＜3时，y随x的增大而增大；当3≤x＜8时，y随x的增大而减小 2.2＜x＜6.8
23.【答案】岛屿C与捕鱼作业区B之间的距离为73.5海里 大型渔船出发后经过小时，两船开始启动协同捕鱼作业
24.【答案】 ；PM+BN+MN的最小值 点Q的横坐标为或
25.【答案】2α-60° 如图2，过E作EH∥AC，截取EH=BG，连接HG，HA，过G作GM⊥AH于M，
在△ABC中，AB=AC，∠C=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，AB=BC，
∵EH∥AC，
∴∠GEH+∠C=180°，
∴∠GEH=180°-60°=120°，
∵∠ABC+∠ABG=180°，
∴∠ABG=180°-60°=120°，
∴∠GEH=∠ABG，
∵BE=CG，
∴EG=BC=AB，
在△HEG和△GBA中，
，
∴△HEG≌△GBA（SAS），
∴∠HGE=∠GAB，HG=GA，
∵∠GAB+∠AGB=∠ABC=60°，
∴∠HGE+∠AGB=60°，
∴∠AGH=120°，
∵GM⊥AH，
∴AM=HM，，
在Rt△AMG中，，
∴，
∵EH=BG，AD=BG，
∴EH=AD，
又∵EH∥AC，
∴四边形AHED为平行四边形，
∴AH=DE，
∴ △PMN的面积为
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