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单元检测五　平面向量与复数
(时间：120分钟　分值：150分)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2025·北京西城区期末)设i为虚数单位，a，b∈R，且a+bi=2i(1+i)，则a+b等于(　　)
A.-4 B.0 C.-4i D.4
2.(2025·青岛模拟)已知a=(1，1)，b=(1，-2)，则a在b上的投影向量为(　　)
A. B.
C. D.
3.(2026·广州模拟)已知|a|=2，|b|=1，且a·b=-1，则|a-2b|等于(　　)
A.3 B.4 C.2 D.12
4.(2026·肇庆模拟)已知点O(0，0)，向量=(2，3)，=(8，-3)，点P是线段AB靠近点A的三等分点，则点P的坐标为(　　)
A.(-4，-1) B.(4，1)
C.(2，-2) D.(-2，2)
5.(2026·杭州模拟)若复数z=为纯虚数，i为虚数单位，则的虚部为(　　)
A.1 B.i C.-1 D.-i
6.(2025·合肥模拟)已知向量e1=(1，0)，e2=(1，)，设a=4e1+e2，b=3e1-e2，则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
7.(2026·咸阳模拟)如图，已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·+SB·+SC·=0.若O是锐角△ABC内一点，A，B，C是△ABC的三个内角，且点O满足·=·=·，则下列说法不正确的是(　　)
A.点O是△ABC的垂心
B.||∶||∶||=cos A∶cos B∶cos C
C.∠BOC+A<π
D.tan A·+tan B·+tan C·=0
8.(2025·北京丰台区模拟)在平行四边形ABCD中，E为边BC上的动点，O为△ABD外接圆的圆心，2=+，且||=||=2，则·的最大值为(　　)
A.3 B.4 C.6 D.8
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知向量a=(2，1)，b=(1，x)，则(　　)
A.当a∥b时，x=
B.当|a+2b|=5时，x=1
C.当x=1时，a在b方向上的投影向量为b
D.当a与b的夹角为锐角时，x的取值范围是(-2，+∞)
10.(2025·郑州模拟)已知复数z满足|z+1|+|z-1|=4，则下列说法正确的是(　　)
A.|z|≤2 B.|z-1|≥1
C.若z∈R，则|z|=2 D.若z2∈R，则|z|=2
11.(2025·盐城检测)已知||=||=2，与的夹角为，若||=2且=x+y(x≥0，y≥0)，则下列说法正确的是(　　)
A.当y=0时，在上的投影向量为
B.当x=y时，·=0
C.当x=时，y=
D.·的最大值为0
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.(2025·广州模拟)已知i是虚数单位，若复数z满足z(1-i)=(1+i)2，则|z|=　　　　.
13.(2025·广安模拟)已知在△ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=60°，=3，P在CD上，=+λ(λ∈R)，则·=　　　　　.
14.(2025·柳州模拟)在△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=3，P为△ABC内一点，且AP=1.若=λ+μ，λ，μ∈R，则2λ+3μ的最大值为　　　　.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知复数z=1+bi(b∈R，i为虚数单位)，z在复平面上对应的点在第四象限，且满足z·=4.
(1)求实数b的值；(5分)
(2)若复数z是关于x的方程px2+2x+q=0(p≠0，且p，q∈R)的一个复数根，求p+q的值.(8分)
16.(15分)已知复数z=m-i(m∈R)，且·(1+3i)为纯虚数(是z的共轭复数).
(1)求实数m的值；(4分)
(2)设复数z1=，求|z1|；(5分)
(3)若复数z2=在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.(6分)
17.(15分)长江某地南北两岸平行.如图所示，江面宽度d=1 km，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度v1的大小为10 km/h，水流速度v2的大小为4 km/h，方向向东.设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°)，北岸的点A'在A的正北方向.回答下面的问题.
(1)当θ=120°时，判断游船航行到达北岸的位置在A'的东侧还是西侧，并说明理由；(7分)
(2)当cos θ为多大时，游船能到达A'处？需要航行多长时间？(8分)
18.(17分)如图，在△ABC中，=，点E为AC的中点，点F为BC的三等分点，且靠近点C，设=a，=b.
(1)用a，b表示，；(5分)
(2)若|a|=3，|b|=4，求·；(5分)
(3)如果∠ACB=60°，AC=2，且CD⊥EF，求||.(7分)
19.(17分)假设e1，e2为平面中不共线的单位向量，〈e1，e2〉=θ，则对任意向量a，存在唯一一组实数λ1，λ2，使得a=λ1e1+λ2e2，这样我们就得到了从平面向量到全体二元有序数组的一一对应关系，这样就产生了仿射坐标系，有序数组(λ1，λ2)叫做向量a的斜坐标.
(1)若的斜坐标为(1，2)，θ=，求与垂直的单位向量的斜坐标；(5分)
(2)在夹角为θ的仿射坐标系中，设m=(x1，y1)，n=(x2，y2)，求证：
①m·n=x1x2+y1y2+(x1y2+x2y1)cos θ；(3分)
②|m|=；(3分)
(3)在△ABD中，DF为边AB的中线，过B点作DF的垂线，交DF于C，交AD于E，此时=，求cos A的最小值.(6分)
单元检测五　平面向量与复数
(时间：120分钟　分值：150分)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2025·北京西城区期末)设i为虚数单位，a，b∈R，且a+bi=2i(1+i)，则a+b等于(　　)
A.-4 B.0 C.-4i D.4
答案　B
解析　2i(1+i)=2i-2=a+bi，
又a，b∈R，根据复数的相等，
故a=-2，b=2.则a+b=0.
2.(2025·青岛模拟)已知a=(1，1)，b=(1，-2)，则a在b上的投影向量为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　a在b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉·=·=·b=(1，-2)=.
3.(2026·广州模拟)已知|a|=2，|b|=1，且a·b=-1，则|a-2b|等于(　　)
A.3 B.4 C.2 D.12
答案　C
解析　由题可得，|a-2b|2=|a|2-4a·b+4|b|2=4+4+4=12，
所以|a-2b|=2.
4.(2026·肇庆模拟)已知点O(0，0)，向量=(2，3)，=(8，-3)，点P是线段AB靠近点A的三等分点，则点P的坐标为(　　)
A.(-4，-1) B.(4，1)
C.(2，-2) D.(-2，2)
答案　B
解析　由题意得=，
所以-=-)，
即=+=(2，3)+(8，-3)=(4，1)，
所以点P的坐标为(4，1).
5.(2026·杭州模拟)若复数z=为纯虚数，i为虚数单位，则的虚部为(　　)
A.1 B.i C.-1 D.-i
答案　A
解析　由题意得，z====-i是纯虚数，
所以=0，≠0，
所以a=1，所以z=-i，
所以=i，则的虚部为1.
6.(2025·合肥模拟)已知向量e1=(1，0)，e2=(1，)，设a=4e1+e2，b=3e1-e2，则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　因为e1=(1，0)，e2=(1，)，
所以a=4e1+e2=(4，0)+(1，)=(5，)，
b=3e1-e2=(3，0)-(1，)=(2，-)，
所以a·b=5×2+×(-)=7，|a|==2，
|b|==，
设a与b的夹角为θ，
则cos θ===，又θ∈[0，π]，
所以θ=，即a与b的夹角为.
7.(2026·咸阳模拟)如图，已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·+SB·+SC·=0.若O是锐角△ABC内一点，A，B，C是△ABC的三个内角，且点O满足·=·=·，则下列说法不正确的是(　　)
A.点O是△ABC的垂心
B.||∶||∶||=cos A∶cos B∶cos C
C.∠BOC+A<π
D.tan A·+tan B·+tan C·=0
答案　C
解析　因为·=·，
所以·(-)=·=0，
则OB⊥CA.
同理可得OA⊥BC，OC⊥AB，
所以点O是△ABC的垂心，故A正确；
如图，延长BO，CO分别交AC，AB于D，E两点.
由A项可知，BD⊥AC，CE⊥AB，
所以∠BAC+∠ACE=，∠ACE+∠COD=.
所以A=∠BAC=∠COD.
又因为∠COD+∠BOC=π，
所以∠BAC+∠BOC=A+∠BOC=π，故C不正确；
由C项可知，·=||||cos∠BOC=-||||cos A.
同理可得·=-||||cos C，
·=-||||cos B.
又因为·=·=·，
所以-||||cos C=-||||cos A=-||||cos B，
所以||∶||∶||=cos A∶cos B∶cos C，故B正确；
由C项可知，SC=||||sin∠AOB=||||sin C，
同理可得SA=||||sin A，
SB=||||sin B，
所以SA∶SB∶SC=∶∶.
又因为||∶||∶||=cos A∶cos B∶cos C，
所以SA∶SB∶SC=tan A∶tan B∶tan C.
因为SA·+SB·+SC·=0，
所以tan A·+tan B·+tan C·=0，故D正确.
8.(2025·北京丰台区模拟)在平行四边形ABCD中，E为边BC上的动点，O为△ABD外接圆的圆心，2=+，且||=||=2，则·的最大值为(　　)
A.3 B.4 C.6 D.8
答案　C
解析　由2=+可知O为AB的中点，又因为O为△ABD外接圆的圆心，
所以△ABD为直角三角形，DA⊥DB，所以·=0，
又因为||=||=2，所以||=4，
所以||=2，
又因为E为边BC上的动点，
所以=λ，λ∈[0，1]，
·=+)·(+)=+)·(+λ)
=+)·(-λ)=-λ)=-λ)
==(12-4λ)=6-2λ，
因为λ∈[0，1]，所以-2λ∈[-2，0]，
即6-2λ∈[4，6]，
所以·的最大值为6.
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知向量a=(2，1)，b=(1，x)，则(　　)
A.当a∥b时，x=
B.当|a+2b|=5时，x=1
C.当x=1时，a在b方向上的投影向量为b
D.当a与b的夹角为锐角时，x的取值范围是(-2，+∞)
答案　AC
解析　对于A，由a∥b，得2x-1=0，解得x=，故A正确；
对于B，∵a+2b=(2，1)+2(1，x)=(4，1+2x)，|a+2b|=5，
∴=5，解得x=1或x=-2，故B错误；
对于C，当x=1时，b=(1，1)，
∴a在b方向上的投影向量为·b=b，故C正确；
对于D，当a与b的夹角为锐角时，则a·b>0，且a与b不共线，
∴解得x>-2且x≠，故D错误.
10.(2025·郑州模拟)已知复数z满足|z+1|+|z-1|=4，则下列说法正确的是(　　)
A.|z|≤2 B.|z-1|≥1
C.若z∈R，则|z|=2 D.若z2∈R，则|z|=2
答案　ABC
解析　设z=m+ni(m，n∈R)，则复数z在复平面内对应点P(m，n)，设F1(-1，0)，F2(1，0)，
则|z+1|=|m+1+ni|==|PF1|，同理|z-1|=|PF2|，
∴|z+1|+|z-1|=|PF1|+|PF2|=4，
又|F1F2|=2<4，则点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，且椭圆长半轴长a=2，半焦距c=1，
∴短半轴长b==，∴点P的轨迹方程为+=1.
A选项，坐标原点为O，则|z|=|OP|≤a=2，A选项正确；
B选项，|z-1|=|PF2|≥a-c=1，B选项正确；
C选项，若z∈R，即n=0，令y=0，则x=±2，∴|z|=2，C选项正确；
D选项，z2=m2-n2+2mni，若z2∈R，则m=0或n=0，当m=0时，n=±，此时|z|=；当n=0时，m=±2，此时|z|=2，D选项错误.
11.(2025·盐城检测)已知||=||=2，与的夹角为，若||=2且=x+y(x≥0，y≥0)，则下列说法正确的是(　　)
A.当y=0时，在上的投影向量为
B.当x=y时，·=0
C.当x=时，y=
D.·的最大值为0
答案　BCD
解析　由题意可知，△OMN是边长为2的等边三角形，且·=2×2×cos=2，
当y=0时，=x，
又||=||=2，即=，
故在上的投影向量为，故A错误；
当x=y时，=x(+)，
即点P在边MN上的中线所在的直线上，
又△OMN为等边三角形，故OP⊥MN，
即·=0，故B正确；
当x=时，=+y，
则||=，
所以||===2，
所以1+2y+4y2=4，即4y2+2y-3=0，
又y≥0，故y=(负值舍去)，故C正确；
·=(-)·(-)=[(1-x)-y]·[(1-y)-x]=2(1-x)(1-y)+4x(x-1)+4y(y-1)+2xy=4x2+4y2-6x-6y+4xy+2，
由||===2，
即x2+xy+y2=1， ①
所以·=6-6(x+y)，要使该值最大，只需x+y最小，
由①得(x+y)2-1=xy≥0，则x+y≥1，
所以·≤0，故D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.(2025·广州模拟)已知i是虚数单位，若复数z满足z(1-i)=(1+i)2，则|z|=　　　　.
答案　
解析　因为z(1-i)=(1+i)2=2i，
所以z===i(1+i)=-1+i，
所以|z|==.
13.(2025·广安模拟)已知在△ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=60°，=3，P在CD上，=+λ(λ∈R)，则·=　　　　　.
答案　-4
解析　因为=+λ，P，C，D三点共线，
所以+λ=1，解得λ=，
因为=3，所以=，
则=+=+，=-，
所以·=·(-)=-+·=3-8+×4×3×=-4.
14.(2025·柳州模拟)在△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=3，P为△ABC内一点，且AP=1.若=λ+μ，λ，μ∈R，则2λ+3μ的最大值为　　　　.
答案　
解析　如图，因为∠BAC=90°，所以以A为坐标原点，
AB，AC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(0，3)，
设∠PAB=θ，则θ∈，
过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则AQ=cos θ，PQ=sin θ，
所以P(cos θ，sin θ)，
所以=(cos θ，sin θ)，=(2，0)，=(0，3)，
因为=λ+μ，λ，μ∈R，
所以(cos θ，sin θ)=(2λ，3μ)，
所以2λ=cos θ，3μ=sin θ，
则2λ+3μ=sin θ+cos θ=sin，θ∈，所以θ+∈，
所以当θ+=，即θ=时，2λ+3μ有最大值.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知复数z=1+bi(b∈R，i为虚数单位)，z在复平面上对应的点在第四象限，且满足z·=4.
(1)求实数b的值；(5分)
(2)若复数z是关于x的方程px2+2x+q=0(p≠0，且p，q∈R)的一个复数根，求p+q的值.(8分)
解　(1)依题意，点(1，b)在第四象限，
则b<0，由z·=4，
得(1+bi)(1-bi)=4，
即b2=3，所以b=-.
(2)由(1)知，z=1-i，
由复数z是关于x的方程px2+2x+q=0的根，
得p(1-i)2+2(1-i)+q=0，
整理得(-2p+q+2)+(-2p-2)i=0，而p，q∈R，
因此解得
所以p+q=-5.
16.(15分)已知复数z=m-i(m∈R)，且·(1+3i)为纯虚数(是z的共轭复数).
(1)求实数m的值；(4分)
(2)设复数z1=，求|z1|；(5分)
(3)若复数z2=在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.(6分)
解　(1)因为z=m-i(m∈R)，则=m+i，
所以·(1+3i)=(m+i)·(1+3i)=(m-3)+(3m+1)i，
又·(1+3i)为纯虚数，
所以解得m=3.
(2)z1======+i，
所以|z1|==.
(3)因为i2 025=i506×4+1=i，
所以z2=====+i，
因为复数z2=在复平面内对应的点在第一象限，则解得a>，
所以实数a的取值范围为.
17.(15分)长江某地南北两岸平行.如图所示，江面宽度d=1 km，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度v1的大小为10 km/h，水流速度v2的大小为4 km/h，方向向东.设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°)，北岸的点A'在A的正北方向.回答下面的问题.
(1)当θ=120°时，判断游船航行到达北岸的位置在A'的东侧还是西侧，并说明理由；(7分)
(2)当cos θ为多大时，游船能到达A'处？需要航行多长时间？(8分)
解　(1)西侧.理由如下：
如图，以A为原点建立平面直角坐标系，
则v1=(-5，5)，v2=(4，0)，
合速度v=v1+v2=(-1，5)，
设游船航行到达北岸的位置为点F，
则直线AF的方程为y=-5x，
令y=1，得到F点的坐标为，
结合图象可知游船航行到达北岸的位置在A'的西侧.
(2)要使游船能到达A'处，即v=v1+v2与v2垂直，也即(v1+v2)·v2=0，
所以v1·v2+=|v1||v2|cos θ+
=10×4cos θ+16=0，
解得cos θ=-，
所以当cos θ=-时，游船能到达A'处.
又0°<θ<180°，则sin θ==，
t===(h)，
即需要航行小时.
18.(17分)如图，在△ABC中，=，点E为AC的中点，点F为BC的三等分点，且靠近点C，设=a，=b.
(1)用a，b表示，；(5分)
(2)若|a|=3，|b|=4，求·；(5分)
(3)如果∠ACB=60°，AC=2，且CD⊥EF，求||.(7分)
解　(1)因为=，
所以=+=+=+-)=+=a+b，
因为E为AC的中点，点F为BC的三等分点，且靠近点C，则=，=，
则=-=-=b-a.
(2)由(1)可知=a+b，=b-a，
因为|a|=3，|b|=4，则·=·=|b|2-|a|2=×16-×9=-.
(3)因为CD⊥EF，则·=·=|b|2-|a|2=0，可得|b|=|a|，
又因为|a|=2，则|b|=|a|=3，
又因为∠ACB=60°，
可得a·b=|a||b|cos 60°=2×3×=3，
所以||===
==.
19.(17分)假设e1，e2为平面中不共线的单位向量，〈e1，e2〉=θ，则对任意向量a，存在唯一一组实数λ1，λ2，使得a=λ1e1+λ2e2，这样我们就得到了从平面向量到全体二元有序数组的一一对应关系，这样就产生了仿射坐标系，有序数组(λ1，λ2)叫做向量a的斜坐标.
(1)若的斜坐标为(1，2)，θ=，求与垂直的单位向量的斜坐标；(5分)
(2)在夹角为θ的仿射坐标系中，设m=(x1，y1)，n=(x2，y2)，求证：
①m·n=x1x2+y1y2+(x1y2+x2y1)cos θ；(3分)
②|m|=；(3分)
(3)在△ABD中，DF为边AB的中线，过B点作DF的垂线，交DF于C，交AD于E，此时=，求cos A的最小值.(6分)
(1)解　设所求向量为p=(x0，y0)，
则p=x0e1+y0e2，
p2=(x0e1+y0e2)2=+2x0y0e1·e2+=+x0y0+=1，
p·=(x0e1+y0e2)·(e1+2e2)
=x0+(2x0+y0)e1·e2+2y0
=x0+x0+y0+2y0=2x0+y0=0，
联立解得或
所以与垂直的单位向量的斜坐标为
或.
(2)证明　①m=x1e1+y1e2，n=x2e1+y2e2，
则m·n=(x1e1+y1e2)·(x2e1+y2e2)
=x1x2+x1y2e1·e2+y1x2e1·e2+y1y2，
又e1·e2=cos θ，=1，=1，
所以m·n=x1x2+y1y2+(x1y2+x2y1)cos θ.
②由①知，m·n=x1x2+y1y2+(x1y2+x2y1)cos θ，
当n=m时，m2=++(x1y1+x1y1)cos θ=++2x1y1cos θ，
所以|m|=.
(3)解　以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立仿射坐标系，
设F(λ，0)，E(0，μ)，λ，μ>0，则B(2λ，0)，D(0，4μ)，=(2λ，-μ)，=(-λ，4μ)，
由EB⊥FD，
得·=-2λ2-4μ2+9λμcos A=0，
则cos A==
≥·2=，
当且仅当=，即λ=μ时取等号，
所以cos A的最小值为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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