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山东济宁市实验中学等校2025-2026学年高一第二学期期中质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.用斜二测画法画一个边长为的正方形的直观图，则直观图的面积是( )
A. B. C. D.
3.已知是不共线的向量，且，则( )
A. 三点共线 B. 三点共线
C. 三点共线 D. 三点共线
4.在中，，是角，所对的边，，，，则边的值为( )
A. B. C. D.
5.在长方体中，分别为和的中点，则下列说法错误的是( )
A. 四点共面 B. 三线共点
C. 与是异面直线 D. 与是相交直线
6.已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
7.正四棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则该棱台的体积是( )
A. B. C. D.
8.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则下列结论正确的是( )
A. 的虚部为 B. C. D. 为纯虚数
10.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图是一个半圆，则下列结论正确的是( )
A. 圆锥的侧面积为 B. 圆锥的体积为
C. 圆锥的外接球的表面积为 D. 圆锥的内切球的体积为
11.在中，角所对的边分别为，若为的垂心，且，则下列结论正确的是( )
A.
B. 的面积为
C. 边的最小值为
D. 若，则为等腰三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，若，则 ．
13.某校兴趣小组想要测量某塔的高度，在塔附近选取了相距米的与该塔的塔底在同一水平面上两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度 米．
14.在中，角所对的边分别为，且，若，，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数满足．
求复数；
若复数是关于的方程的一个根，求实数的值．
16.本小题分
已知向量．
求；
求与的夹角．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为梯形，且，且为的中点．
求证：平面；
设平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并证明．
18.本小题分
如图，在中，，与交于点．
试用表示和；
若．
求的大小；
若以为底面的直三棱柱的所有顶点均在半径为的球的球面上，求直三棱柱的体积．
19.本小题分
在中，角所对的边分别为，且．
求角的大小；
若平分交于，且，求边上的高；
若为锐角三角形，为边的中点，求中线长度的取值范围．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：因为，所以；
因为复数是关于的方程的一个根，
所以，展开得，
所以，解得．

16.解：已知向量
所以，，解得，
所以
因为，
又因为．
所以，设与的夹角为，且，
所以，得，即与的夹角为．

17.解：证明：设为的中点，连接，．
又因为为的中点，所以，，
又因为，，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面
直线与平面平行，证明如下：
因为平面，平面，平面平面，所以，
又因为平面，平面，所以平面．

18.解：因为，所以．
设，则，
则，
又，三点共线，
所以存在实数使得，即，
因为不共线，所以，解得，
所以．
因为，
所以
，
解得，又，所以；
在中，由余弦定理，
得到，解得，
所以外接圆的直径为，解得，
设直三棱柱的高为，其外接球的半径为，
则，即，解得，
又的面积为，
所以直三棱柱的体积为．

19.解：由正弦定理得
因为，
所以，
所以，
因为，所以，即
又所以
因为平分交于，所以，
又，即，
化简得．
在中，由余弦定理得，即，
所以解得
又，所以，
所以边上的高为．
因为为边的中点，所以，
所以，
由正弦定理得，所以，，
所以
因为为锐角三角形，所以，即，
所以，所以，
所以，所以，
所以中线长度的取值范围是．

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