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山东菏泽市2026届高三二模考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，且，则( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列的前项和为，，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则( )
A. B. C. D.
5.如图，在直角梯形中，，，，，以直线为轴，其余各边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为( )
A. B. C. D.
6.已知圆：，直线：，则直线被圆截得的弦长的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知甲袋中有个红球和个白球，乙袋中有个红球和个白球从甲袋中随机摸出一个球放入乙袋，再从乙袋中摸出一个球，则从乙袋中摸到红球的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知，曲线与曲线相邻的四个交点构成一个菱形，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则下列结论正确的有( )
A. 的虚部是 B. 的共轭复数是
C. 在复平面内对应的点在第一象限 D.
10.等比数列满足，公比为，其前项和为，数列满足，则下列说法正确的有( )
A. 时，为等差数列 B. 时，中任意两项的差均不为
C. 不存在，使得为常数列 D. 不存在，使得为等比数列
11.闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义设两组数据分别为和，这两组数据间的闵氏距离定义为，其中表示阶数，则下列说法正确的有( )
A. 若，，则
B. 若，，其中，则的最小值为
C. 若，，其中，则的最小值为
D. 若，，则对任意实数，都有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数满足，则 ．
13.将两个，两个，两个组成一个六位数，则两个不相邻的六位数个数为 用数值表示
14.已知椭圆，曲线，若曲线与椭圆在第一象限内有两个交点，，且直线的斜率为，则椭圆的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，它的内角，，的对边分别为，，，且，．
若，求；
若，求的面积．
16.本小题分
某国产芯片企业测试了款自研芯片的单线程运算性能得分得分越高，性能越好，芯片发布编号记为，性能得分记为，对应情况如下表：
从这个性能得分中随机抽取个，求抽取的个数据中，恰有两个数据不低于这组数据的第百分位数的概率；
若性能得分关于芯片发布编号的线性回归方程为，求该回归方程；
为评估芯片性能的“实际表现水平”，企业定义了“性能偏离度”对于第款芯片，其性能偏离度为其中为实际性能得分，为第问中回归方程的预测性能得分，并规定性能偏离度不超过的芯片为“表现稳定款”，假设第款发布的芯片为“表现稳定款”，求其实际性能得分应保持的范围．
参考公式和数据：，，，，
17.本小题分
已知是抛物线的焦点，点在上，且．
求抛物线的方程；
若过点的直线交于、两点，且，求的值．
18.本小题分
已知函数．
当时，求的单调区间；
设数列的前项和为，当时，均存在两个极值点，，且满足，证明：；
，都有，求实数的最小值．
19.本小题分
已知正方体的棱长为，与相交于点，为四边形内一动点包含边界．
若是的中点，证明：平面；
若，求与平面所成角的正弦值的最大值；
若到平面的距离为，到平面的距离为，满足，且的轨迹交平面于、两点，求的长．
参考答案
1.
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10.
11.
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13.
14.
15.解：因为，，，
所以由正弦定理得：，
因为，所以或．
所以当时，，符合题意；
所以当时，，符合题意．
在中，因为，
所以，
把，，
代入得，
又因为，
所以，，所以，
所以，
所以的面积为．

16.解：第百分位数的位置：
向上取整为第个数，即第百分位数为
不低于的数据为，，，共个，低于的数据有个
从个数据中抽个，恰有两个不低于的概率为
由题意得
，
所以回归方程为
第款芯片编号为，预测得分：
由已知性能偏离度
即，解得
所以，解得
所以第款芯片的实际性能得分应保持在区间

17.解：因为点在上，所以，，
由得，所以抛物线的方程为．
若直线的斜率不存在，此时直线与抛物线只有一个交点，不符合题意，
所以直线的斜率存在，设直线的方程，设点、，
由得，，
由韦达定理可得，，
，解得，
所以，即，
解得或，所以或，所以的值为或．

18.解：的定义域为，．
当时，．
所以的单调递增区间为，无单调递减区间．
当时，
令
则
且，
所以
即
由得，化简得
方法一：由题意得
当时，，在上单调递增，所以
所以，所以
当时，令得，且，
不妨设，则
所以当时，令得；令得
所以在上单调递增，在上单调递减．
因为，所以
所以
所以
化简得
令，所以．
令得；令得．
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以，．
因为，所以，的最小值为．
方法二：由得，化简为．
当时，．
当时，．
此时无论为何值，一定存在使得
当时，，则，
所以为保证存在满足，必须有，
所以．
令，则在上单调递增．
所以，所以．
综上所述，的最小值为．

19.解：以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系
则、、、、、、，
因为为中点，所以，
所以，，，
所以，，所以，，
又因为，，平面，所以平面．
因为，为四边形内一动点，
设，则，且，，所以，
又因为，，
设为平面的一个法向量，
则，取，则，
设与平面所成角为，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
此时，即时，等号成立，
所以当为时，与平面所成角的正弦值的最大值为．
法一：因为，，，、平面，
所以平面，
又平面，平面，所以平面平面，平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以为点到直线的距离，为点到直线的距离，
在平面内，以为原点，直线所在直线为轴建立如下图所示平面直角坐标系，
设，因为，，则，
同理可知点，则直线的方程为，直线的方程为，
所以，所以，
所以点的轨迹为焦点在轴或者轴的双曲线，
由题意可知，点为焦点在轴的双曲线交于、两点，
所以，令，所以，所以；
法二：由设，，，
由知平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，，，
所以，取，可得，
因为，所以，，
所以，所以，
由题意令，，解得或舍，
所以．

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