资源简介

浙江省温州市十校联合体2024-2025学年高二下学期6月期末联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．展开式中的系数是（　　）
A．1 B． C． D．3
3．已知圆锥高为2，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积为（　　）
A． B． C． D．
4．在中，，那么向量在上的投影向量是（　　）
A． B． C． D．
5．设a，b，c，d是非零实数，，则“a，b，c，d成等比数列”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知的外接圆的半径为5，a是角A的对边，，则（　　）
A． B． C． D．
7．已知函数的值域是，则m的值为（　　）
A．2 B． C． D．
8．已知函数的定义域为，且对任意实数x，y都有，，则下列说法正确的是（　　）
A． B．的周期是4
C．是偶函数 D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9．已知为复数，则下列结论一定正确的是（　　）
A．如果，那么
B．
C．方程表示在复平面内对应的点的轨迹是圆
D．
10．已知函数在处的切线斜率为2，则下列命题正确的是（　　）
A．
B．有且只有一个极小值，且极小值等于
C．的值域是
D．若，则恒成立
11．用平面截如图放置的正四面体ABCD，下列说法正确的是（　　）
A．当截面为平行四边形时，正四面体有两条棱所在的直线平行平面
B．截面可能是直角梯形
C．若平面分别与棱AB，AC，AD交于点E，F，G，，，，则平面与平面BCD夹角的余弦值为
D．设点F在棱AC上，点G在棱AD上（均包含端点），且，，其中．如果平面经过B，F，G三点，那么平面与平面BCD夹角的余弦值的取值范围为
三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.
12．已知、为一次试验中的两个事件，，，则　 　．
13．在中，，边和上的两条中线和相交于点，那么的值为　 　．
14．如图所示，已知双曲线的左右焦点分别为和，过和分别作两条互相平行的直线和，与双曲线的左支交于A、B两点（A在x轴上方），与双曲线的右支交于C、D两点（C在x轴上方），若，，则（e是双曲线的离心率）等于　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．鱼饼是温州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，而且深受外来游客的赞赏小张从事鱼饼生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户，小张把一年采购鱼饼的数量x（单位：箱）在的客户采购的数量制成下图及下表：
采购数x
客户数 10 10 5 20 5
（1）根据表格中的数据求出频率分布直方图中的数据a，b，c，并估计客户采购数的第25百分位数；
（2）为感谢新老客户的大力支持，小张要在国庆节开展促销活动．促销活动可以在门店内举行，也可以在门店外举行．已知在门店内的促销活动可以获得利润2千元；门店外的促销活动，如果不遇有雨天气可以获得利润8千元，如果遇到有雨天气则会带来经济损失3千元.9月30日气象台预报国庆节当地的降水概率是P．从利润期望的角度考虑，小张最终选择了在门店外进行促销活动，求降水概率P的取值范围．
16．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求A；
（2）如果且的面积为，求角B的大小．
17．已知正方体棱长为1，点E为正方形内（含边界）一动点．
（1）若，证明：面面；
（2）若面面，求直线EB与平面ABCD所成角的正弦值的最大值．
18．已知椭圆．
（1）若M是椭圆C的焦点，求b的值；
（2）若P为椭圆在第一象限上的点，A，B分别为椭圆的上顶点和右顶点，直线PA，PB分别与x轴和y轴交于点S和T．记，面积分别为，若为定值，求椭圆C的标准方程．
19．已知函数．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）对任意，不等式恒成立，求a的取值范围；
（3）对任意，不等式恒成立，求a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，集合，
所以.
故答案为：C
【分析】本题考查集合的化简与交集运算，核心是先根据函数定义域和方程的解分别化简集合A、B，再取两个集合的公共元素得到交集。
2．【答案】D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由通项公式，，
令，得，
可得项的系数为.
故答案为：D.
【分析】本题考查二项式展开式的通项公式应用，核心是利用二项式定理的通项公式，找到展开式中 项对应的 值，再计算其系数。
3．【答案】C
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：因为圆锥的高为2，母线与底面成角为45°，
所以母线长为.圆锥底面半径为2.
所以圆锥的表面积为.
故答案为：C.
【分析】圆锥的表面积计算，利用母线与底面的夹角求出底面半径和母线长，再代入圆锥表面积公式求解。
4．【答案】A
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：中，∵，∴，
所以在方向上的投影向量为：.
故答案为：A.
【分析】本题考查向量投影向量的计算，利用投影向量的公式计算投影向量即可。
5．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意知，为非零向量，
充分性：当a，b，c，d成等比数列时，则，所以，则，故充分性满足；
必要性：当时，则，取，显然，但a，b，c，d不成等比，故必要性不满足，
所以“a，b，c，d成等比数列”是“”的充分不必要条件，故A正确.
故答案为：A.
【分析】本题考查充分必要条件的判断，结合等比数列的性质与向量数量积的定义，分别验证充分性和必要性是否成立。
6．【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：，，，
，
，，
又的外接圆的半径为5，，
.
故答案为：B.
【分析】本题考查三角函数与正弦定理的综合应用，核心是先由同角三角函数关系求出sinA、cosA，再用倍角公式求cos2A，最后结合正弦定理求出边a，代入表达式计算结果。
7．【答案】B
【知识点】函数的值域；指数型复合函数的性质及应用；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：，在单调递减，则值域为，
当时，，则函数的值域为，
又函数的值域是，所以，
当时代入上面值域，，不符合题意；
当时代入上面值域，，符合题意；
综上，.
故答案为：B.
【分析】本题考查分段函数的值域问题，核心是分别求出两段函数的值域，再结合整个函数的值域为[ 5，+∞) 确定参数m的值。
8．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：A，当时，，
对任意实数x恒成立，所以，解得，故A错误；
B，时，，，
，即的周期不可能为4，故B错误；
C，时，，即，，故C错误；
D，由，得，
令，则，又，
所以数列是首项为，公比为3的等比数列，，
，故D正确；
故答案为：D.
【分析】A：通过赋值法（令 ），结合恒等式求解 的值；
B：通过计算特殊值 ，验证函数是否满足周期为4的条件；
C：通过赋值法（令 ）求解 ，判断 与 是否相等，验证奇偶性；
D：通过构造数列，将函数递推关系转化为等比数列，求出通项公式后求和，再与 比较大小。
9．【答案】B,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；共轭复数；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：A，复数不能比较大小，故A错误；
B，设，则，，
所以成立，故B正确；
C，方程表示在复平面内对应的点的轨迹是圆，故C正确；
D，设，则，，
，，，所以成立，故D正确.
故答案为：BCD
【分析】A：根据复数的基本性质，判断两个复数能否直接比较大小；
B：利用共轭复数的定义和复数加法运算，验证等式是否成立；
C：根据复数模的几何意义，判断轨迹形状；
D：通过复数的代数形式运算，验证复数模的乘法性质。
10．【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的性质；导数的几何意义；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由，则，
则，即，故A正确；
此时，，
令，得或；令，得，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
则时，取得极小值，故B正确；
又，，
所以的值域不是，故C错误；
因为，
则时，，
而，则恒成立，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】A：利用导数的几何意义，通过求导并代入 处的切线斜率，求解参数 ；
B：通过求导分析函数单调性，结合极值定义判断极小值的个数与大小；
C：结合函数表达式的非负性和单调性，判断值域；
D：根据函数在 上的单调性，结合 与 的大小关系，判断不等式是否恒成立。
11．【答案】A,D
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：A.当截面为四边形，说明平面截正四面体的四个面，如图，平面为平面
因为，平面，平面，所以平面，
平面，平面平面，所以，平面，平面，所以，
同理，其他棱所在直线都与平面相交，故A正确；
B.若，且，由A可知，，因为是正四面体，则，所以，则梯形为等腰梯形，不可能是直角梯形，故B错误；
C. 如图，建立空间直角坐标系，设棱长为12，则，，，，则，，，，
设平面的一个法向量，
，令，则，
则，
平面的法向量为，所以，
所以平面与平面BCD夹角的余弦值为，故C错误；
D.由，则平面与平面的夹角的取值范围，
只需考虑两个临界值，一个是点分别是的中点时，
另一个是点在处，点在处（或点在处，点在处，这两种情况两个平面的夹角一样）
设棱长为2，则第一个临界情况，当点分别是的中点时，，
，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
所以平面的一个法向量为，
平面的一个法向量，
，
第二个临界情况不妨设点在处，点在处，这时平面与平面的夹角为平面和平面的夹角，
如图，取的中点，连结，
则，，所以为平面与平面的夹角，
，，，
所以平面与平面BCD夹角的余弦值的取值范围为，故D正确.
故答案为：AD
【分析】A：利用线面平行的判定定理，分析截面为平行四边形时正四面体中与截面平行的棱；
B：通过正四面体的对称性，判断截面梯形是否可能为直角梯形；
C：建立空间直角坐标系，通过法向量计算平面夹角；
D：根据点的位置关系，确定平面的临界状态，分析二面角的取值。
12．【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：由题意可得
.
故答案为：.
【分析】本题考查概率的加法公式，核心是利用并事件（和事件）的概率公式 P(A+B)=P(A∪B)=P(A)+P(B) P(AB)，对表达式 P(A+B)+P(AB)进行化简求值。
13．【答案】10
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为边和上的两条中线和相交于点，
所以点为的重心，则，
因为是边的中点，
所以，即，
所以.
故答案为：10
【分析】本题考查三角形重心的向量性质与向量数量积运算，核心是利用重心的向量表示，将 用 、 线性表示，再通过数量积公式计算结果。
14．【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】解：设的角平分线交与，
，，设，
则，
又，，
所以，，
又为的角平分线，所以，
，，
在中，，
在中，，
所以，
整理得，，解得（舍去），
所以，
在中，，
又，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】本题考查双曲线的离心率计算，核心是利用双曲线定义、角平分线定理、正弦定理与余弦定理，通过设参数、找角度关系、列方程求解离心率的平方。
15．【答案】（1）解：
第25百分位数落在区间内，
设第25百分位数为x，
由
得到．
（2）解：设在门店内促销的利润为X千元，
设在门店内促销的利润为Y千元， Y的分布列为
Y 8
P p
由题意得，即.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1) 根据客户数计算各组频率，再结合频率分布直方图的定义求a，b，c；利用百分位数的定义求解第25百分位数。
(2) 计算门店外促销的利润期望，结合门店内利润期望，列不等式求解降水概率的取值范围。
（1）
第25百分位数落在区间内，
设第25百分位数为x，
由
得到．
（2）设在门店内促销的利润为X千元，
设在门店内促销的利润为Y千元， Y的分布列为
Y 8
P p
由题意得，即.
16．【答案】（1）解：由两角和差公式，
由正弦定理
又在中，，
则
进而
因为，
所以，即．
因为，所以，即．
（2）解：根据正弦定理，，
所以的面积为
．
由，
可得，
因为，
所以或，所以或．
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 利用两角和差公式、正弦定理化简已知等式，结合三角形内角和定理，求出角A的大小。
(2) 先由面积公式和正弦定理求出b、c的关系，再结合三角恒等变换求解角B。
（1）由两角和差公式，
由正弦定理
又在中，，
则
进而
因为，
所以，即．
因为，所以，即．
（2）方法一：根据正弦定理，，
所以的面积为
．
由，
可得，
因为，
所以或，所以或．
方法二：根据三角形面积公式，，
可得，
结合，
可得或者．
当时，，所以；
当时，，所以；
因此或．
17．【答案】（1）证明：因为，所以三点共线，
所以，又因为，所以．
因为面ABCD，面ABCD，所以．
因为面面，所以面．
又因为面，所以面面．
（2）解：由
可知．
从而．
又因为，
所以E在线段上．
过E做平面ABCD的垂线且交于F，则F在直线AC上，连BF，BE
则即为直线EB与平面ABCD所成角
．
取最短时，取最大，
在中，，
为中点时，，此时最短，
．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1) 利用线面垂直的判定定理，证明 平面 ，从而推出面面垂直。
(2) 先确定点 的轨迹，再根据线面角的定义，求其正弦值的最大值。
（1）因为，所以三点共线，
所以，又因为，所以．
因为面ABCD，面ABCD，所以．
因为面面，所以面．
又因为面，所以面面．
（2）方法一：
由
可知．
从而．
又因为，
所以E在线段上．
过E做平面ABCD的垂线且交于F，则F在直线AC上，连BF，BE
则即为直线EB与平面ABCD所成角
．
取最短时，取最大，
在中，，
为中点时，，此时最短，
．
方法二：
以D为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
那么，设．
由，
可得面的一个法向量为，
由，
可得面的一个法向量为．
于是由可得．
所以．面ABCD的一个法向量为．
设直线EB与平面ABCD所成角为，那么
．
因此当时取到最大值．
18．【答案】（1）解：由M是椭圆C的焦点，得半焦距，所以.
（2）解：设点，由为椭圆在第一象限上的点，得，
依题意，，直线，直线 ，
于是，
，解得，
所以椭圆C的标准方程为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】(1) 根据椭圆焦点坐标与标准方程的关系，求出b的值。
(2) 设点P的坐标，求出直线PA、PB的方程，进而得到S、T的坐标，计算面积差并化简，求出b的值。
（1）由M是椭圆C的焦点，得半焦距，所以.
（2）设点，由为椭圆在第一象限上的点，得，
依题意，，直线，直线 ，
于是，
，解得，
所以椭圆C的标准方程为.
19．【答案】（1）解：此时，从而
所以当时，当时
因此的增区间是，的减区间是
（2）解：得
则在上单增
唯一，得
当时，单减，
当时，单增，
又
得
因为关于递减，而且当时
所以，进而
（3）解：得
在上单增，则得恒成立
得
当时，单增
当时，单减
因为，则
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1) 代入，求导分析导数符号，确定单调区间。
(2) 构造函数，通过导数分析其单调性与最小值，利用隐零点法求解的范围。
(3) 分离变量并利用函数单调性，结合的最小值求解的范围。
（1）此时，从而
所以当时，当时
因此的增区间是，的减区间是
（2）得
则在上单增
唯一，得
当时，单减，
当时，单增，
又
得
因为关于递减，而且当时
所以，进而
（3）得
在上单增，则得恒成立
得
当时，单增
当时，单减
因为，则
1 / 1浙江省温州市十校联合体2024-2025学年高二下学期6月期末联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，集合，
所以.
故答案为：C
【分析】本题考查集合的化简与交集运算，核心是先根据函数定义域和方程的解分别化简集合A、B，再取两个集合的公共元素得到交集。
2．展开式中的系数是（　　）
A．1 B． C． D．3
【答案】D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由通项公式，，
令，得，
可得项的系数为.
故答案为：D.
【分析】本题考查二项式展开式的通项公式应用，核心是利用二项式定理的通项公式，找到展开式中 项对应的 值，再计算其系数。
3．已知圆锥高为2，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：因为圆锥的高为2，母线与底面成角为45°，
所以母线长为.圆锥底面半径为2.
所以圆锥的表面积为.
故答案为：C.
【分析】圆锥的表面积计算，利用母线与底面的夹角求出底面半径和母线长，再代入圆锥表面积公式求解。
4．在中，，那么向量在上的投影向量是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：中，∵，∴，
所以在方向上的投影向量为：.
故答案为：A.
【分析】本题考查向量投影向量的计算，利用投影向量的公式计算投影向量即可。
5．设a，b，c，d是非零实数，，则“a，b，c，d成等比数列”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意知，为非零向量，
充分性：当a，b，c，d成等比数列时，则，所以，则，故充分性满足；
必要性：当时，则，取，显然，但a，b，c，d不成等比，故必要性不满足，
所以“a，b，c，d成等比数列”是“”的充分不必要条件，故A正确.
故答案为：A.
【分析】本题考查充分必要条件的判断，结合等比数列的性质与向量数量积的定义，分别验证充分性和必要性是否成立。
6．已知的外接圆的半径为5，a是角A的对边，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：，，，
，
，，
又的外接圆的半径为5，，
.
故答案为：B.
【分析】本题考查三角函数与正弦定理的综合应用，核心是先由同角三角函数关系求出sinA、cosA，再用倍角公式求cos2A，最后结合正弦定理求出边a，代入表达式计算结果。
7．已知函数的值域是，则m的值为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的值域；指数型复合函数的性质及应用；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：，在单调递减，则值域为，
当时，，则函数的值域为，
又函数的值域是，所以，
当时代入上面值域，，不符合题意；
当时代入上面值域，，符合题意；
综上，.
故答案为：B.
【分析】本题考查分段函数的值域问题，核心是分别求出两段函数的值域，再结合整个函数的值域为[ 5，+∞) 确定参数m的值。
8．已知函数的定义域为，且对任意实数x，y都有，，则下列说法正确的是（　　）
A． B．的周期是4
C．是偶函数 D．
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：A，当时，，
对任意实数x恒成立，所以，解得，故A错误；
B，时，，，
，即的周期不可能为4，故B错误；
C，时，，即，，故C错误；
D，由，得，
令，则，又，
所以数列是首项为，公比为3的等比数列，，
，故D正确；
故答案为：D.
【分析】A：通过赋值法（令 ），结合恒等式求解 的值；
B：通过计算特殊值 ，验证函数是否满足周期为4的条件；
C：通过赋值法（令 ）求解 ，判断 与 是否相等，验证奇偶性；
D：通过构造数列，将函数递推关系转化为等比数列，求出通项公式后求和，再与 比较大小。
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9．已知为复数，则下列结论一定正确的是（　　）
A．如果，那么
B．
C．方程表示在复平面内对应的点的轨迹是圆
D．
【答案】B,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；共轭复数；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：A，复数不能比较大小，故A错误；
B，设，则，，
所以成立，故B正确；
C，方程表示在复平面内对应的点的轨迹是圆，故C正确；
D，设，则，，
，，，所以成立，故D正确.
故答案为：BCD
【分析】A：根据复数的基本性质，判断两个复数能否直接比较大小；
B：利用共轭复数的定义和复数加法运算，验证等式是否成立；
C：根据复数模的几何意义，判断轨迹形状；
D：通过复数的代数形式运算，验证复数模的乘法性质。
10．已知函数在处的切线斜率为2，则下列命题正确的是（　　）
A．
B．有且只有一个极小值，且极小值等于
C．的值域是
D．若，则恒成立
【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的性质；导数的几何意义；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由，则，
则，即，故A正确；
此时，，
令，得或；令，得，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
则时，取得极小值，故B正确；
又，，
所以的值域不是，故C错误；
因为，
则时，，
而，则恒成立，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】A：利用导数的几何意义，通过求导并代入 处的切线斜率，求解参数 ；
B：通过求导分析函数单调性，结合极值定义判断极小值的个数与大小；
C：结合函数表达式的非负性和单调性，判断值域；
D：根据函数在 上的单调性，结合 与 的大小关系，判断不等式是否恒成立。
11．用平面截如图放置的正四面体ABCD，下列说法正确的是（　　）
A．当截面为平行四边形时，正四面体有两条棱所在的直线平行平面
B．截面可能是直角梯形
C．若平面分别与棱AB，AC，AD交于点E，F，G，，，，则平面与平面BCD夹角的余弦值为
D．设点F在棱AC上，点G在棱AD上（均包含端点），且，，其中．如果平面经过B，F，G三点，那么平面与平面BCD夹角的余弦值的取值范围为
【答案】A,D
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：A.当截面为四边形，说明平面截正四面体的四个面，如图，平面为平面
因为，平面，平面，所以平面，
平面，平面平面，所以，平面，平面，所以，
同理，其他棱所在直线都与平面相交，故A正确；
B.若，且，由A可知，，因为是正四面体，则，所以，则梯形为等腰梯形，不可能是直角梯形，故B错误；
C. 如图，建立空间直角坐标系，设棱长为12，则，，，，则，，，，
设平面的一个法向量，
，令，则，
则，
平面的法向量为，所以，
所以平面与平面BCD夹角的余弦值为，故C错误；
D.由，则平面与平面的夹角的取值范围，
只需考虑两个临界值，一个是点分别是的中点时，
另一个是点在处，点在处（或点在处，点在处，这两种情况两个平面的夹角一样）
设棱长为2，则第一个临界情况，当点分别是的中点时，，
，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
所以平面的一个法向量为，
平面的一个法向量，
，
第二个临界情况不妨设点在处，点在处，这时平面与平面的夹角为平面和平面的夹角，
如图，取的中点，连结，
则，，所以为平面与平面的夹角，
，，，
所以平面与平面BCD夹角的余弦值的取值范围为，故D正确.
故答案为：AD
【分析】A：利用线面平行的判定定理，分析截面为平行四边形时正四面体中与截面平行的棱；
B：通过正四面体的对称性，判断截面梯形是否可能为直角梯形；
C：建立空间直角坐标系，通过法向量计算平面夹角；
D：根据点的位置关系，确定平面的临界状态，分析二面角的取值。
三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.
12．已知、为一次试验中的两个事件，，，则　 　．
【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：由题意可得
.
故答案为：.
【分析】本题考查概率的加法公式，核心是利用并事件（和事件）的概率公式 P(A+B)=P(A∪B)=P(A)+P(B) P(AB)，对表达式 P(A+B)+P(AB)进行化简求值。
13．在中，，边和上的两条中线和相交于点，那么的值为　 　．
【答案】10
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为边和上的两条中线和相交于点，
所以点为的重心，则，
因为是边的中点，
所以，即，
所以.
故答案为：10
【分析】本题考查三角形重心的向量性质与向量数量积运算，核心是利用重心的向量表示，将 用 、 线性表示，再通过数量积公式计算结果。
14．如图所示，已知双曲线的左右焦点分别为和，过和分别作两条互相平行的直线和，与双曲线的左支交于A、B两点（A在x轴上方），与双曲线的右支交于C、D两点（C在x轴上方），若，，则（e是双曲线的离心率）等于　 　．
【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】解：设的角平分线交与，
，，设，
则，
又，，
所以，，
又为的角平分线，所以，
，，
在中，，
在中，，
所以，
整理得，，解得（舍去），
所以，
在中，，
又，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】本题考查双曲线的离心率计算，核心是利用双曲线定义、角平分线定理、正弦定理与余弦定理，通过设参数、找角度关系、列方程求解离心率的平方。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．鱼饼是温州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，而且深受外来游客的赞赏小张从事鱼饼生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户，小张把一年采购鱼饼的数量x（单位：箱）在的客户采购的数量制成下图及下表：
采购数x
客户数 10 10 5 20 5
（1）根据表格中的数据求出频率分布直方图中的数据a，b，c，并估计客户采购数的第25百分位数；
（2）为感谢新老客户的大力支持，小张要在国庆节开展促销活动．促销活动可以在门店内举行，也可以在门店外举行．已知在门店内的促销活动可以获得利润2千元；门店外的促销活动，如果不遇有雨天气可以获得利润8千元，如果遇到有雨天气则会带来经济损失3千元.9月30日气象台预报国庆节当地的降水概率是P．从利润期望的角度考虑，小张最终选择了在门店外进行促销活动，求降水概率P的取值范围．
【答案】（1）解：
第25百分位数落在区间内，
设第25百分位数为x，
由
得到．
（2）解：设在门店内促销的利润为X千元，
设在门店内促销的利润为Y千元， Y的分布列为
Y 8
P p
由题意得，即.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1) 根据客户数计算各组频率，再结合频率分布直方图的定义求a，b，c；利用百分位数的定义求解第25百分位数。
(2) 计算门店外促销的利润期望，结合门店内利润期望，列不等式求解降水概率的取值范围。
（1）
第25百分位数落在区间内，
设第25百分位数为x，
由
得到．
（2）设在门店内促销的利润为X千元，
设在门店内促销的利润为Y千元， Y的分布列为
Y 8
P p
由题意得，即.
16．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求A；
（2）如果且的面积为，求角B的大小．
【答案】（1）解：由两角和差公式，
由正弦定理
又在中，，
则
进而
因为，
所以，即．
因为，所以，即．
（2）解：根据正弦定理，，
所以的面积为
．
由，
可得，
因为，
所以或，所以或．
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 利用两角和差公式、正弦定理化简已知等式，结合三角形内角和定理，求出角A的大小。
(2) 先由面积公式和正弦定理求出b、c的关系，再结合三角恒等变换求解角B。
（1）由两角和差公式，
由正弦定理
又在中，，
则
进而
因为，
所以，即．
因为，所以，即．
（2）方法一：根据正弦定理，，
所以的面积为
．
由，
可得，
因为，
所以或，所以或．
方法二：根据三角形面积公式，，
可得，
结合，
可得或者．
当时，，所以；
当时，，所以；
因此或．
17．已知正方体棱长为1，点E为正方形内（含边界）一动点．
（1）若，证明：面面；
（2）若面面，求直线EB与平面ABCD所成角的正弦值的最大值．
【答案】（1）证明：因为，所以三点共线，
所以，又因为，所以．
因为面ABCD，面ABCD，所以．
因为面面，所以面．
又因为面，所以面面．
（2）解：由
可知．
从而．
又因为，
所以E在线段上．
过E做平面ABCD的垂线且交于F，则F在直线AC上，连BF，BE
则即为直线EB与平面ABCD所成角
．
取最短时，取最大，
在中，，
为中点时，，此时最短，
．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1) 利用线面垂直的判定定理，证明 平面 ，从而推出面面垂直。
(2) 先确定点 的轨迹，再根据线面角的定义，求其正弦值的最大值。
（1）因为，所以三点共线，
所以，又因为，所以．
因为面ABCD，面ABCD，所以．
因为面面，所以面．
又因为面，所以面面．
（2）方法一：
由
可知．
从而．
又因为，
所以E在线段上．
过E做平面ABCD的垂线且交于F，则F在直线AC上，连BF，BE
则即为直线EB与平面ABCD所成角
．
取最短时，取最大，
在中，，
为中点时，，此时最短，
．
方法二：
以D为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
那么，设．
由，
可得面的一个法向量为，
由，
可得面的一个法向量为．
于是由可得．
所以．面ABCD的一个法向量为．
设直线EB与平面ABCD所成角为，那么
．
因此当时取到最大值．
18．已知椭圆．
（1）若M是椭圆C的焦点，求b的值；
（2）若P为椭圆在第一象限上的点，A，B分别为椭圆的上顶点和右顶点，直线PA，PB分别与x轴和y轴交于点S和T．记，面积分别为，若为定值，求椭圆C的标准方程．
【答案】（1）解：由M是椭圆C的焦点，得半焦距，所以.
（2）解：设点，由为椭圆在第一象限上的点，得，
依题意，，直线，直线 ，
于是，
，解得，
所以椭圆C的标准方程为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】(1) 根据椭圆焦点坐标与标准方程的关系，求出b的值。
(2) 设点P的坐标，求出直线PA、PB的方程，进而得到S、T的坐标，计算面积差并化简，求出b的值。
（1）由M是椭圆C的焦点，得半焦距，所以.
（2）设点，由为椭圆在第一象限上的点，得，
依题意，，直线，直线 ，
于是，
，解得，
所以椭圆C的标准方程为.
19．已知函数．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）对任意，不等式恒成立，求a的取值范围；
（3）对任意，不等式恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）解：此时，从而
所以当时，当时
因此的增区间是，的减区间是
（2）解：得
则在上单增
唯一，得
当时，单减，
当时，单增，
又
得
因为关于递减，而且当时
所以，进而
（3）解：得
在上单增，则得恒成立
得
当时，单增
当时，单减
因为，则
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1) 代入，求导分析导数符号，确定单调区间。
(2) 构造函数，通过导数分析其单调性与最小值，利用隐零点法求解的范围。
(3) 分离变量并利用函数单调性，结合的最小值求解的范围。
（1）此时，从而
所以当时，当时
因此的增区间是，的减区间是
（2）得
则在上单增
唯一，得
当时，单减，
当时，单增，
又
得
因为关于递减，而且当时
所以，进而
（3）得
在上单增，则得恒成立
得
当时，单增
当时，单减
因为，则
1 / 1

展开更多......

收起↑