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江苏省徐州市2024-2025学年高一下学期期末抽测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知，则的虚部为（　　）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
【答案】A
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：由题意得，，故的虚部为.
故答案为：A
【分析】利用复数分母实数化法则化简复数z，再根据复数标准形式 z=a+bi (a，b∈R) 中，b 为复数的虚部，直接得出结果。
2．已知，，则（　　）
A．2 B． C．4 D．8
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：因为，
所以.
所以.
故答案为：B.
【分析】本题考查平面向量坐标减法运算与向量模长公式，核心是先对向量做坐标相减，再代入向量模长公式计算。
3．用分层抽样的方法从某校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人.已知该校高二年级共有学生600人，则该校学生总数为（　　）
A．1400人 B．1600人 C．1800人 D．2000人
【答案】C
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：因为用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，
高三年级抽10人，所以高二年级要抽取人，
因为该校高二年级共有学生600人，所以每个个体被抽到的概率是，
所以该校学生总数是，
即该校学生总数为1800人．
故答案为：C.
【分析】本题考查分层抽样的核心性质：分层抽样中，各层抽样比统一（样本抽取人数：该层总体人数 = 总样本容量：总体总人数），先求出高二年级的抽取人数，计算抽样比，再求解全校总人数。
4．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中不放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是奇数的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：从4张卡片中不放回地随机抽取2张，
所有可能的组合有：，共种等可能的结果，
和为奇数的条件是一奇一偶，
符合条件的组合为：，
所以抽到的2张卡片上的数字之和是奇数的概率为.
故答案为：D.
【分析】本题考查古典概型概率计算。核心知识点：两数之和为奇数的充要条件是一奇一偶；先计算所有抽取组合总数，再统计符合条件的组合数，代入古典概型公式 符合条件事件数总事件数 求解。
5．设，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题正确的是（　　）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：A，由，，则或，故A错误；
B，由，则，使得，由，则，即，故B正确；
C，由题意可得与的位置关系可能为相交、平行或在面内，当与相交时，与的位置关系可能是相交或异面不垂直，故C错误；
D，当且时，，，，故D错误.
故答案为：B.
【分析】本题考查空间中线面、面面平行与垂直的位置关系判定，核心是紧扣线面平行、垂直的判定定理与性质，对每个选项逐一分析正误，结合反例排除错误命题。
6．在梯形中，，，，，若在上的投影向量为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意得，设，则，
因为在上的投影向量为，所以，又，
所以，所以，即，
因，，，则，解得，所以.
故答案为：C.
【分析】本题考查平面向量线性分解与向量投影公式。核心思路：由梯形平行关系设，将拆解为基底的线性组合，再利用向量投影向量公式结合数量积运算求解系数。
7．已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足，，，，则（　　）
A．A，B相互独立 B．A，B互斥
C． D．
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意可得，，，
由，则，故C正确，B错误；
由，则事件不是相互独立的，故A错误；
由，故D错误.
故答案为：C.
【分析】本题考查古典概型，核心运用概率加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B) P(AB)，结合互斥事件、独立事件、对立事件的定义逐项判断。
8．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六；辅助角公式
【解析】【解答】解：因为
所以，
所以.
故答案为：D
【分析】本题考查三角恒等变换，核心用到诱导公式、辅助角公式、余弦二倍角公式。先通过角度变形、辅助角公式化简已知条件，得到单角三角函数值，再凑角结合二倍角公式求解目标式。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．有两组样本数据：和，则这两组样本数据的（　　）
A．样本平均数不相同 B．样本中位数相同
C．样本标准差不相同 D．样本极差相同
【答案】A,D
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A，两组数据的平均数分别为，，故A正确；
B，数据的中位数是2，数据的中位数是4，故B错误；
C，两组数据的标准差都为，故C错误；
D，两组数据的极差分别为，故D正确.
故答案为：AD
【分析】本题考查样本数字特征，核心对平均数、中位数、方差（标准差）、极差四个统计量逐项计算辨析。
10．在锐角中，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：A：因为，
所以①
②，
所以，A正确；
B：因为，.所以，即，B正确；
C：因为，所以.
所以，C正确；
D：因为，.
又，所以，
化简得，所以解得.
又是锐角，所以，所以，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】A：利用正弦和差角公式展开、，两式相加求解的值。
B：由和差公式分别求出、，两式作比推导与的数量关系。
C：结合锐角三角形条件判断的范围，先求，再由同角三角函数商数关系求。
D：代入两角和的正切公式，结合，解方程求出的精确值。
11．如图①，在长方形中，，，M，N为的三等分点，P，为的三等分点，连接，，，分别交于点K，G，O.如图②，将沿翻折至，形成三棱锥，则（　　）
A．平面
B．当时，直线与所成的角
C．当二面角为时，
D．直线上的点到直线的最短距离为
【答案】A,C,D
【知识点】直线与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角；解三角形
【解析】【解答】解：A，在矩形中，因为为的三等分点，故，
同理，而，故四边形为平行四边形，故，
同理.
在直角三角形中，，故，
而为锐角，故，同理，故，
故，故，同理，
故在三棱锥中，有，
而平面，故平面，故A正确；
B，连接，由A的分析可得，，
故或其补角为异面直线所成的角， 且，
而，，
故在图②中，，
而，
同理，
由余弦定理可得，
故直线与所成的角不是，故B错误；
C，当二面角为时，在平面中，过作，
垂足为，连接，
由A的分析可得，，故为二面角的平面角，
故，故，故，
，其中，，
故，故，所以，
故，
因为平面，而平面，故平面平面，
而平面平面，平面，故平面，
因为平面，故，故，
故，故C正确；
D，由A的分析可得，，故为与的公垂线，
故直线上的点到直线的最短距离为即为，故D正确；
故答案为：ACD.
【分析】A：先在矩形中证明、均垂直于对角线，由线面垂直判定定理，证平面。
B：连接，将异面直线与所成角转化为相交直线夹角，结合余弦定理计算角度，判断正误。
C：由翻折性质得二面角的平面角，在平面内作垂线，结合余弦定理、空间边长公式计算的长度。
D：由线线垂直关系，确定直线上的点到的最短距离为公垂线段的长度，计算验证数值。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥的侧面积为　 　.
【答案】
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：由题意可得圆锥的母线长，底面半径为，
所以圆锥的侧面积为.
故答案为：.
【分析】本题考查圆锥轴截面性质与圆锥侧面积公式。圆锥轴截面为过圆锥轴线的截面，结合正三角形边长确定母线长、底面半径，代入侧面积公式求解。
13．已知数据1，2，4，的方差为，则　 　.
【答案】或3
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：数据1，2，4，的平均数为，
故方差为，
化简可得，
即，解得或.
故答案为：或3
【分析】若数据的平均数为，则方差，先求平均数，代入方差公式建立方程，求解参数。
14．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意，所以，
而，解得，
由余弦定理有，
所以，等号成立当且仅当，
所以的最大值为12，所以的面积的最大值为.
故答案为：.
【分析】本题综合考查正弦定理、三角恒等变换、余弦定理、基本不等式、三角形面积公式。先由正弦定理角化边，结合三角恒等变换求出、，再用余弦定理+基本不等式求的最大值，最后代入面积公式得最值。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．近日，江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）登上热搜，为了解各年龄层对“苏超”的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求选取的市民年龄在内的人数；
（2）利用频率分布直方图的组中值对这200名市民的年龄的平均数进行估计；
（3）根据频率分布直方图，估计这200名市民的年龄数据的70%分位数.
【答案】（1）解：由频率分布直方图可得市民年龄在内的频率为，
由题得，随机选取了200名市民，所以市民年龄在内的人数为.
所以选取的市民年龄在内的人数为140人.
（2）解：由频率分布直方图，可估计200名市民的年龄的平均数为
.
所以这200名市民的年龄的平均数为37岁.
（3）解：由频率分布直方图，可知市民年龄在内的频率之和为，
市民年龄在内的频率之和为，
所以70百分位数应在中，设为，
可得，解得.
所以这200名市民的年龄数据的70%分位数为42.5.
【知识点】频率分布直方图；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1) 由频率频率组距组距计算区间频率，再由频数总数频率求人数；
(2) 利用组中值加权，计算样本平均数估计值；
(3) 根据百分位数定义，累计频率定位区间，用内插法计算分位数。
（1）由频率分布直方图可得市民年龄在内的频率为，
由题得，随机选取了200名市民，所以市民年龄在内的人数为.
所以选取的市民年龄在内的人数为140人.
（2）由频率分布直方图，可估计200名市民的年龄的平均数为
.
所以这200名市民的年龄的平均数为37岁.
（3）由频率分布直方图，可知市民年龄在内的频率之和为，
市民年龄在内的频率之和为，
所以70百分位数应在中，设为，
可得，解得.
所以这200名市民的年龄数据的70%分位数为42.5.
16．已知复数，，.
（1）当时，求和；
（2）设，在复平面内对应的点分别为A，B，O为原点，若，求.
【答案】（1）解：当时，，，
所以，，
则.
（2）解：由已知得，，
因为，所以，
所以，即，
因为，所以，所以，即.
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模；辅助角公式
【解析】【分析】(1) 代入值得到复数标准形式，利用复数乘法、加减运算法则计算，再由复数模长公式求；
(2) 根据复数的几何意义得到对应点坐标，由向量垂直的坐标数量积为列方程，结合辅助角公式、给定角的范围求解。
（1）当时，，，
所以，，
则.
（2）由已知得，，
因为，所以，
所以，即，
因为，所以，所以，即.
17．如图，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求C；
（2）设D为的中点，分别在边，上取点E，F，使点C，D关于直线对称，若，，求.
【答案】（1）解：在中，由余弦定理可得.
所以即，所以.
又因为，所以.
（2）解：因为，，由余弦定理得，即，
所以，，
连接，，则，设为，，设为y，
在中，由余弦定理得，解得，
在中，由余弦定理得，解得，
所以.
【知识点】直角三角形的射影定理；解三角形；余弦定理的应用
【解析】【分析】(1) 利用射影定理 化简已知等式，结合角的范围，直接求解角；
(2) 由是中点、关于对称，得是的中垂线，即；先用余弦定理求、的长度，再设，在、中分别用余弦定理列方程，化简求解。
（1）在中，由余弦定理可得.
所以即，所以.
又因为，所以.
（2）因为，，由余弦定理得，即，
所以，，
连接，，则，设为，，设为y，
在中，由余弦定理得，解得，
在中，由余弦定理得，解得，
所以.
18．定义向量，.
（1）求；
（2）若与共线，求；
（3）证明：当且仅当时，对任意恒成立.
【答案】（1）解：因为，，
所以.
（2）解：因为与共线，所以，
因为，所以，，所以，
所以.
（3）证明：因为，
，
要证，只要证.
①当时，对成立，
②当时，取，，解得，
取，，所以，，即，，
又因为，，所以不存在使原不等式成立.
综上所述，当且仅当时，.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；三角函数中的恒等变换应用；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】(1) 代入得到两个向量坐标，直接做向量加法运算；
(2) 由向量共线坐标条件列方程，得，再用二倍角正切公式求；
(3) 先用向量模长公式化简，转化为余弦不等式恒成立问题，从充分性、必要性双向证明充要条件。
（1）因为，，
所以.
（2）因为与共线，所以，
因为，所以，，所以，
所以.
（3）因为，
，
要证，只要证.
方法1：①当时，对成立，
②当时，取，，解得，
取，，所以，，即，，
又因为，，所以不存在使原不等式成立.
综上所述，当且仅当时，.
方法2：令，，则，
①当时，成立，
②当时，取，，，而，
所以.
③当时，取，，，而，
所以.
④当时，取，，，而，所以.
综上所述，当且仅当时，.
19．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，.
（1）证明：平面；
（2）若平面平面，证明：点P，A，B，C在以D为球心的同一球面上；
（3）求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
【答案】（1）证明：因为底面为菱形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）证明：取中点E，连接，，
因为底面是边长为2的菱形，且，
所以，，.
又因为，所以，
因为平面平面，，平面平面，
平面，所以平面，
又因为平面，所以，即为直角三角形，
所以，所以，
即点P，A，B，C在以D为球心的同一球面上.
（3）解：设P在底面上的射影为点G，平面，则就是与平面所成的角.
①若点G在上，则就是与平面所成的角.
在中，由余弦定理得，
在中，由正弦定理，，当且仅当时，取等号.
②若点不在上，连接，，设，，，.
因为平面，平面，所以，.
在中，由，得，，
在中，，
所以在中，，
则，
当且仅当时，取等号，而，所以等号取不到.
令，，则，
所以，
当且仅当，即，即时，取等号.
所以.
综上所述，直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
【知识点】球内接多面体；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的性质；直线与平面所成的角；解三角形
【解析】【分析】(1) 利用菱形对边平行，结合线面平行判定定理证明；
(2) 取中点构造辅助线，结合面面垂直性质、直角三角形斜边中线性质，证明四点到定点距离相等，即共球；
(3) 定义线面角，结合解三角形、三角函数最值，求线面角正弦值的最大值。
（1）因为底面为菱形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）取中点E，连接，，
因为底面是边长为2的菱形，且，
所以，，.
又因为，所以，
因为平面平面，，平面平面，
平面，所以平面，
又因为平面，所以，即为直角三角形，
所以，所以，
即点P，A，B，C在以D为球心的同一球面上.
（3）设P在底面上的射影为点G，平面，则就是与平面所成的角.
①若点G在上，则就是与平面所成的角.
在中，由余弦定理得，
在中，由正弦定理，，当且仅当时，取等号.
②若点不在上，连接，，设，，，.
因为平面，平面，所以，.
在中，由，得，，
在中，，
所以在中，，
则，
当且仅当时，取等号，而，所以等号取不到.
令，，则，
所以，
当且仅当，即，即时，取等号.
所以.
综上所述，直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
1 / 1江苏省徐州市2024-2025学年高一下学期期末抽测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知，则的虚部为（　　）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
2．已知，，则（　　）
A．2 B． C．4 D．8
3．用分层抽样的方法从某校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人.已知该校高二年级共有学生600人，则该校学生总数为（　　）
A．1400人 B．1600人 C．1800人 D．2000人
4．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中不放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是奇数的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．设，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题正确的是（　　）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
6．在梯形中，，，，，若在上的投影向量为，则（　　）
A． B． C． D．
7．已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足，，，，则（　　）
A．A，B相互独立 B．A，B互斥
C． D．
8．已知，则（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．有两组样本数据：和，则这两组样本数据的（　　）
A．样本平均数不相同 B．样本中位数相同
C．样本标准差不相同 D．样本极差相同
10．在锐角中，，，则（　　）
A． B． C． D．
11．如图①，在长方形中，，，M，N为的三等分点，P，为的三等分点，连接，，，分别交于点K，G，O.如图②，将沿翻折至，形成三棱锥，则（　　）
A．平面
B．当时，直线与所成的角
C．当二面角为时，
D．直线上的点到直线的最短距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥的侧面积为　 　.
13．已知数据1，2，4，的方差为，则　 　.
14．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．近日，江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）登上热搜，为了解各年龄层对“苏超”的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求选取的市民年龄在内的人数；
（2）利用频率分布直方图的组中值对这200名市民的年龄的平均数进行估计；
（3）根据频率分布直方图，估计这200名市民的年龄数据的70%分位数.
16．已知复数，，.
（1）当时，求和；
（2）设，在复平面内对应的点分别为A，B，O为原点，若，求.
17．如图，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求C；
（2）设D为的中点，分别在边，上取点E，F，使点C，D关于直线对称，若，，求.
18．定义向量，.
（1）求；
（2）若与共线，求；
（3）证明：当且仅当时，对任意恒成立.
19．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，.
（1）证明：平面；
（2）若平面平面，证明：点P，A，B，C在以D为球心的同一球面上；
（3）求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：由题意得，，故的虚部为.
故答案为：A
【分析】利用复数分母实数化法则化简复数z，再根据复数标准形式 z=a+bi (a，b∈R) 中，b 为复数的虚部，直接得出结果。
2．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：因为，
所以.
所以.
故答案为：B.
【分析】本题考查平面向量坐标减法运算与向量模长公式，核心是先对向量做坐标相减，再代入向量模长公式计算。
3．【答案】C
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：因为用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，
高三年级抽10人，所以高二年级要抽取人，
因为该校高二年级共有学生600人，所以每个个体被抽到的概率是，
所以该校学生总数是，
即该校学生总数为1800人．
故答案为：C.
【分析】本题考查分层抽样的核心性质：分层抽样中，各层抽样比统一（样本抽取人数：该层总体人数 = 总样本容量：总体总人数），先求出高二年级的抽取人数，计算抽样比，再求解全校总人数。
4．【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：从4张卡片中不放回地随机抽取2张，
所有可能的组合有：，共种等可能的结果，
和为奇数的条件是一奇一偶，
符合条件的组合为：，
所以抽到的2张卡片上的数字之和是奇数的概率为.
故答案为：D.
【分析】本题考查古典概型概率计算。核心知识点：两数之和为奇数的充要条件是一奇一偶；先计算所有抽取组合总数，再统计符合条件的组合数，代入古典概型公式 符合条件事件数总事件数 求解。
5．【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：A，由，，则或，故A错误；
B，由，则，使得，由，则，即，故B正确；
C，由题意可得与的位置关系可能为相交、平行或在面内，当与相交时，与的位置关系可能是相交或异面不垂直，故C错误；
D，当且时，，，，故D错误.
故答案为：B.
【分析】本题考查空间中线面、面面平行与垂直的位置关系判定，核心是紧扣线面平行、垂直的判定定理与性质，对每个选项逐一分析正误，结合反例排除错误命题。
6．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意得，设，则，
因为在上的投影向量为，所以，又，
所以，所以，即，
因，，，则，解得，所以.
故答案为：C.
【分析】本题考查平面向量线性分解与向量投影公式。核心思路：由梯形平行关系设，将拆解为基底的线性组合，再利用向量投影向量公式结合数量积运算求解系数。
7．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意可得，，，
由，则，故C正确，B错误；
由，则事件不是相互独立的，故A错误；
由，故D错误.
故答案为：C.
【分析】本题考查古典概型，核心运用概率加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B) P(AB)，结合互斥事件、独立事件、对立事件的定义逐项判断。
8．【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六；辅助角公式
【解析】【解答】解：因为
所以，
所以.
故答案为：D
【分析】本题考查三角恒等变换，核心用到诱导公式、辅助角公式、余弦二倍角公式。先通过角度变形、辅助角公式化简已知条件，得到单角三角函数值，再凑角结合二倍角公式求解目标式。
9．【答案】A,D
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A，两组数据的平均数分别为，，故A正确；
B，数据的中位数是2，数据的中位数是4，故B错误；
C，两组数据的标准差都为，故C错误；
D，两组数据的极差分别为，故D正确.
故答案为：AD
【分析】本题考查样本数字特征，核心对平均数、中位数、方差（标准差）、极差四个统计量逐项计算辨析。
10．【答案】A,B,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：A：因为，
所以①
②，
所以，A正确；
B：因为，.所以，即，B正确；
C：因为，所以.
所以，C正确；
D：因为，.
又，所以，
化简得，所以解得.
又是锐角，所以，所以，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】A：利用正弦和差角公式展开、，两式相加求解的值。
B：由和差公式分别求出、，两式作比推导与的数量关系。
C：结合锐角三角形条件判断的范围，先求，再由同角三角函数商数关系求。
D：代入两角和的正切公式，结合，解方程求出的精确值。
11．【答案】A,C,D
【知识点】直线与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角；解三角形
【解析】【解答】解：A，在矩形中，因为为的三等分点，故，
同理，而，故四边形为平行四边形，故，
同理.
在直角三角形中，，故，
而为锐角，故，同理，故，
故，故，同理，
故在三棱锥中，有，
而平面，故平面，故A正确；
B，连接，由A的分析可得，，
故或其补角为异面直线所成的角， 且，
而，，
故在图②中，，
而，
同理，
由余弦定理可得，
故直线与所成的角不是，故B错误；
C，当二面角为时，在平面中，过作，
垂足为，连接，
由A的分析可得，，故为二面角的平面角，
故，故，故，
，其中，，
故，故，所以，
故，
因为平面，而平面，故平面平面，
而平面平面，平面，故平面，
因为平面，故，故，
故，故C正确；
D，由A的分析可得，，故为与的公垂线，
故直线上的点到直线的最短距离为即为，故D正确；
故答案为：ACD.
【分析】A：先在矩形中证明、均垂直于对角线，由线面垂直判定定理，证平面。
B：连接，将异面直线与所成角转化为相交直线夹角，结合余弦定理计算角度，判断正误。
C：由翻折性质得二面角的平面角，在平面内作垂线，结合余弦定理、空间边长公式计算的长度。
D：由线线垂直关系，确定直线上的点到的最短距离为公垂线段的长度，计算验证数值。
12．【答案】
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：由题意可得圆锥的母线长，底面半径为，
所以圆锥的侧面积为.
故答案为：.
【分析】本题考查圆锥轴截面性质与圆锥侧面积公式。圆锥轴截面为过圆锥轴线的截面，结合正三角形边长确定母线长、底面半径，代入侧面积公式求解。
13．【答案】或3
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：数据1，2，4，的平均数为，
故方差为，
化简可得，
即，解得或.
故答案为：或3
【分析】若数据的平均数为，则方差，先求平均数，代入方差公式建立方程，求解参数。
14．【答案】
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意，所以，
而，解得，
由余弦定理有，
所以，等号成立当且仅当，
所以的最大值为12，所以的面积的最大值为.
故答案为：.
【分析】本题综合考查正弦定理、三角恒等变换、余弦定理、基本不等式、三角形面积公式。先由正弦定理角化边，结合三角恒等变换求出、，再用余弦定理+基本不等式求的最大值，最后代入面积公式得最值。
15．【答案】（1）解：由频率分布直方图可得市民年龄在内的频率为，
由题得，随机选取了200名市民，所以市民年龄在内的人数为.
所以选取的市民年龄在内的人数为140人.
（2）解：由频率分布直方图，可估计200名市民的年龄的平均数为
.
所以这200名市民的年龄的平均数为37岁.
（3）解：由频率分布直方图，可知市民年龄在内的频率之和为，
市民年龄在内的频率之和为，
所以70百分位数应在中，设为，
可得，解得.
所以这200名市民的年龄数据的70%分位数为42.5.
【知识点】频率分布直方图；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1) 由频率频率组距组距计算区间频率，再由频数总数频率求人数；
(2) 利用组中值加权，计算样本平均数估计值；
(3) 根据百分位数定义，累计频率定位区间，用内插法计算分位数。
（1）由频率分布直方图可得市民年龄在内的频率为，
由题得，随机选取了200名市民，所以市民年龄在内的人数为.
所以选取的市民年龄在内的人数为140人.
（2）由频率分布直方图，可估计200名市民的年龄的平均数为
.
所以这200名市民的年龄的平均数为37岁.
（3）由频率分布直方图，可知市民年龄在内的频率之和为，
市民年龄在内的频率之和为，
所以70百分位数应在中，设为，
可得，解得.
所以这200名市民的年龄数据的70%分位数为42.5.
16．【答案】（1）解：当时，，，
所以，，
则.
（2）解：由已知得，，
因为，所以，
所以，即，
因为，所以，所以，即.
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模；辅助角公式
【解析】【分析】(1) 代入值得到复数标准形式，利用复数乘法、加减运算法则计算，再由复数模长公式求；
(2) 根据复数的几何意义得到对应点坐标，由向量垂直的坐标数量积为列方程，结合辅助角公式、给定角的范围求解。
（1）当时，，，
所以，，
则.
（2）由已知得，，
因为，所以，
所以，即，
因为，所以，所以，即.
17．【答案】（1）解：在中，由余弦定理可得.
所以即，所以.
又因为，所以.
（2）解：因为，，由余弦定理得，即，
所以，，
连接，，则，设为，，设为y，
在中，由余弦定理得，解得，
在中，由余弦定理得，解得，
所以.
【知识点】直角三角形的射影定理；解三角形；余弦定理的应用
【解析】【分析】(1) 利用射影定理 化简已知等式，结合角的范围，直接求解角；
(2) 由是中点、关于对称，得是的中垂线，即；先用余弦定理求、的长度，再设，在、中分别用余弦定理列方程，化简求解。
（1）在中，由余弦定理可得.
所以即，所以.
又因为，所以.
（2）因为，，由余弦定理得，即，
所以，，
连接，，则，设为，，设为y，
在中，由余弦定理得，解得，
在中，由余弦定理得，解得，
所以.
18．【答案】（1）解：因为，，
所以.
（2）解：因为与共线，所以，
因为，所以，，所以，
所以.
（3）证明：因为，
，
要证，只要证.
①当时，对成立，
②当时，取，，解得，
取，，所以，，即，，
又因为，，所以不存在使原不等式成立.
综上所述，当且仅当时，.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；三角函数中的恒等变换应用；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】(1) 代入得到两个向量坐标，直接做向量加法运算；
(2) 由向量共线坐标条件列方程，得，再用二倍角正切公式求；
(3) 先用向量模长公式化简，转化为余弦不等式恒成立问题，从充分性、必要性双向证明充要条件。
（1）因为，，
所以.
（2）因为与共线，所以，
因为，所以，，所以，
所以.
（3）因为，
，
要证，只要证.
方法1：①当时，对成立，
②当时，取，，解得，
取，，所以，，即，，
又因为，，所以不存在使原不等式成立.
综上所述，当且仅当时，.
方法2：令，，则，
①当时，成立，
②当时，取，，，而，
所以.
③当时，取，，，而，
所以.
④当时，取，，，而，所以.
综上所述，当且仅当时，.
19．【答案】（1）证明：因为底面为菱形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）证明：取中点E，连接，，
因为底面是边长为2的菱形，且，
所以，，.
又因为，所以，
因为平面平面，，平面平面，
平面，所以平面，
又因为平面，所以，即为直角三角形，
所以，所以，
即点P，A，B，C在以D为球心的同一球面上.
（3）解：设P在底面上的射影为点G，平面，则就是与平面所成的角.
①若点G在上，则就是与平面所成的角.
在中，由余弦定理得，
在中，由正弦定理，，当且仅当时，取等号.
②若点不在上，连接，，设，，，.
因为平面，平面，所以，.
在中，由，得，，
在中，，
所以在中，，
则，
当且仅当时，取等号，而，所以等号取不到.
令，，则，
所以，
当且仅当，即，即时，取等号.
所以.
综上所述，直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
【知识点】球内接多面体；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的性质；直线与平面所成的角；解三角形
【解析】【分析】(1) 利用菱形对边平行，结合线面平行判定定理证明；
(2) 取中点构造辅助线，结合面面垂直性质、直角三角形斜边中线性质，证明四点到定点距离相等，即共球；
(3) 定义线面角，结合解三角形、三角函数最值，求线面角正弦值的最大值。
（1）因为底面为菱形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）取中点E，连接，，
因为底面是边长为2的菱形，且，
所以，，.
又因为，所以，
因为平面平面，，平面平面，
平面，所以平面，
又因为平面，所以，即为直角三角形，
所以，所以，
即点P，A，B，C在以D为球心的同一球面上.
（3）设P在底面上的射影为点G，平面，则就是与平面所成的角.
①若点G在上，则就是与平面所成的角.
在中，由余弦定理得，
在中，由正弦定理，，当且仅当时，取等号.
②若点不在上，连接，，设，，，.
因为平面，平面，所以，.
在中，由，得，，
在中，，
所以在中，，
则，
当且仅当时，取等号，而，所以等号取不到.
令，，则，
所以，
当且仅当，即，即时，取等号.
所以.
综上所述，直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
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