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题型突破01 不等式与一元一次不等式（9大题型）
题型一．不等式的定义
1．（2026春 虹口区期中）下列各式中，是不等式的是（　　）
A．x＝1 B．x+2 C．x﹣y＝3 D．4x+5＞0
2．（2026春 金水区校级月考）下列表达式中是不等式的有（　　）个．
①﹣2＜0；②2x+3y＜0；③x＝1；④x2+3x﹣1；⑤x+2y＝4；⑥x+3＜y﹣3．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2026春 宽城区校级期中）据气象台预报，2026年4月22日，长春市最高气温为21℃，最低气温为6°，则当天气温t（℃）的变化范围是（　　）
A．t＞6 B．t≤21 C．6≤t≤21 D．6＜t＜21
4．（2026春 闵行区校级月考）“x的3倍与2的差不大于﹣1”所对应的不等式是 　 　 ．
5．（2026春 鲤城区校级期中）如图，x　 　 50（填“＞”或“＜”）．
6．（2026春 杨浦区校级期中）谷雨，春雨渐多，气温回升，寒潮褪去，空气湿润，降雨频繁，正是雨生百谷的时节．今年谷雨这一天上海市的最高气温是26℃，最低气温是16℃，则当天我市气温t（℃）满足的不等关系为　 　 ．
题型二．不等式的性质
7．（2026春 西城区校级期中）已知a＜b，则下列式子中不正确的是（　　）
A．a﹣2＜b﹣2 B．a+3＜b+3 C．2a＜2b D．﹣3a＜﹣3b
8．（2025秋 上城区校级期末）若a＞b，则下列式子不一定成立的是（　　）
A．a+4＞b+4 B．2a＞2b
C．ac2＞bc2 D．
9．（2026春 延庆区期中）以下各题的结论正确的是（　　）
①如果a＞b，那么；
②如果a＞b，c＝d，那么ac＞bd；
③如果ac2＞bc2，那么a＞b；
④如果ab＞0，那么．
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
10．（2026 贵池区一模）已知实数a，b，c．满足a+b+c＜1，，，则下列判断错误的是（　　）
A．a＝3b B． C．2a+3c＝0 D．
题型三．不等式的解集
11．（2026春 鲤城区校级期中）x＝3是下列哪个不等式的解（　　）
A．x+2＞4 B．x2﹣3＞6 C．2x﹣1＜3 D．3x+2＜10
12．（2026春 闵行区校级月考）已知某个不等式的解集是x＜﹣2，下列说法正确的是（　　）
A．0是这个不等式的解
B．﹣3不是这个不等式的解
C．小于﹣3的数都是这个不等式的解
D．小于﹣1的数都是这个不等式的解
13．（2026春 闵行区校级月考）x＝2　 　 不等式2x﹣9＜3的一个解．（填“是”或“不是”）
题型四．在数轴上表示不等式的解集
14．（2026春 东城区校级期中）不等式x＜﹣1的解集在数轴上可以表示为（　　）
A． B．
C． D．
15．（2026春 西城区校级期中）如图，数轴上表示的不等式的解集是（　　）
A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1
16．（2025秋 永康市期末）已知天平右盘中每个砝码的质量均为5g，则物体M的质量x（单位：g）的取值范围在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
17．（2026春 昌平区期中）下列各式中，与数轴上表示的解集对应的是 　 　 （填写序号即可）．
①x≥﹣3或x＜2；②2＜x≤﹣3；③﹣3≤x＜2．
题型五．一元一次不等式的定义
18．（2026春 奉贤区期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　）
A．x+y＞﹣7 B． C． D．x2﹣5＞2
19．（2026春 香坊区校级同步）下列不等式中，一元一次不等式有（　　）
①x2+3＞2x ②3＞0 ③x﹣3＞2y ④5π ⑤3y＞﹣3．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．（2026春 杨浦区校级期中）若（a+2）x|a|﹣1＞1是关于x的一元一次不等式，则a＝　 　 ．
题型六．解一元一次不等式
21．（2026 河源一模）不等式x+3＞0的解集是（　　）
A．x＞3 B．x＞﹣3 C．x＜3 D．x＜﹣3
22．（2026春 莱芜区期中）把不等式x+3＜2x+1的解集在数轴上表示出来，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
23．（2026春 包河区校级期中）关于x的不等式x﹣m≥﹣3的解集如图所示，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．5 C．3 D．4
24．（2026春 未央区校级期中）若关于x的不等式2（x﹣a）＜a+6的解集与不等式2x﹣4＜0的解集相同，则a的值为（　　）
A． B． C． D．
25．（2026 长安区一模）如图是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话中提供的信息，判断他们讨论的不等式可能是（　　）
A．2x＞﹣4 B．﹣2x＞4 C．﹣2x≥4 D．2x≥﹣4
26．（2026春 宜阳县期中）若关于x的不等式ax﹣2＞3x+1的解集为x＜﹣2，则a的值为（　　）
A． B． C． D．
27．（2026春 淮安区校级期中）已知关于x的不等式（1﹣a）x＞a﹣1的解集为x＞﹣1，则a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B．a＞1 C．a＜0 D．a＜1
28．（2026春 鼓楼区校级期中）若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是，则关于x的不等式（m+n）x＜n﹣m的解集（　　）
A． B． C． D．
29．（2026春 昌平区期中）如图的框图表示解不等式3﹣5x＞4﹣2x的流程，其中“系数化为1”的结果是　 　 ，这一步骤的依据是　 　 ．
30．（2026春 鼓楼区校级期中）如果方程组的解满足x+y＞1，则m的取值范围是　 　 ．
31．（2026 封开县一模）下面是小王同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：3（3x﹣1）＞2（x﹣2）﹣3…第一步
9x﹣3＞4x﹣4﹣3…第二步
9x﹣4x＞﹣4﹣3﹣3…第三步
5x＞﹣10…第四步
x＞﹣2…第五步
任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据　 　 （运算律）进行变形的；
②第　 　 步开始出现错误，这一步错误的原因是　 　 ；
任务二；请写出求该不等式解集的正确计算过程．
32．（2026春 集美区校级期中）解不等式：
（1）3x+4＞﹣x；
（2）．
33．（2026春 建邺区校级期中）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
34．（2026春 重庆期中）已知关于x，y的方程组的解满足以下条件：
（1）若x+y＝2，求m的值．
（2）若y为负数，求m的取值范围．
35．（2026春 梅县区期中）我们把符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如2×5﹣3×4＝﹣2．
（1）求不等式的解集；
（2）若关于x的不等式0的解集与（1）中的不等式解集相同，求m的值．
题型七．一元一次不等式的整数解
36．（2026春 武侯区校级期中）不等式的非负整数解有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
37．（2026春 未央区校级期中）不等式6﹣4x≥3x﹣8的非负整数解的和为（　　）
A．2 B．3 C．0 D．1
38．（2026春 西城区校级期中）一元一次不等式x≤a的解集有且只有两个非负整数，则a的取值范围是（　　）
A．2≤a＜3 B．1＜a≤2 C．1≤a＜2 D．0≤a≤1
39．（2026 龙华区二模）写出不等式的x﹣3＞0的一个整数解 　 　 ．（写出一个即可）
40．（2026春 黔江区期中）不等式3x+2≤9的最大整数解是　 　 ．
41．（2026春 普陀区期中）如果关于x不等式x﹣3≤m的正整数解有4个，那么m的取值范围是　 　 ．
42．（2026春 嵩县期中）若关于x的不等式x+a≥0有且仅有1个负整数解，则实数a的取值范围是　 　 ．
43．（2026春 杨浦区校级月考）若关于x的不等式2x﹣3a+2≥0的最小整数解为﹣5，则a的取值范围是　 　 ．
44．（2026春 徐汇区校级期中）对于任意实数a，b，定义一种运算：a※b＝ab﹣a+b．例如，2※5＝2×5﹣2+5＝13．请根据上述的定义解决问题：若有不等式3※x＜5，则这个不等式的正整数解是　 　 ．
45．（2026春 鼓楼区校级期中）解不等式3（2x+5）＞2（4x+3），并写出它的非负整数解．
46．（2026春 上海校级月考）求一元一次不等式的最小正整数解．
47．（2026春 嘉定区期中）若不等式3（2x﹣3）＞5x﹣1的最小整数解是关于x的方程﹣x+a＝2（x﹣3）的解，求a的值．
48．（2026春 安徽月考）在实数范围内定义一种新运算“★”，其运算规则为．例如：．
（1）解不等式：x★6＞3；
（2）求不等式x★2＜（﹣2）★（x+4）的最大整数解．
49．（2026春 新安县期中）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足2y﹣x＜0．
（1）求该方程组的解；（用含a的式子表示）
（2）求a的取值范围；
（3）若关于x的不等式2ax﹣6x＞a﹣3的解集为，且a为整数，求a的值．
50．（2026春 海淀区校级期中）对实数x，y，我们定义一种新运算：F（x，y）＝ax+by（其中a，b常数）．已知F（1，1）＝3，F（1，﹣1）＝1，请解决以下问题．
（1）a＝　 　 ，b＝　 　 ；
（2）若关于x，y的方程组的解满足x+y＞0，且m为正整数，求m的值；
（3）若关于x的不等式F（﹣3x，4）≥2n恰好有3个正整数解，请直接写出n的取值范围．
题型八．由实际问题抽象出一元一次不等式
51．（2026春 合肥期中）一个数x的与4的差不大于这个数的2倍加上5所得的和”可列不等式为（　　）
A． B．
C． D．
52．（2026春 成华区校级期中）树德实验中学组织八年级学生前往距学校2.5千米的研学基地．已知他们步行的平均速度为70米/分钟，跑步的平均速度为200米/分钟．若要在不超过40分钟的时间内到达，那么至少需要跑步多少分钟？设需要跑步的时间为x分钟，则列出的不等式为（　　）
A．200x+70（40﹣x）＞2.5 B．200x+70（40﹣x）≥2500
C．200x﹣70（40﹣x）＜2.5 D．200x﹣70（40﹣x）≤2500
53．（2026 浙江一模）2026年，宇树科技人形机器人再登央视春晚舞台．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能知识竞答活动，一共20道题，每一题答对得5分，答错或不答扣3分．设答对了x道题，若得分不低于80分，可列出关于x的不等式是（　　）
A．5x﹣3（20﹣x）≤80 B．5x﹣3（20﹣x）≥80
C．5x﹣3（20﹣x）＜80 D．5x﹣3（20﹣x）＞80
题型九．一元一次不等式的应用
54．（2026春 思明区校级期中）在Monica的厨房里，橱柜里两个层板之间的间距是36厘米．已知8个相同的杯子摞在一起有42厘米高，2个同样的杯子摞在一起有18厘米高．问在一个层板上最多可以摞着放几个这样的杯子？（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
55．（2026春 奉贤区期中）某次数学竞赛共有20道题，评分标准是：答对一题得5分，答错或不答一题倒扣1分；某同学想要超过60分，他至少要答对　 　 道题．
56．（2026 福州模拟）某学校计划开展科技创新活动，计划采购A，B两款机器人共6台，付款总额不超过15万元，A，B两款机器人的售价分别为1万元/台和3万元/台，求该学校最多能采购B型机器人的台数．
57．（2026 山西模拟）晋剧的文化魅力不仅体现在剧情上，演员的服饰也备受大家喜爱．近期，以晋剧戏盔“状元帽”为原型的文创产品发热桌垫、立体拼图十分畅销．学校计划用不超过6000元的经费购买这两种文创产品共80件作为奖品，奖励在“晋剧进校园”活动中表现优秀的同学．已知两种文创产品的价格如图所示．
（1）学校最多可购买立体拼图多少件？
（2）商家对这两种产品的促销方案如下：
每购买10件发热桌垫或5件立体拼图，送一个晋剧冰箱贴．
当学校购买立体拼图的数量最多时，共可获得　 　 个晋剧冰箱贴．
58．（2026 成都模拟）为丰富校园社团文化生活，提升物理社团实践探究能力，某校为社团活动与实验室建设升级采购器材，计划购进甲、乙两种型号的滑动变阻器．已知购买甲种20个、乙种30个共需2000元，且乙种滑动变阻器的单价比甲种贵10元．
（1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价各是多少元；
（2）该校物理社团计划再次采购这两种滑动变阻器共100个，若总费用不超过4200元，此次至少需购买多少个甲种滑动变阻器？
59．（2026春 庐阳区校级期中）黄山毛峰是我国十大名茶之一，它是由采摘的良种茶树的鲜叶在经历杀青、揉捻、烘焙等环节制作而成，已知生产1千克一级毛峰需要鲜叶5.5千克，生产1千克二级毛峰需要鲜叶5千克．
（1）某一天生产一级、二级毛峰共20千克，所使用的鲜叶不超过105千克，则生产的一级毛峰至多为多少千克？
（2）市场上一级毛峰售价每千克600元，二级毛峰售价每千克500元，经市场调研后，现对一级毛峰销售单价降5%，二级毛峰销售单价涨10%，若这次售出两种毛峰共100千克，总售价不低于56000元，则至少售出一级毛峰多少千克？
60．（2026春 包河区校级期中）随着新能源汽车的销售越来越多，小区新能源汽车充电也越来越困难，某小区为了解决业主新能源汽车充电难的问题，准备在小区内修建10个充电桩，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要1万元；新建3个地上充电桩和1个地下充电桩也需要1万元．
（1）该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少钱？
（2）若该小区计划用不超过2.4万元的资金新建充电桩，问共有几种建造方案？并列出所有方案．
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题型突破01 不等式与一元一次不等式（9大题型）
题型一．不等式的定义
1．（2026春 虹口区期中）下列各式中，是不等式的是（　　）
A．x＝1 B．x+2 C．x﹣y＝3 D．4x+5＞0
【答案】D
【分析】根据不等式是用不等号（＞，＜，≥，≤，≠）连接，表示不等关系的式子判断即可．
【解答】解：根据不等式是用不等号（＞，＜，≥，≤，≠）连接，表示不等关系的式子判断如下：
A、x＝1是等式，不符合不等式定义，故此选项错误；
B、x+2是代数式，不表示不等关系，故此选项错误；
C、x﹣y＝3是等式，不符合不等式定义，故此选项错误；
D、4x+5＞0是用不等号连接的表示不等关系的式子，符合不等式的定义，故此选项正确．
故选：D．
2．（2026春 金水区校级月考）下列表达式中是不等式的有（　　）个．
①﹣2＜0；②2x+3y＜0；③x＝1；④x2+3x﹣1；⑤x+2y＝4；⑥x+3＜y﹣3．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据不等式的定义解答即可．
【解答】解：①﹣2＜0 用不等号连接，是不等式，符合题意；
②2x+3y＜0 用不等号连接，是不等式，符合题意；
③x＝1 用等号连接，是等式，不是不等式，不符合题意；
④x2+3x﹣1是代数式，没有不等号连接，不是不等式，不符合题意；
⑤x+2y＝4用等号连接，是等式，不是不等式，不符合题意；
⑥x+3＜y﹣3用不等号连接，是不等式，符合题意；
∴符合不等式定义的共有3个．
故选：C．
3．（2026春 宽城区校级期中）据气象台预报，2026年4月22日，长春市最高气温为21℃，最低气温为6°，则当天气温t（℃）的变化范围是（　　）
A．t＞6 B．t≤21 C．6≤t≤21 D．6＜t＜21
【答案】C
【分析】根据最高气温为21℃，最低气温为6℃得出t的取值范围即可．
【解答】解：根据题意得6≤t≤21，
故选：C．
4．（2026春 闵行区校级月考）“x的3倍与2的差不大于﹣1”所对应的不等式是 　3x﹣2≤﹣1　 ．
【答案】3x﹣2≤﹣1
【分析】根据不等式的定义即可解答．
【解答】解：“x的3倍与2的差不大于﹣1”所对应的不等式是：3x﹣2≤﹣1，
故答案为：3x﹣2≤﹣1．
5．（2026春 鲤城区校级期中）如图，x　＞　 50（填“＞”或“＜”）．
【答案】＞．
【分析】根据不等式的定义即可得出答案．
【解答】解：由天平可得x＞50，
故答案为：＞．
6．（2026春 杨浦区校级期中）谷雨，春雨渐多，气温回升，寒潮褪去，空气湿润，降雨频繁，正是雨生百谷的时节．今年谷雨这一天上海市的最高气温是26℃，最低气温是16℃，则当天我市气温t（℃）满足的不等关系为　16≤t≤26　 ．
【答案】16≤t≤26．
【分析】直接根据题意表示出t的取值范围即可．
【解答】解：由题意可得，当天我市气温t（℃）满足的不等关系为：16≤t≤26．
故答案为：16≤t≤26．
题型二．不等式的性质
7．（2026春 西城区校级期中）已知a＜b，则下列式子中不正确的是（　　）
A．a﹣2＜b﹣2 B．a+3＜b+3 C．2a＜2b D．﹣3a＜﹣3b
【答案】D
【分析】根据不等式的性质判断即可．
【解答】解：根据不等式的三个基本性质逐项分析判断如下：
A、由条件可知a﹣2＜b﹣2，正确，故本选项不符合题意；
B、由条件可知a+3＜b+3，正确，故本选项不符合题意；
C、由条件可知2a＜2b，正确，故本选项不符合题意；
D、∵a＜b，
∴﹣3a＞﹣3b，错误，故本选项符合题意；
故选：D．
8．（2025秋 上城区校级期末）若a＞b，则下列式子不一定成立的是（　　）
A．a+4＞b+4 B．2a＞2b
C．ac2＞bc2 D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵a＞b，
∴a+4＞b+4，故本选项不符合题意；
B．∵a＞b，
∴2a＞2b，故本选项不符合题意；
C．当c＝0时，ac2＝bc2，故本选项符合题意；
D．∵a＞b，c2+1≠0，
∴，故本选项不符合题意．
故选：C．
9．（2026春 延庆区期中）以下各题的结论正确的是（　　）
①如果a＞b，那么；
②如果a＞b，c＝d，那么ac＞bd；
③如果ac2＞bc2，那么a＞b；
④如果ab＞0，那么．
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】D
【分析】利用不等式的性质进行判断即可．
【解答】解：如果a＞b，当a＝1，b＝﹣1时，，则①错误，
如果a＞b，c＝d＝0时，那么ac＝bd，则②错误，
如果ac2＞bc2，那么a＞b，则③正确，
如果ab＞0，那么a，b同为正数，因此，则④正确，
综上，结论正确的是③④，
故选：D．
10．（2026 贵池区一模）已知实数a，b，c．满足a+b+c＜1，，，则下列判断错误的是（　　）
A．a＝3b B． C．2a+3c＝0 D．
【答案】B
【分析】本题可先根据已知条件得出a、c关于b的表达式，再逐一分析选项．
【解答】解：对a，c，
∴可得a﹣b+c＝0①，a+b+2c＝0②，
∴①+②得2a+3c＝0，
∴C选项正确；
由①得a＝b﹣c，由②得c，
∴a＝b
∴a＝3b，
∴A选项正确；
∵a+b+c＜1，
把ca，a＝3b代入a+b+c＜1中，
3b+b3b＜1，
∴解得b，
∴D选项正确，
∵b，a＝3b，可得a，
∴B选项错误．
故选：B．
题型三．不等式的解集
11．（2026春 鲤城区校级期中）x＝3是下列哪个不等式的解（　　）
A．x+2＞4 B．x2﹣3＞6 C．2x﹣1＜3 D．3x+2＜10
【答案】A
【分析】先根据不等式的性质求出每个不等式的解集，再判断即可．
【解答】解：A、∵x+2＞4，
∴x＞2，
∴x＝3是不等式的解，故本选项正确；
B、∵x2﹣3＞6，
∴x2＞9，
∴x＞3或x＜﹣3
∴x＝3不是不等式的解，故本选项错误；
C、∵2x﹣1＜3，
∴x＜1，
∴x＝3不是不等式的解，故本选项错误；
D、∵3x+2＜10，
∴x，
∴x＝3不是不等式的解，故本选项错误；
故选：A．
12．（2026春 闵行区校级月考）已知某个不等式的解集是x＜﹣2，下列说法正确的是（　　）
A．0是这个不等式的解
B．﹣3不是这个不等式的解
C．小于﹣3的数都是这个不等式的解
D．小于﹣1的数都是这个不等式的解
【答案】C
【分析】根据不等式的解集的意义解答即可．
【解答】解：不等式的解集是x＜﹣2，
则0不是这个不等式的解，故选项A不符合题意；
﹣3是这个不等式的解，故选项B不符合题意；
小于﹣3的数都是这个不等式的解，故选项C符合题意；
小于﹣1的数不一定是这个不等式的解，如﹣1.5不是这个不等式的解，故选项D不符合题意．
故选：C．
13．（2026春 闵行区校级月考）x＝2　是　 不等式2x﹣9＜3的一个解．（填“是”或“不是”）
【答案】是．
【分析】按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，判断出x＝2是不是不等式2x﹣9＜3的一个解即可．
【解答】解：移项，可得：2x＜3+9，
合并同类项，可得：2x＜12，
系数化为1，可得：x＜6，
∴x＝2是不等式2x﹣9＜3的一个解．
故答案为：是．
题型四．在数轴上表示不等式的解集
14．（2026春 东城区校级期中）不等式x＜﹣1的解集在数轴上可以表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】小于号向左拐，空心圆圈表示不包括这个点，由此判断即可．
【解答】解：不等式x＜﹣1的解集在数轴上可以表示为
，
故选：D．
15．（2026春 西城区校级期中）如图，数轴上表示的不等式的解集是（　　）
A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1
【答案】A
【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法进行解答即可．
【解答】解：数轴上表示的不等式的解集是x＞1．
故选：A．
16．（2025秋 永康市期末）已知天平右盘中每个砝码的质量均为5g，则物体M的质量x（单位：g）的取值范围在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得：5＜x＜15，即可解答．
【解答】解：由题意得：5＜x＜15，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：D．
17．（2026春 昌平区期中）下列各式中，与数轴上表示的解集对应的是 　③　 （填写序号即可）．
①x≥﹣3或x＜2；②2＜x≤﹣3；③﹣3≤x＜2．
【答案】③．
【分析】利用不等式组取解集的方法判断即可．
【解答】解：由数轴上表示的解集，可知对应的是﹣3≤x＜2．
故答案为：③．
题型五．一元一次不等式的定义
18．（2026春 奉贤区期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　）
A．x+y＞﹣7 B． C． D．x2﹣5＞2
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式的定义判断即可．
【解答】解：A、含有两个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；
B、分母中含有x，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；
C、是一元一次不等式，故此选项符合题意；
D、未知数的次数是2次，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；
故选：C．
19．（2026春 香坊区校级同步）下列不等式中，一元一次不等式有（　　）
①x2+3＞2x ②3＞0 ③x﹣3＞2y ④5π ⑤3y＞﹣3．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式的定义“不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1”，进行解答即可．
【解答】解：①存在二次项，不符合题意；
②未知数在分母上，不符合题意；
③有两个未知数，所以都不是一元一次不等式，不符合题意；
④⑤是一元一次不等式．
①②③不符合，④中分母上的π是常数，所以④⑤符合一元一次不等式的定义．
故选：B．
20．（2026春 杨浦区校级期中）若（a+2）x|a|﹣1＞1是关于x的一元一次不等式，则a＝　2　 ．
【答案】2．
【分析】根据一元一次不等式的定义可得：|a|﹣1＝1，且a+2≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：|a|﹣1＝1，且a+2≠0，
解得：a＝2．
故答案为：2．
题型六．解一元一次不等式
21．（2026 河源一模）不等式x+3＞0的解集是（　　）
A．x＞3 B．x＞﹣3 C．x＜3 D．x＜﹣3
【答案】B
【分析】根据解一元一次不等式的解法移项即可求解．
【解答】解：根据解一元一次不等式的解法可知：
x+3＞0，
移项得 x＞﹣3．
故选：B．
22．（2026春 莱芜区期中）把不等式x+3＜2x+1的解集在数轴上表示出来，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解：x+3＜2x+1，
x﹣2x＜1﹣3，
﹣x＜﹣2，
x＞2，
∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
故选：C．
23．（2026春 包河区校级期中）关于x的不等式x﹣m≥﹣3的解集如图所示，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．5 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先用m表示出不等式的解集，再结合所给数轴得出关于m的等式，据此进行求解即可．
【解答】解：由x﹣m≥﹣3得，
x≥m﹣3．
由数轴可知，
不等式的解集为x≥2，
所以m﹣3＝2，
解得m＝5．
故选：B．
24．（2026春 未央区校级期中）若关于x的不等式2（x﹣a）＜a+6的解集与不等式2x﹣4＜0的解集相同，则a的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求解出两个不等式的解集，再根据两个解集相同列出关于a的方程，即可求解．
【解答】解：若关于x的不等式2（x﹣a）＜a+6的解集与不等式2x﹣4＜0的解集相同
解不等式2x﹣4＜0得，x＜2，
解不等式2（x﹣a）＜a+6得，，
∴，
解得．
故选：C．
25．（2026 长安区一模）如图是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话中提供的信息，判断他们讨论的不等式可能是（　　）
A．2x＞﹣4 B．﹣2x＞4 C．﹣2x≥4 D．2x≥﹣4
【答案】C
【分析】分别解每个选项中的不等式，根据题干中不等式的解集进行判断即可．
【解答】解：A、解2x＞﹣4得x＞﹣2，故此选项不符合题意；
B、解﹣2x＞4得x＜﹣2，故此选项不符合题意；
C、解﹣2x≥4得x≤﹣2，故此选项符合题意；
D、解2x≥﹣4得x≥﹣2，故此选项不符合题意；
故选：C．
26．（2026春 宜阳县期中）若关于x的不等式ax﹣2＞3x+1的解集为x＜﹣2，则a的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解含a的一元一次不等式，然后根据题意列得关于a的方程，解方程即可．
【解答】解：ax﹣2＞3x+1，
整理得：（a﹣3）x＞3，
∵关于x的不等式ax﹣2＞3x+1的解集为x＜﹣2，
∴a﹣3，
解得：a，
故选：A．
27．（2026春 淮安区校级期中）已知关于x的不等式（1﹣a）x＞a﹣1的解集为x＞﹣1，则a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B．a＞1 C．a＜0 D．a＜1
【答案】D
【分析】根据题意可得：1﹣a＞0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：∵关于x的不等式（1﹣a）x＞a﹣1的解集为x＞﹣1，
∴1﹣a＞0，
解得：a＜1，
故选：D．
28．（2026春 鼓楼区校级期中）若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是，则关于x的不等式（m+n）x＜n﹣m的解集（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质，按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解：mx﹣n＞0，
mx＞n，
∵不等式mx﹣n＞0的解集是，
∴x，
∴m＜0，，
∴m＝4n，
∴4n＜0，
∴n＜0，
∵（m+n）x＜n﹣m，
∴5nx＜﹣3n，
∴x，
故选：B．
29．（2026春 昌平区期中）如图的框图表示解不等式3﹣5x＞4﹣2x的流程，其中“系数化为1”的结果是　　 ，这一步骤的依据是　不等式性质3：不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变　 ．
【答案】，不等式性质3：不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变．
【分析】按照解一元一次不等式的一般步骤解不等式，再根据不等式的基本性质进行解答即可．
【解答】解：3﹣5x＞4﹣2x，
﹣5x+2x＞4﹣3，
﹣3x＞1，
，
∴“系数化为1”的结果是，这一步的依据是不等式性质3：不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变，
故答案为：，不等式性质3：不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变．
30．（2026春 鼓楼区校级期中）如果方程组的解满足x+y＞1，则m的取值范围是m＞1　 ．
【答案】m＞1．
【分析】由方程组可得出，结合x+y＞1，可得，解出m的取值范围即可．
【解答】解：，
①+②得，
若x+y＞1，
可得，
解得m＞1．
故答案为：m＞1．
31．（2026 封开县一模）下面是小王同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：3（3x﹣1）＞2（x﹣2）﹣3…第一步
9x﹣3＞4x﹣4﹣3…第二步
9x﹣4x＞﹣4﹣3﹣3…第三步
5x＞﹣10…第四步
x＞﹣2…第五步
任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据　乘法分配律　 （运算律）进行变形的；
②第　二　 步开始出现错误，这一步错误的原因是　不等号右边去括号时x前面的系数多乘了2　 ；
任务二；请写出求该不等式解集的正确计算过程．
【答案】任务一：①乘法分配律；②二；不等号右边去括号时x前面的系数多乘了2；
任务二：x．
【分析】任务一：①根据题意可得，第二步依据是乘法分配律；②第二步中，不等号右边去括号时x前面的系数多乘了2；
任务二：按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可得到答案．
【解答】解：任务一：①由题意得，第二步是依据乘法分配律进行变形的；
故答案为：乘法分配律；
②第二步开始出现错误，错误原因是不等号右边去括号时x前面的系数多乘了2；
故答案为：二，不等号右边去括号时x前面的系数多乘了2；
任务二：原不等式整理得：
3（3x﹣1）＞2（x﹣2）﹣3，
9x﹣3＞2x﹣4﹣3，
9x﹣2x＞﹣4﹣3+3，
7x＞﹣4，
x．
32．（2026春 集美区校级期中）解不等式：
（1）3x+4＞﹣x；
（2）．
【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤进行求解即可；
（2）根据解一元一次不等式的步骤进行求解即可．
【解答】解：（1）3x+4＞﹣x，
3x+x＞﹣4，
4x＞﹣4，
x＞﹣1；
（2），
﹣4x+2﹣3＞0，
﹣4x＞﹣2+3，
﹣4x＞1，
x．
33．（2026春 建邺区校级期中）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】这是一道含分母的一元一次不等式题，需先去分母，再按移项、合并同类项、系数化为 1 的步骤求解，最后在数轴上表示解集．
【解答】解：解不等式：
1，
去分母得，2（x﹣1）﹣（3x+1）＞﹣4，
去括号得，2x﹣2﹣3x﹣1＞﹣4，
移项、合并同类项，﹣x＞﹣1，
系数化为1，x＜1．
把解集在数轴上表示如图所示：
．
34．（2026春 重庆期中）已知关于x，y的方程组的解满足以下条件：
（1）若x+y＝2，求m的值．
（2）若y为负数，求m的取值范围．
【分析】（1）将方程组的两个方程相加，整理得到x+y关于m的表达式，代入x+y＝2即可求出m的值；
（2）用加减消元法求出y关于m的表达式，根据y为负数列出不等式，解不等式得到m的取值范围．
【解答】解：（1），
①+②得，2x+2y＝8+2m，
∴x+y＝4+m
∵x+y＝2
∴4+m＝2
解得m＝﹣2；
（2），
①﹣②得：4y＝6﹣4m，
∴，
∵y为负数，
∴，
解得．
35．（2026春 梅县区期中）我们把符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如2×5﹣3×4＝﹣2．
（1）求不等式的解集；
（2）若关于x的不等式0的解集与（1）中的不等式解集相同，求m的值．
【分析】（1）按照定义的新运算可得2x﹣（3﹣x）＞0，然后进行计算，即可解答；
（2）按照定义的新运算可得3m﹣4x＜0，然后进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）∵，
∴2x﹣（3﹣x）＞0，
解得：x＞1；
（2）∵0，
∴3m﹣4x＜0，
解得：xm，
∵关于x的不等式0的解集与（1）中的不等式解集相同，
∴m＝1，
解得：m．
题型七．一元一次不等式的整数解
36．（2026春 武侯区校级期中）不等式的非负整数解有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题先求解一元一次不等式得到解集，再根据非负整数的定义找出解集中所有符合条件的数，统计个数即可求解．
【解答】解：由题意，∵，
∴，
∴满足题意的非负整数解有：0，1，2，3，共4个．
故选：C．
37．（2026春 未央区校级期中）不等式6﹣4x≥3x﹣8的非负整数解的和为（　　）
A．2 B．3 C．0 D．1
【答案】B
【分析】先求解一元一次不等式得到x的取值范围，再找出范围内的非负整数，计算它们的和即可得到结果．
【解答】解：6﹣4x≥3x﹣8，
﹣4x﹣3x≥﹣8﹣6，
﹣7x≥﹣14，
x≤2，
∴不等式的非负整数解为 0，1，2，其和为0+1+2＝3，
故选：B．
38．（2026春 西城区校级期中）一元一次不等式x≤a的解集有且只有两个非负整数，则a的取值范围是（　　）
A．2≤a＜3 B．1＜a≤2 C．1≤a＜2 D．0≤a≤1
【答案】C
【分析】先明确非负整数的定义，再根据不等式x≤a有且只有两个非负整数，确定符合条件的非负整数，进而推导a的取值范围．
【解答】解：根据题意符合条件的两个非负整数只能是0和1，
∵解集需要包含0和1，且不能包含下一个非负整数2，
∴可得1≤a＜2．
故选：C．
39．（2026 龙华区二模）写出不等式的x﹣3＞0的一个整数解 x＝4（答案不唯一）　 ．（写出一个即可）
【答案】x＝4（答案不唯一）．
【分析】先求得不等式的解集，再写出一个整数解即可．
【解答】解：不等式的x﹣3＞0的解集为x＞3，
则不等式的x﹣3＞0的一个整数解为x＝4，
故答案为：x＝4（答案不唯一）．
40．（2026春 黔江区期中）不等式3x+2≤9的最大整数解是　2　 ．
【答案】2．
【分析】按照解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再确定最大整数解即可．
【解答】解：3x+2≤9，
3x≤9﹣2，
3x≤7，
，
∴原不等式的最大整数解是2．
故答案为：2．
41．（2026春 普陀区期中）如果关于x不等式x﹣3≤m的正整数解有4个，那么m的取值范围是　1≤m＜2　 ．
【答案】1≤m＜2．
【分析】先解出不等式，再根据正整数解得到答案即可．
【解答】解：x﹣3≤m，
∴x≤m+3，
由关于x的不等式x﹣3≤m的正整数解有4个，
∴正整数解是1、2、3、4，
∴4≤m+3＜5，
∴m的取值范围是1≤m＜2．
故答案为：1≤m＜2．
42．（2026春 嵩县期中）若关于x的不等式x+a≥0有且仅有1个负整数解，则实数a的取值范围是　1≤a＜2　 ．
【答案】1≤a＜2．
【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解：x+a≥0，
解得：x≥﹣a，
∵关于x的不等式x+a≥0有且仅有1个负整数解，
∴﹣2＜﹣a≤﹣1，
即1≤a＜2，
故答案为：1≤a＜2．
43．（2026春 杨浦区校级月考）若关于x的不等式2x﹣3a+2≥0的最小整数解为﹣5，则a的取值范围是　　 ．
【答案】．
【分析】根据不等式的基本性质，先将a看作常数解关于x的不等式，得，根据最小整数解为﹣5，得，解出a即可．
【解答】解：2x﹣3a+2≥0，
2x≥3a﹣2，
解得，
∵不等式的最小整数解为﹣5，
∴，
解得．
故答案为：．
44．（2026春 徐汇区校级期中）对于任意实数a，b，定义一种运算：a※b＝ab﹣a+b．例如，2※5＝2×5﹣2+5＝13．请根据上述的定义解决问题：若有不等式3※x＜5，则这个不等式的正整数解是x＝1　 ．
【答案】x＝1．
【分析】根据新定义可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的正整数即可得出结论．
【解答】解：∵3※x＝3x﹣3+x＜5，
∴x＜2，
∵x为正整数，
∴x＝1．
故答案为：x＝1．
45．（2026春 鼓楼区校级期中）解不等式3（2x+5）＞2（4x+3），并写出它的非负整数解．
【答案】x＜4.5，不等式的非负整数解为0，1，2，3，4．
【分析】根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集，并按要求写出非负整数解即可．
【解答】解：由题知，
3（2x+5）＞2（4x+3），
6x+15＞8x+6，
6x﹣8x＞6﹣15，
﹣2x＞﹣9，
x＜4.5，
则不等式的非负整数解为0，1，2，3，4．
46．（2026春 上海校级月考）求一元一次不等式的最小正整数解．
【答案】1．
【分析】按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，即可得到答案．
【解答】解：去分母得：2x﹣1﹣6x≤﹣2，
移项得：2x﹣6x≤﹣2+1，
合并同类项得：﹣4x≤﹣1，
系数化为1得：，
∴最小正整数解为：1．
47．（2026春 嘉定区期中）若不等式3（2x﹣3）＞5x﹣1的最小整数解是关于x的方程﹣x+a＝2（x﹣3）的解，求a的值．
【答案】21．
【分析】先求出不等式的解集，找到它的最小整数解，再将这个解代入方程中计算出的值．
【解答】解：解不等式3（2x﹣3）＞5x﹣1，
去括号：6x﹣9＞5x﹣1，
移项：6x﹣5x＞﹣1+9，
合并同类项：x＞8，
∴不等式的最小整数解时x＝9，
把x＝9代入方程﹣x+a＝2（x﹣3），
﹣9+a＝2（9﹣3），
化简：﹣9+a＝12，
解得：a＝21．
48．（2026春 安徽月考）在实数范围内定义一种新运算“★”，其运算规则为．例如：．
（1）解不等式：x★6＞3；
（2）求不等式x★2＜（﹣2）★（x+4）的最大整数解．
【分析】（1）根据新定义进行列出不等式进行解答便可；
（2）根据新定义列出不等式进行解答便可．
【解答】解：（1）由条件可得，
去括号得，
移项、合并同类项得，
x系数化成1得x＞24．
（2）化简不等式左边得，
化简不等式右边得，
所以，
解得x＜﹣2，
所以该不等式的最大整数解为﹣3．
49．（2026春 新安县期中）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足2y﹣x＜0．
（1）求该方程组的解；（用含a的式子表示）
（2）求a的取值范围；
（3）若关于x的不等式2ax﹣6x＞a﹣3的解集为，且a为整数，求a的值．
【分析】（1）解方程组即可得出方程组的解，
（2）根据2y﹣x＞0，列出不等式组，即可解答；
（3）依据题意，由2ax﹣6x＞a﹣3，则2（a﹣3）x＞a﹣3，又不等式2ax﹣6x＞a﹣3的解集为，可得a﹣3＜0，则a＜3，结合a为整数，a＞﹣2，进而可以计算得解．
【解答】解：（1）由题意，∵，
∴；
（2）由题意，∵2y﹣x＜0，
∴2（﹣2a﹣1）﹣（2﹣2a）＜0，
∴a＞﹣2；
（3）由题意，∵2ax﹣6x＞a﹣3，
∴2（a﹣3）x＞a﹣3．
∵不等式2ax﹣6x＞a﹣3的解集为，
∴a﹣3＜0，则a＜3．
又∵a为整数，a＞﹣2，
∴a＝﹣1，0，1，2．
50．（2026春 海淀区校级期中）对实数x，y，我们定义一种新运算：F（x，y）＝ax+by（其中a，b常数）．已知F（1，1）＝3，F（1，﹣1）＝1，请解决以下问题．
（1）a＝　2　 ，b＝　1　 ；
（2）若关于x，y的方程组的解满足x+y＞0，且m为正整数，求m的值；
（3）若关于x的不等式F（﹣3x，4）≥2n恰好有3个正整数解，请直接写出n的取值范围．
【分析】（1）根据题目定义的新运算，结合F（1，1）＝3，F（1，﹣1）＝1即可得出答案；
（2）根据，得出，将其两式相加，结合x+y＞0即可得到m的取值范围，再结合m为正整数即可求解；
（3）根据F（﹣3x，4）≥2n求解得到x的取值范围，再根据恰好有3个正整数解即可得到n的范围．
【解答】解：（1）∵F（1，1）＝3，F（1，﹣1）＝1，
∴a+b＝3，a﹣b＝1，
解得：，
故答案为：2，1；
（2）依题意，
①+②化简得x+y，
∵x+y＞0，即0，
解得m，
又∵m为正整数，
∴m的值为1或2．
（3）依题意得﹣6x+4≥2n，解得x，
∵此不等式恰好有3个正整数解，
∴34，
解得﹣10＜n≤﹣7．
题型八．由实际问题抽象出一元一次不等式
51．（2026春 合肥期中）一个数x的与4的差不大于这个数的2倍加上5所得的和”可列不等式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将文字语言准确转化为代数式，明确“不大于”表示小于等于，对应不等号为≤，列出不等式即可．
【解答】解：由题意，可列不等式为．
故选：A．
52．（2026春 成华区校级期中）树德实验中学组织八年级学生前往距学校2.5千米的研学基地．已知他们步行的平均速度为70米/分钟，跑步的平均速度为200米/分钟．若要在不超过40分钟的时间内到达，那么至少需要跑步多少分钟？设需要跑步的时间为x分钟，则列出的不等式为（　　）
A．200x+70（40﹣x）＞2.5 B．200x+70（40﹣x）≥2500
C．200x﹣70（40﹣x）＜2.5 D．200x﹣70（40﹣x）≤2500
【答案】B
【分析】先统一单位，再根据路程、速度、时间的关系找不等关系，据此列出不等式即可．
【解答】解：他们步行的平均速度为70米/分钟，跑步的平均速度为200米/分钟．总距离为2.5千米，即2500米，
设跑步时间为x分钟．根据题意，在40分钟内完成的总路程应不小于2500米．
基于此，假设用满40分钟，其中跑步x分钟，则步行（40﹣x）分钟，那么跑步路程为200x米，步行路程为70（40﹣x）米，此时总路程应大于或等于2500米，因此可列不等式200x+70（40﹣x）≥2500．
故选：B．
53．（2026 浙江一模）2026年，宇树科技人形机器人再登央视春晚舞台．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能知识竞答活动，一共20道题，每一题答对得5分，答错或不答扣3分．设答对了x道题，若得分不低于80分，可列出关于x的不等式是（　　）
A．5x﹣3（20﹣x）≤80 B．5x﹣3（20﹣x）≥80
C．5x﹣3（20﹣x）＜80 D．5x﹣3（20﹣x）＞80
【答案】B
【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到不等式5x﹣3（20﹣x）≥80．
【解答】解：由题意可得，
5x﹣3（20﹣x）≥80，
故选：B．
题型九．一元一次不等式的应用
54．（2026春 思明区校级期中）在Monica的厨房里，橱柜里两个层板之间的间距是36厘米．已知8个相同的杯子摞在一起有42厘米高，2个同样的杯子摞在一起有18厘米高．问在一个层板上最多可以摞着放几个这样的杯子？（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】已知两种摞放方式的高度，求出单杯高度和每增加一个杯子增加的高度，再根据总高度不超过层板间距列不等式，求解得到最大可摞放的杯子数量．
【解答】解：设一个杯子的高度为x厘米，每多摞一个杯子增加的高度为y厘米，
根据题意列二元一次方程组，
，
解得，
设层板上可以摞放m个杯子，
根据题意列一元一次不等式得，14+4（m﹣1）≤36，
整理得，4m≤26，
解得m≤6.5，
∵m为正整数，
∴m的最大值为6．
即最多可以摞放6个杯子．
故选：D．
55．（2026春 奉贤区期中）某次数学竞赛共有20道题，评分标准是：答对一题得5分，答错或不答一题倒扣1分；某同学想要超过60分，他至少要答对　14　 道题．
【答案】14．
【分析】设他答对x道题，则答错和不答共（20﹣x）道，根据该生成绩要超过60分，可得出不等式，解出即可．
【解答】解：设他答对x道题，则答错或不答共（20﹣x）道，
由题意，得：5x﹣（20﹣x）＞60，
解得：x，
则他至少要答对14道题．
故答案为：14．
56．（2026 福州模拟）某学校计划开展科技创新活动，计划采购A，B两款机器人共6台，付款总额不超过15万元，A，B两款机器人的售价分别为1万元/台和3万元/台，求该学校最多能采购B型机器人的台数．
【分析】设采购B型机器人x台，则采购A型机器人（6﹣x）台，根据“付款总额不超过15万元”，列出一元一次不等式求解即可．
【解答】解：设采购B型机器人x台，
根据题意得6﹣x+3x≤15，
解得x≤4.5，
∵x为整数，
∴该学校最多能采购B型机器人4台．
57．（2026 山西模拟）晋剧的文化魅力不仅体现在剧情上，演员的服饰也备受大家喜爱．近期，以晋剧戏盔“状元帽”为原型的文创产品发热桌垫、立体拼图十分畅销．学校计划用不超过6000元的经费购买这两种文创产品共80件作为奖品，奖励在“晋剧进校园”活动中表现优秀的同学．已知两种文创产品的价格如图所示．
（1）学校最多可购买立体拼图多少件？
（2）商家对这两种产品的促销方案如下：
每购买10件发热桌垫或5件立体拼图，送一个晋剧冰箱贴．
当学校购买立体拼图的数量最多时，共可获得　13　 个晋剧冰箱贴．
【分析】（1）设可购买x件立体拼图，则可购买（80﹣x）件发热桌垫，根据学校计划用不超过6000元的经费购买这两种文创产品共80件作为奖品，列出一元一次不等式，解不等式即可；
（2）由（1）可知，最多可购买立体拼图59件，购买21件发热桌垫，再根据每购买10件发热桌垫或5件立体拼图，送一个晋剧冰箱贴，即可解决问题．
【解答】解：（1）设可购买x件立体拼图，则可购买（80﹣x）件发热桌垫，
根据题意得：88x+38（80﹣x）≤6000，
解得：，
∵x为正整数，
∴x的最大值为59，
答：最多可购买立体拼图59件；
（2）由（1）可知，最多可购买立体拼图59件，购买21件发热桌垫，
∵每购买10件发热桌垫或5件立体拼图，送一个晋剧冰箱贴，59÷5＝11……4，21÷10＝2……1，
∴11+2＝13，（个），
即当学校购买立体拼图的数量最多时，共可获得13个晋剧冰箱贴，
故答案为：13．
58．（2026 成都模拟）为丰富校园社团文化生活，提升物理社团实践探究能力，某校为社团活动与实验室建设升级采购器材，计划购进甲、乙两种型号的滑动变阻器．已知购买甲种20个、乙种30个共需2000元，且乙种滑动变阻器的单价比甲种贵10元．
（1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价各是多少元；
（2）该校物理社团计划再次采购这两种滑动变阻器共100个，若总费用不超过4200元，此次至少需购买多少个甲种滑动变阻器？
【分析】（1）根据二元一次方程组的购买问题关系：总价格＝单价×数量，分别设甲、乙两种滑动变阻器的单价为x元，y元，再根据题意列方程组求解即可；
（2）根据题意，设购买a个甲种滑动变阻器，根据题意列一元一次不等式求解即可．
【解答】解：（1）设甲种滑动变阻器的单价为x元，乙种滑动变阻器的单价为y元，
则根据题意列二元一次方程组得，，
解得，
∴甲种滑动变阻器的单价为34元，乙种滑动变阻器的单价为44元；
（2）设购买a个甲种滑动变阻器，则购买（100﹣a）个乙种滑动变阻器
由题意得，34a+44（100﹣a）≤4200，
整理得，10a≥200，
解得a≥20，
∴此次至少需购买20个甲种滑动变阻器．
59．（2026春 庐阳区校级期中）黄山毛峰是我国十大名茶之一，它是由采摘的良种茶树的鲜叶在经历杀青、揉捻、烘焙等环节制作而成，已知生产1千克一级毛峰需要鲜叶5.5千克，生产1千克二级毛峰需要鲜叶5千克．
（1）某一天生产一级、二级毛峰共20千克，所使用的鲜叶不超过105千克，则生产的一级毛峰至多为多少千克？
（2）市场上一级毛峰售价每千克600元，二级毛峰售价每千克500元，经市场调研后，现对一级毛峰销售单价降5%，二级毛峰销售单价涨10%，若这次售出两种毛峰共100千克，总售价不低于56000元，则至少售出一级毛峰多少千克？
【分析】（1）设生产的一级毛峰为x千克，则生产的二级毛峰为（20﹣x）千克，根据所使用的鲜叶不超过105千克，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论；
（2）设售出一级毛峰y千克，则售出二级毛峰（100﹣y）千克，根据总售价不低于56000元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设生产的一级毛峰为x千克，则生产的二级毛峰为（20﹣x）千克，
根据题意得：5.5x+5（20﹣x）≤105，
解得：x≤10，
∴x的最大值为10．
答：生产的一级毛峰至多为10千克；
（2）设售出一级毛峰y千克，则售出二级毛峰（100﹣y）千克，
根据题意得：600×（1﹣5%）y+500×（1+10%）（100﹣y）≥56000，
解得：y≥50，
∴y的最小值为50．
答：至少售出一级毛峰50千克．
60．（2026春 包河区校级期中）随着新能源汽车的销售越来越多，小区新能源汽车充电也越来越困难，某小区为了解决业主新能源汽车充电难的问题，准备在小区内修建10个充电桩，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要1万元；新建3个地上充电桩和1个地下充电桩也需要1万元．
（1）该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少钱？
（2）若该小区计划用不超过2.4万元的资金新建充电桩，问共有几种建造方案？并列出所有方案．
【分析】（1）设该小区新建一个地上充电桩需要a万元，一个地下充电桩需要b万元，根据“新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要1万元；新建3个地上充电桩和1个地下充电桩也需要1万元”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该小区新建x个地上充电桩，则新建（10﹣x）个地下充电桩，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过2.4万元，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再结合x，（10﹣x）均为非负整数，即可得出各建造方案．
【解答】解：（1）设该小区新建一个地上充电桩需要a万元，一个地下充电桩需要b万元，
根据题意，得，
解这个方程，得．
答：该小区新建一个地上充电桩需要0.2万元，一个地下充电桩需要0.4万元；
（2）设该小区新建x个地上充电桩，则新建（10﹣x）个地下充电桩，
根据题意得：0.2x+0.4（10﹣x）≤2.4，
解得：x≥8，
又∵x，（10﹣x）均为非负整数，
∴x可以为8，9，10，
∴该小区共有3种建造方案，
方案1：新建8个地上充电桩，2个地下充电桩；
方案2：新建9个地上充电桩，1个地下充电桩；
方案3：新建10个地上充电桩．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第1页（共1页）

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