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北京市第八十中学2025-2026学年第二学期高三下学期二模前测试一数学试题
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知集合，集合，则集合( )
A. B. C. D.
2.已知数列的前项和是，则( )
A. B. C. D.
3.已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
4.已知向量满足，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知的展开式中，第项和第项的系数相等，则( )
A. B. C. D.
6.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为 ．
A. B. C. D.
7.已知函数在上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.设，则“”是“”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.已知圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称函数为“可旋转函数”若函数为“可旋转函数”，则满足条件的整数的值有 个．
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.若复数满足，则 ．
12.已知双曲线：的焦距为，则其渐近线方程为 ；离心率为 ．
13.若一四面体各棱的棱长构成集合，则该四面体的体积可能是 只需写出一个可能的值
14.图是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，，，已知成公差为的等差数列，且直线的斜率为，则 ．
15.在平面直角坐标系中，已知集合，给出下列四个结论：
当时，则是一条直线；
当时，点到原点的距离存在最小值，不存在最大值；
当时，则所有满足的点所构成的区域面积为；
当时，已知集合，则集合；
其中所有正确的结论是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.如图，在直四棱柱中，，，，点分别为的中点，且与平面所成角为．
求证：；
求平面与平面夹角的余弦值．
17.在中，为锐角，．
求；
再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求出的周长．
条件：；条件：；条件：．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18.大气中的微生物一般不以单体存在，常附着在大气尘埃上成为一体，形成气溶胶粒子悬浮在空气中，称为带菌粒子．科研人员采用六级空气微生物采样器在甲地的三个观测点共采集到份带菌粒子，带菌粒子的粒数中值直径和采样器的采集范围记录如下：
甲地空气带菌粒子统计表
观测点 粒数中值直径
六级空气微生物采样器
级数 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ
采集范围
假设各份数据的采集互不影响，并用频率估计概率．
根据上述数据，若在甲地空气中随机采集份带菌粒子，试估计其粒数中值直径为级的概率；
在点采集的带菌粒子中随机选出份，在点采集的带菌粒子中随机选出份，记这份中粒数中值直径为级的份数为，求的分布列和数学期望；
为研究带菌粒子的生物特征，计划在点再采集份带菌粒子．记这份带菌粒子中有份的粒数中值直径为级的概率为试给出的一个值，使得为中的最大值．结论不要求证明
19.已知椭圆的离心率为，且椭圆的上顶点、右顶点和坐标原点所构成的三角形面积为．
求椭圆的方程和其短轴长；
若点在椭圆上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论．
20.已知函数的定义域为，．
求函数的单调区间；
判断曲线上是否存在两点，，使得，关于对称，并说明理由；
直线是曲线在处的切线，过点作垂直于的直线，直线，与轴交点的纵坐标分别为，，求的取值范围．
21.已知是无穷正整数数列，且对任意的，其中表示有穷集合的元素个数．
若，求的所有可能取值；
求证：数列中存在等于的项；
求证：存在，使得集合为无穷集合．
参考答案
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15.
16.解：连接，在中，由余弦定理得：
，
所以，所以，
直四棱柱中，平面，
因为平面，所以，
因为，，、平面，
所以平面，因为，所以平面，
又因为平面，所以；
连接，因为为的中点，所以有且，
所以四边形为平行四边形，所以，
直四棱柱中，平面，
所以为直线与平面所成的角，即，
因为，在直角中，可得，
因为为的中点，所以，即直四棱柱的高为，
由知，，，两两垂直，
以为原点，以，，分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，
所以，
则，
设平面的法向量为，
则
取，可得，所以，
取平面的一个法向量为，
设平面与平面所成角为，
可得，
所以平面与平面所成角的余弦值为．

17.解：在中，由正弦定理，所以，
因为，所以，
又，所以，
因为为锐角，所以．
选择条件：，
由得，所以，
由余弦定理，得，
所以舍，的周长为；
选择条件：，
由余弦定理，得，
所以，所以，所以，
的周长为；
选择条件：，
由得，
由正弦定理得：，此时三角形不存在．

18.【详解】观测点的粒数中值直径为级的有：，共份，
观测点的粒数中值直径为级的有：，共份，
观测点采集的带菌粒子中没有粒数中值直径为级的带菌粒子，
所以在甲地采集的带菌粒子中有份是粒数中值直径为级的带菌粒子，
用频率估计概率可知，
在甲地空气中随机采集份带菌粒子，其粒数中值直径为级的概率为；
观测点的粒数中值直径为级的有：，共份，
观测点的粒数中值直径为级的有：，共份，
由题意可知，可取，
，
，
，
，
所以的分布列为：
所以；
可取，理由如下：
观测点采集的带菌粒子中粒数中值直径为级有：，共份，
用频率估计概率可知，
在观测点随机采集份带菌粒子，其粒数中值直径为级的概率为，
因为，
要使得为中的最大值，则一定有
所以，所以
所以，化简可得，解得，
不妨取，此时，
所以，且，
当时，即，解得，即，
当时，即，解得，即，
由上可知，，所以是最大值，
故满足条件．

19.解：因为椭圆的离心率为，所以，解得
又因为椭圆的上顶点、右顶点和坐标原点所构成的三角形面积为．
所以，即
将代入得，所以．
所以椭圆的方程为，短轴长为
因为椭圆方程，所以设，则满足
由，得，即，
所以直线的方程：，化简得：
所以原点到直线的距离，代入和，
得
．
即原点到直线的距离为，所以直线和圆相切．

20.解：令，定义域为，求导得：，
因为恒成立，
所以当时，，单调递增；
当时，单调递减，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
若存在关于对称，则等价于方程存在两个不等于的不同实根，
构造函数，
令，求导得：，
恒成立，
时，，单调递增，
时，，单调递减，
的最大值为，且时，，
因此有两个不同零点，即方程有两个不同解，对应两个不同点．
切线斜率，切线方程为，
令得：，
与垂直，斜率，方程为，
令得：，
代入所求表达式化简，
全部消去：，
设，则原式，
对求导得，因此在单调递减，单调递增，最小值，即，，
是关于的增函数，
，
的取值范围为取值范围为．

21.因为，则中与相等的数有且仅有个，除去本身，中与相等的数有且只有个，
或．
当时，；当时，．
所以的所有可能取值为，．
假设中不存在等于的项，则．
又，所以．
当时，由，则存在，使得．
所以，与假设矛盾．
当时，由，则存在，使得，且中有且只有一项与相等．
若中有两项为，一项为，
则，与假设矛盾．
若中有两项为，一项为，
则，与假设矛盾．
若中有一项为，两项为，
则，与假设矛盾．
若中有一项为，两项为，
则，矛盾．
综上，假设不成立，所以中存在等于的项．
假设均为有限集合，
当时，，
则当时，
令，下证当时，．
否则假设，则，与矛盾．
当时，，
已知数列是无穷正整数数列，
所以存在，使得集合为无穷集合，矛盾，
假设错误，存在，使得集合为无穷集合．

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