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哈三中 2025—2026 学年度下学期
高一学年期中考试数学试卷
第 I 卷（选择题, 共 58 分）
一、单选题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 设复数 z 1 3i， z是 z的共轭复数，则复平面内 z对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 向量 a，b 的夹角为 ，并且 a，b 是单位向量，向量 c 满足 c a b，那么向量 a
3
与 c 的夹角为
2 5
A. B. C. D.
6 3 3 6
3. 已知 AB 3， 4 ，则向量 a 1,1 在向量 AB上的投影向量为
A. 7 7 7 7 21 28 21 28 ， B. ， C. ， D. ，
25 25 25 25 25 25 25 25
4. 已知 a，b为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，那么下列结论正确的是
A. 若 a ，b ，且 l，则 a与b为异面直线
B. 若 a ，b ，且 // ，则 a // b
C. 若 a ，b // ，且 l，则 a与b为异面直线
D. 若 a // ，b // ，且 // ，则 a // b
5. 如图， AB是底部 B不可达到的一座建筑， A是建筑的最高点. 测量建筑 AB高度时
选择了一条水平基线HG，使H ，G， B在同一条直线上，在G，H 两点用测角
仪器测得 A的仰角分别是 75 ，30 ，HG a，测角仪器的高是 h . 那么测得建筑 AB
A
的高度为
3 1
A. a h 3 1B. a h
4 2
6 2 6 2 D 30 C 75
C. a h D. a h
4 2
H G B
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6. 在 ABC中， BAC 60 ， AB 4 , AC 6，点D为 AC的中点，M 为 BD上点，
并且 AM xAB 3 AC，则 AM AC的值为
8
A. 10 B. 39 C. 15 D. 33
4 2
7. 正三棱柱 ABC A1B1C1的底面边长为 3，高为 2， E 为 A1B1上的点， A1E 2EB1，
平面 ACE将该棱柱截成两个几何体，那么小的几何体与大的几何体的体积比值为
11 12 A1
A. B. E
C1
12 13 B1
13 14
C. D.
14 15 A C
B
8. 在 ABC 中，三个内角分别为 A，B，C ，所对的三边长分别为 a，b，c，若 A 80 ,
并且 a 2 b 2 bc，则
A. B 60 B. C 50
C. B 50 D. C 60
二、多选题：共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知复数 z, z1, z2 ， z是 z的共轭复数，则下列说法正确的是
A. z1 z2 z1 z2 B. z1 z2 z1 z2
C. z 2 z 2 D. 若 z 1 2i 1，则 z 2 6i 的最大值为6
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10. 已知一个圆锥 SO的底面半径为1，高为 2，则下列对该圆锥的表述正确的是
A. 侧面积为 2 5 B. 过两条母线的截面面积的最大值为 2
5 1
C. 圆锥的内切球半径为
2
D. 设 AB是圆锥的底面圆直径，M 是底面圆周上一点，若MA MB，则 SA与MB
10
所成角的余弦值为
10
11. 已知点 P在VABC所在的平面内，则下列命题正确的是

A. 设 AP xAB yAC，若 P
2
是 ABC的重心，则 x y
3

B. 若PA PB 3PC 0，则 ABC的面积与 ABP的面积之比为5 :1
sin B sinC 7
C. 若 P是 ABC的内心，满足 2PA 3PB 4PC 0，则 的值为
sin A 2
2 2 2 2 2 2
D. 若 PA BC PB CA PC AB 且 AB AC 1，则 AP 1 AB
2
第Ⅱ卷（非选择题, 共 92 分）
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．将答案填在答题卡相应的位
置上．
12．已知1 2i是关于 x的方程 2x2 px q 0的一个根，其中 p, q为实数，则
p q =________．
13．若底面边长为 2 3，高为 2的正三棱柱 ABC A1B1C1所有顶点都在球O的表面上，
则球O的表面积为________．
14． ABC的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，其面积为 S，若点M 满足
4 SAM 1 2 AB AC，且CM AM ，则
3 3 3 11a2 13c2 sin A的最大值为________．
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四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤．
15. (本题 13分)如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，O是底面 ABCD的中心，点 E 是
CC1的中点．
(1) 求证：OE //平面 ABC1D1 ;
(2) 求异面直线 AD1与OE所成角的余弦值. D1 C1
B1
A1 E
D C
O
A B
16. (本题 15分)已知向量a 1, 1 ,b 1 x, ，c 3, 1 ．
x
(1) 若a / / b c ，求(a c ) (b c )；
(2) 设 f x a b ， x 1 , 2

，求函数 f x 的值域． 2
高一数学 第 4 页 共 6 页
17. (本题 15分)如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为菱形， BAD 60 ，
AB PB 4， PA PD 2 2 ，M 为 AD的中点．
(1) 求证：BC 平面 PBM ；
(2) 求四棱锥 P ABCD的体积.
P
D C
M
A B
18. (本题 17分)在 ABC中，内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，且
2a c cosB bcosC．
(1) 求B的大小；
(2) 若 ABC为锐角三角形，且 a 4，求 ABC面积的取值范围；
(3) 若D为边 AC AD上一点（不包含端点），且满足 ADB 3 ACB , 求 的取值
CD
范围．
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19. (本题 17分)若点O是直线 PQ外一点，点M ,N 在线段 PQ上（M ,N 异于 P,Q），
OP sin POM我们则称以下操作： P,Q;M 为“由O点对 PQ施以张角运算”；
OQ sin MOQ
P,Q;M
并且，记 P,Q;M ,N P,Q;N ．如图，四个有序点 A,B,C,D，由O点对 AD
施以张角运算，得 (A,D;B) 1．
(1) 在OA,OD上分别取点 E,F（异于端点）,连EF 交OB于点G，
OA OD 2OB
证明： B为 AD的中点，且 ；
OE OF OG
(2) 已知 A,D;C,B 3， AC 3 . O
①若 AOC 60 ，求OB的最大值；
sin ACO 3
②若OB 1， ，求 tanA的值．
sin AOB 2
A B C D
高一数学 第 6 页 共 6 页2026 年高一下期中考试数学试题答案
一、单选题
1~8 ABCB ADCD
二、多选题
9. AD 10.BCD 11. AC
三、填空题
12．6 13． 20 14
2
．
56
四、解答题
15.（1）连接 AC , AC1 ,在 ACC1中， O,E分别为 AC,CC1的中点，
OE // AC1又 AC1 平面 ABC1D1 ,
OE 平面 ABC1D1 , OE //平面 ABC1D1.
（2）由（1）知OE // AC1， D1AC1或其补角即为所求，在 AC1D1中，设C1D1 1，
则 AD 61 2 , AC1 3 , cos D1AC1 .3
1
16．(1) a 1, 1 ,b c x 3, 1 且a / /(b c
) 1 x 2 x 1
x x

b=(1,1),a c (4, 2),b c=( 2,2), (a c) (b c) 12 ;

(2) f x a b = (x 1)2 ( 1 1)2 (x 1 )2 2(x 1 ) 4
x x x

x 1 , 2 x
1 3 3
, f (x) 37 的值域为 3，2 x 2 2 2 .
17. （1）证明：因为底面 ABCD为菱形， BAD 60 ，所以 ABD是等边三角形，
又因为M 是 AD的中点，所以 BM AD，又因为 BC // AD，所以
BC BM ．因为 PA AD ， M 为 AD 中点，所以 PM AD ，又因为
BC // AD，所以 PM BC，又因为MP MB M ，所以 BC 平面PMB .
（2）经计算 PM 2,BM 2 3，又 PB 4，所以 PM 2 BM 2 PB2 ，所以
PM MB，又因为 PM AD，MB AD M ，所以PM 平面ABCD，
所以 PM 是四棱锥 P ABCD的高，所以
V 1 S PM 1 4 4 3 16 ABCD 2 3 .3 3 2 3
18.（1） 2sin Acos B sinC cos B sin B cosC
2sin AcosB sinC cosB sin B cosC sin(B C) sin A
sin A 0 cosB 1 B
2 3
a 4 c sin(A

)
(2) , c 4 sinC 4 3 2 2 3
sin A sin A sinC sin A sin A tan A
ABC 3为锐角三角形， A , tan A ， 2 c 8
6 2 3
S 1 ABC ac sin B 3c2
2 3 S ABC 8 3
(3) 设 ACB ,则 ADB 3 , DBC 2 , ABD 2 ,
3
AD BD
在 ABD中，
sin( 2 ) sin( )
3 3

CD BD AD sin sin( 2 )
在 BCD中， ,作商得 3
sin 2 sin CD sin( ) sin 2
3
sin( 2 ) sin( 2 )
3 3 ，设 t 2 ，
2sin( ) cos 3
3 sin(2
3
)
3 2
0 t 0, AD sin t 1 ， ，
6 3 CD 3 (1 cos t) 1 sin t 3 cos t 1 1
2 2 2 sin t 2
t 0, tan t (0, 3 ) cos t 1 1 3
2 6 2 3 sin t tan t
2
AD
(0, 1)
CD 2
1
OA sin AOM OB OA sin AOM S AB
19.（1） A,D;B 2 AOB
OD sin MOB 1
1 ,
OB OD sin MOB S BOD BD
2
B为 AD中点.
S OEF S OEG S OGF S OEG S OGF OE OG OG OF OG OE OF ( )
S OAD S OAD 2S OAB 2S OBD 2OA OB 2OB OD 2OB OA OD
S OEF OE OF
又 , OGS OA (
OE OF ) OE OF ，
OAD OD 2OB OA OD OA OD
(OE OF )OA OD 2OB OA OD 2OB ，
OA OD OE OF OG OE OF OG .
（2）由（1）知，（A,D;B) 1, (A,D;C) 3, AC 3CD, AB 2BC .
OB 1 OA 2 OC,
3 3 设
OA m,OC n，
① AC 3, AOC 60 , m2 n2 mn 3 ,
又9OB2 m2 4n2 2mn 9OB2， 3(mn n
2 ) 3 .
m n 3
2， 将m 2sin(A 60 ),n 2sin Asin(A 60 ) sin A sin 60 代入，
mn n2 4 sinAsin(A

) sin2 A 6sin
2 A 2 3sinAcosA 3 2 3sin(2A )
3 3
9OB2 （3 n2 mn） 3 （3 3 2 3） 3 12 6 3，
5 3
当 A OB 1 .12 时， 取最大值 3
2 3
m 3 , n 1② , sin ABO sin OBCsin ABO sin AOB sin OBC sin ACO .
m 3n .
1 4 m2 1 1 n2
cos ABO cos CBO 0 3 3又 ， 0, m2 2n2 5
4 3 2 3
3 3
m 3n
联立 得，m 3,n
5 11
1, cos A , tan A .
m
2 2n2 5 6 5

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