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河南省平顶山市鲁山县第十二初级中学、第二十七初级中学2026届九年级下学期第一次调研考试数学试卷
一、单选题
1．比小的数是（ ）
A． B． C． D．
2．随着微电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度减小，在芯片上的某种电子元件大约只占，将用科学记数法表示为( )
A． B． C． D．
3．如图，方格纸上每个小正方形的边长都相同，若使阴影部分能折叠成一个正方体，则需剪掉一个小正方形，剪掉的小正方形不可以是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．将一个含角的三角尺和直尺按如图摆放，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．用配方法解方程时，配方后得到的方程为（　　）
A． B． C． D．
7．为了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类节目的喜爱情况，班主任对全班50名同学进行了问卷调查（每名同学只选其中的一类），依据50份问卷调查结果绘制了全班同学喜爱节目情况扇形统计图（如图所示）．下列说法正确的是（ ）
A．班主任采用的是抽样调查 B．喜爱动画节目的同学最多
C．喜爱戏曲节目的同学有6名 D．“体育”对应扇形的圆心角为
8．数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（ ）（精确到1m．参考数据：，，，）
A．28m B．34m C．37m D．46m
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的BC边的中点O在坐标原点上，，，轴，将菱形ABCD绕原点O逆时针旋转90°，点A的对应点为点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．计算：___________．
12．关于的一元二次方程有实数根，请写出一个符合题意的的值______．
13．二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为______．
14．甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则______．

15．已知平面内有一角，一圆与这个角的两边都有两个交点，若此圆在角的边上截得的两条线恰好各是某正五边形的一边，那么这个角的度数为__________．
三、解答题
16．解方程组和不等式组：
(1)；
(2)．
17．为加强劳动教育，学校制定了《劳动习惯养成计划》，实施“家校社”联动行动，引导学生参与家务劳动、公益劳动等实践活动．学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查，两次调查均随机抽取50名学生．根据收集到的数据，将劳动时间（单位：）分为，四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，学期末调查数据扇形图和两次调查数据的平均数、中位数、众数统计表，部分信息如下．
学期初调查数据条形图 学期末调查数据扇形图
两次调查数据统计表
时间 平均数 中位数 众数
学期初 2.8 2.9 2.8
学期末 3.5 3.6 3.6
(1)在学期初调查数据条形图中，B组人数是______人，并补全条形图；
(2)七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数；
(3)该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有没有提高？结合统计数据说明理由．
18．如图一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，且点的坐标为，点的坐标为．
(1)求，的值和反比例函数的解析式；
(2)点关于原点的对称点为，在轴上找一点，使的值最小，并求出点的坐标．
19．开启作角平分线的智慧之窗．
问题：作的平分线．
作法：如图，甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线．
讨论：大家对甲同学的作法深信不疑，认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是______________；
大家对乙同学的作法半信半疑，通过讨论最终确定为角平分线．判断的理由是：
，，（依据______________）．
任务：
(1)请你将上述讨论过程补充完整．
(2)完成对丙同学作法的验证．已知，，求证：平分．
20．随着“双减”政策的落实，中学生有了更多的课余时间进行户外运动，为此某校决定购买一批体育器材，已知足球的单价比排球的单价多30元，且用500元购得排球，排球的数量与用800元购得足球的数量相同．
(1)排球，足球的单价各是多少元．
(2)若该校准备购买排球和足球共11个，且足球不少于2个．设购买排球和足球所需费用为y元，排球有x个，求y与x之间的函数关系式，并设计一种费用最少的购买方案，写出最少费用．
21．已知是的直径，是的弦．
(1)如图①，若为的中点，，求和的大小；
(2)如图②，过点作的切线交延长线于点，连接，若是的直径，，，求的长．
22．已知抛物线（a为常数）经过点．
(1)求a的值．
(2)过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值．
(3)设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间．若直线之间的距离为16，求的最大值．
23．如图，在中，，点D在射线上，连接，将绕点D逆时针旋转α，得到线段，连接．
(1)当点D落在线段上时，
①如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系是 ， °；
②如图2，当时，请判断线段与的数量关系，并给出证明；
(2)当时，过点A作交于点N，若，猜想与的数量关系并说明理由．
参考答案及解析
1．B
解析：解：由题意得，
故选：B．
2．B
解析：0.00000065=6.5×10 7
故选：B
3．D
解析：解：根据题意可知，剪去①或②或③可以围成一个正方体，剪去④不能围成正方体．
故选：D．
4．D
解析：A．，故A错误，不符合题意；
B．，故B错误，不符合题意；
C．，故C错误，不符合题意；
D．，故D正确，符合题意．
5．C
解析：解：如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C
6．A
解析：解：∵，
∴，
∴.
故选：A.
7．D
解析：全班共50名学生，班主任制作了50份问卷调查，
所以班主任采用的是全面调查，
故A选项错误；
喜爱娱乐节目的同学所占的百分比最多，因此喜爱娱乐节目的同学最多，
故B选项错误；
喜爱戏曲节目的同学有名，
故C选项错误；
“体育”对应扇形的圆心角为，
故D选项正确．
故选：D．
8．C
解析：解：在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，
∴，
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，
∴，
解得：m，
故选：C．
9．D
解析：如图1，连接OA，∵，点O为菱形ABCD中BC边的中点，∴，，∴，∴，由旋转的性质可知，，在中，，，∴，∴点的坐标为，故选D．
10．D
解析：解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
11．
解析：解：原式.
12．2（答案不唯一）
解析：解：根据题意得：，
解得：，
所以当取2时，方程有两个不相等的实数根．
故答案为：2（答案不唯一）．
13．
解析：解：二十四个节气中选一个节气，抽到的节气在夏季的有六个，
则抽到的节气在夏季的概率为，
故答案为：．
14．99
解析：解：由题意可知：重叠部分为： ，
设重叠部分的长度为k，则，，
重叠后的总长度为：，即，
代入，得：，
解得：，
∴，，
∴，
故答案为：99．
15．或
解析：如图，当角的顶点在圆上时，如交的两边，截取的两条弦为，此时恰好是正五边形的一个内角，
∴；
当角的顶点在圆外部，即交的两边，截取的两条弦为时，
则，
∴，
∴；
综上：这个角的大小是或；
故答案为：或．
16．(1)
(2)
解析：（1）解：
，得，解得．
把代入①，得，解得．
方程组的解为．
（2）解：
由①，得，
由②，得．
不等式组的解集为．
17．(1)，补全图形见解析
(2)人
(3)有提高，理由见解析
解析：（1）解：在学期初调查数据条形图中，B组人数是人，
补全条形图如下：
；
（2）解：七年级有500名学生，估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数有：
（人）.
答：学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于的人数有340人；
（3）解：由表格信息可得：学期末比学期初的一周参与劳动时间的平均数，中位数，众数都增加了，
∴该校七年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有提高.
18．(1)，，
(2)见解析；点的坐标为
解析：（1）解：将，分别代入，得，．
解得，．
，．
将代入，得．
反比例函数的解析式为．
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则的值为最小，点为所求作的点．
，点与点关于原点对称，
点的坐标为．
，点和点关于轴对称，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
将，代入，
得，解得．
直线的解析式为．
对于，当时，．
点的坐标为．
19．(1)；等腰三角形的三线合一
(2)见解析
解析：（1）解：甲同学：如图，
由作图得，，
在与中，
，
，
，
其判定全等的方法是；
乙同学：，，
（等腰三角形的三线合一）；
（2）证明：∵，
，
，
，
．
，即．
平分．
20．(1)排球的单价为50元，足球的单价为80元
(2)费用最少的购买方案为：购买排球9个，足球2个，最少费用为610元
解析：（1）解：设排球的单价为a元，则足球的单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验是分式方程的解且符合题意，
∴，
答：排球的单价为50元，足球的单价为80元．
（2）解：根据题意，得，
∵，解得，
在中，，
∴y随的增大而减小，
∴当时，取得最小值，，
此时，
即费用最少的购买方案为：购买排球9个，足球2个，最少费用为610元．
21．(1)，；
(2)
解析：（1）解：是的直径，
，
，
，
为的中点，
，
，
，
；
（2）解：是的切线，是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．
22．(1)
(2)
(3)8
解析：（1）解：把代入，得：，
解得：；
（2）由（1）知：，
∴对称轴为直线，
∵点在轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，
∴关于对称轴对称，的纵坐标均为，
又∵点B为线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∴代入，得：，
∴；
（3）∵，
∴抛物线的顶点坐标，
当抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间时，
为直线与抛物线的交点，
∴要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称，
又∵直线之间的距离为16，为定值，
∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，如图：
∴当时，解得：，
即：，
∴的最大值为：．
23．(1)①；120，②，证明见解析
(2)或，理由见解析
解析：（1）解：①∵将绕点D逆时针旋转，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：，；
②∵，
∴，
∵，
∴和是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
；
（2）解：如图3，当点D在线段上时，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点D在线段的延长线上时，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或．

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