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河南驻马店市遂平县2025—2026学年下期期中学业水平测试九年级数学
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式中，结果为的是（ ）
A. B. C. D.
2.如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，若移走一个小正方体后，该几何体的左视图和主视图均不变，则可移走的小正方体的编号为（）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
3.电影《731》揭露了抗日战争时期日本侵略者惨无人道的人体实验罪行．电影于2025年9月18日上映，上映三天其总票房已超7亿人民币，累计观影人次1908万．1908万这个数字用科学记数法表示为（）
A. B. C. D.
4.通过实验发现，凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向，点，是凸透镜的焦点，，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5.河南地处中原，省内17处国家5A级旅游景区皆是华夏文明的璀璨坐标.正面分别印有“少林寺”“龙门石窟”“云台山”“殷墟”图片的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片上正面恰好是“少林寺”和“云台山”的概率是（　　）
A. B. C. D.
6.下列等式从左到右变形, 正确的是( )
A. = B. = C. = D. =
7.规定：对于任意实数，，，有，如，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ）
A. B. C. 且 D. 且
8.如图，在中，，点分别是边上靠近点的三等分点，以点为圆心，以为半径画弧与交于点，以点为圆心，以为半径画弧与交于点，若，则阴影部分的周长为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，将矩形绕点顺时针旋转至矩形的位置，连接，取的中点，连接，若，，则（ ）
A. B. C. D.
10.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y=（ x<0）图象上一点，AO的延长线交函数y=（ x>0，k是不等于0的常数）的图象于点C，点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，连接CC′，交x轴于点B，连结AB，AA′，A′C′，若△ABC的面积等于6，则由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积等于（）
A. 8 B. 10 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.实数a、b满足，那么 ， ．
12.数学活动小组在班上做节水意识调查，收集了班上7位同学家里上个月的用水量（单位：吨）如下：5，6，5，9，10，7，8，分析时发现，去掉其中一个数后，这组数据的中位数和众数都保持不变，则去掉的这个数可能是 .
13.若不等式组的解集中的任意x都能使不等式4-x＞0成立，则a的取值范围是 .
14.如图，在中，，，以为直径的半圆，交于点，以点为圆心，为半径作弧，交于点．则图中阴影部分的面积为 ．
15.如图，在矩形中，，点P为边上一动点，连接交对角线于点E，过点E作，交于点F，连接交于点G，在点P的运动过程中，面积的最小值为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
16.计算、因式分解
(1) 计算：．
(2) 因式分解：．
四、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题11分)
国家电影局2026年2月24日发布数据，2026年春节档电影票房为57.52亿元，观影人次为1.20亿．《飞驰人生3》票房领跑，《惊蛰无声》《镖人：风起大漠》《·年年有熊》《熊猫计划之部落奇遇记》《星河入梦》位列二至六位．
其中电影A《飞驰人生3》、B《惊蛰无声》、C《镖人：风起大漠》、D《·年年有熊》票房排名前四，为了解长沙初中学生对这4部电影的喜爱程度，调查小组随机抽取若干名学生的检测结果作为样本进行数据处理，制作了如下所示不完整的统计表和统计图．
等级 频数 频率
A 0.3
B 35 0.35
C 31
D 4 0.04
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
(1) ， ；
(2) 请补全条形统计图；
(3) 若长沙某初中共有学生1600人，据此估算该校喜爱“A《飞驰人生3》”的学生人数为 人；
(4) 张老师在班上抽取了4名学生，其中喜爱“A”的1人，喜爱“B”的2人，喜爱“C”的1人，若从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法，求抽取的2人均喜爱“B《惊蛰无声》”的概率．
18.(本小题9分)
如图，已知一次函数与反比例函数相交于、两点．
(1) 求m，k，b的值；
(2) 直接写出时x的取值范围；
(3) 将直线向下平移个单位后与y轴交于点C，若，求C点坐标．
19.(本小题9分)
如图，在半圆O中，为直径，为弦，过半圆的圆心O作于点D．
(1) 以C为顶点，为一条边，用尺规作图作，与的延长线交于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
(2) 取弧的中点P，连接，，若，，求线段的长．
20.(本小题9分)
为了响应襄阳市中小学“阳光课间活力校园”专项行动，某校成立了足球社团，需要到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球30个，B种品牌的足球20个，共花费3100元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元．
(1) 求购买一个A种品牌，一个B种品牌的足球各需多少元？
(2) 随着社团人数的增多，学校决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3220元，且保证这次购买的B种品牌足球不少于26个，则学校有哪几种购买方案？哪种方案需要资金最少？
21.(本小题9分)
年是“中国航天之父”钱学森先生归国周年，我校开展了“钱学森大讲堂”系列特色活动．甲同学和乙同学参加完活动后计划从礼堂A出发，前往校门C处领取纪念奖章．已知校门C在礼堂A的南偏西方向．出发前两人商定分头行动：甲同学需先前往位于礼堂A正西方向距离米的图书馆D，随后从D向南偏东方向经景观大道前往C处，乙同学先从A沿正南方向步行到达美术部B，再从B沿西北方向步行至C处．（参考数据：，，）
(1) 求的长度（结果保留根号）
(2) 若甲同学步行的平均速度为米/分，乙同学步行的平均速度为米/分，请通过计算说明谁先到达校门C处（结果精确到）
22.(本小题9分)
在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到一个新的点．他们把这个点定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“和抛物线”．例如，二次函数的“和抛物线”就是，请按照定义完成：
(1) 点的“和”点是 ；
(2) 如果抛物线经过点，求该抛物线的“和抛物线”；
(3) 已知抛物线图象上的点的“和点”是，若该抛物线的顶点坐标为，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为．当时，求n的取值范围．
23.(本小题10分)
【综合与实践】
从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究．
【特例研究】
在正方形中，，相交于点O．
(1) 如图1，证明：；
(2) 由（1）得可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为，k的值为 ；
(3) 如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值；
(4) 【类比探究】如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与有关，并说明理由．
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】-4
8

12.【答案】7
13.【答案】a≥-
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
．

17.【答案】【小题1】
30
0.31
【小题2】
解：由（1）知，
补充完整的条形统计图如图所示：
【小题3】
480
【小题4】
解：画树状图如图：

∵共有12种等可能的结果，抽取的2人均喜爱“”的结果有2种，
∴抽取的2人均喜爱“”的概率为．

18.【答案】【小题1】
解：把代入得，
把代入得，
把，代入得，解得，
综上，，，；
【小题2】
解：由（1）可知，，
由图知时，x的取值范围是或；
【小题3】
解：由题得，解得，
由（1）知，
向下平移个单位长度，即，
C点坐标为．

19.【答案】【小题1】
解：如图即为所求：
【小题2】
解：如（1）图，分别连接，，，与交于F，
∵为直径，
∴在中，,，，
∴，
∵点P是弧的中点，
∴，，
又∵为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵在中，，，
∴．

20.【答案】【小题1】
解：设A种品牌足球的单价为元，B种品牌足球的单价为元，
依题意得：，
解得：，
答：购买一个种品牌的足球分别需要50元、80元；
【小题2】
解：设第二次购买A种足球个，则购买种足球个，
依题意得：
，
解得：，
即可以取值为：22，23，24，
故这次学校购买足球有三种方案：
方案一：购买A种足球22个，B种足球28个，
方案二：购买A种足球23个，B种足球27个，
方案三：购买A种足球24个，B种足球26个，
，
当，时，（元），
当，时，（元），
当，时，（元），
∵，
为了节约资金，学校应选择方案三：购买A种足球24个，B种足球26个，资金最少．最少资金是3168元．

21.【答案】【小题1】
解：过作交于点，
∵，
∴，
∵，，
，
∴，，
∴，，
∵甲同学从D向南偏东方向经景观大道前往C处，
∴，
∴，
∴，；
【小题2】
解：过作交于点，
∵，，
∴，
，
∵，
∴，，
∴，，
∵甲同学步行的平均速度为米/分，乙同学步行的平均速度为米/分，
∴，，
∴，
∴乙同学先到达校门C处．

22.【答案】【小题1】
【小题2】
将点代入抛物线得：，
解得：，
即抛物线的解析式为，
∴抛物线的“和抛物线”为，
即．
【小题3】
根据题意可知，点是点的“和”点，
∴，解得：，即，
将点代入抛物线得：，则，
∴抛物线为，
∴抛物线的“和抛物线”为：，
即
∵其顶点坐标为，
∴，
将n看作c的函数，
∵，
时，n有最大值，且最大值为1，
当时，，n有最小值，且最小值为，
∴n的取值范围是.

23.【答案】【小题1】
证明：四边形是正方形，
，
，
；
【小题2】

【小题3】
解：四边形是正方形，
，
，
，
，
将绕点A逆时针旋转，旋转角为，并放大得到，
，
，，
，，
，
；
【小题4】
解：的值与无关，理由如下：
四边形是菱形，，
，
O是的垂直平分线与的交点，
，
，
，
，
在中，，
，
将绕点A逆时针旋转，旋转角为，并放缩得到，
，
，，
，，
，
，
的值与无关．

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