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单元检测六　数　列
(时间：120分钟　分值：150分)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2026·徐州模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2=4，S5=35，则2a3+a6等于(　　)
A.23 B.25 C.30 D.35
2.(2026·深圳模拟)设数列{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，若a5-a1=15，a4-a2=6，则S5等于(　　)
A.15 B.16 C.31 D.
3.已知数列{an}满足an+1=kan-1(n∈N*，k∈R且k≠0)，若数列{an-1}是等比数列，则k等于(　　)
A.1 B.-1 C.-2 D.2
4.某塔群自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座.已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下2层的塔数之和为8，则第11层的塔数为(　　)
A.17 B.18 C.19 D.20
5.已知正项数列{an}是公差不为0的等差数列，a1，a2，a4成等比数列.若=3，则a1等于(　　)
A. B. C. D.
6.数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1，则{an}的前40项和为(　　)
A.820 B.940
C.1 830 D.1 880
7.设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=1，Sn=(2Sn+1)Sn+1，则等于(　　)
A.- B.- C.-2 D.-
8.已知等差数列{an}的公差不为0，{an}中的部分项，，，…，，…成等比数列.若k1=1，k2=9，k3=49，则k2 026等于(　　)
A.2×52 025-1 B.2×52 026-1
C.2×52 027-1 D.2×52 028-1
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.(2025·海口模拟)若数列{an}满足an+1=已知a4=1，则S4等于(　　)
A.14 B.15 C.17 D.18
10.(2026·绵阳模拟)已知公比q不等于1的等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2，a8，a5成等差数列，则下列说法正确的是(　　)
A.q3=-
B.若a1=2，则a4=1
C.S3，S9，S6成等差数列
D.若a1<0，则数列{an}的最大项为a2
11.已知数列{an}的前n项和为Sn，(n-1)Sn=nSn-1+(n-1)n(n+1)，n≥2，n∈N*，若a1=-20，则下列说法正确的是(　　)
A.为等差数列
B.a3=-5
C.Sn的最小值为S3=-39
D.当n=4时，取得最小值
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.已知等比数列{an}的各项均为正数，且a4a5=3，则a1a2…a8=　　　　.
13.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2a5=2a4，且a3与2a6的等差中项为，则S4=　　　　.
14.函数y=[x]称为取整函数，也称高斯函数，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x].设函数f(x)=[x[x]]，x∈[0，n)(n∈N*)的所有函数值的个数为an，比如n=1，f(x)=0，所以a1=1.若数列的前n项和为Sn，则S2 025=　　　　　.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(2026·北京通州区模拟)已知等差数列{an}满足2an+1-an=n+2.
(1)求数列{an}的通项公式；(6分)
(2)若数列{an+bn}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{bn}的前n项和.(7分)
16.(15分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=9，a5=2a2+3.
(1)求数列{an}的通项公式；(6分)
(2)若bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<.(9分)
17.(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an>0，Sn=，数列{bn}的前n项积Tn=.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(8分)
(2)求数列{anbn}的前n项和Rn.(7分)
18.(17分)已知数列{an}，{bn}满足a1=，an+bn=1，bn+1=.
(1)求a2，a3；(3分)
(2)证明：数列为等差数列，并求数列{an}和{bn}的通项公式；(6分)
(3)设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1，求实数λ为何值时，4λSn19.(17分)数列{an}的前n项a1，a2，…，an(n∈N*)组成集合An={a1，a2，…，an}，从集合An中任取k(k=1，2，3，…，n)个数，其所有可能的k个数的乘积的和为Tk(若只取一个数，规定乘积为此数本身)，例如：对于数列{2n-1}，当n=1时，A1={1}，T1=1；当n=2时，A2={1，3}，T1=1+3，T2=1×3.
(1)若集合An={1，3，5，…，2n-1}，求当n=3时，T1，T2，T3的值；(3分)
(2)若集合An={1，3，7，…，2n-1}，证明：当n=k时集合Ak的Tm与当n=k+1时集合Ak+1的Tm(为了以示区别，用T'm表示)有关系式T'm=(2k+1-1)Tm-1+Tm，其中m，k∈N*，2≤m≤k；(5分)
(3)对于(2)中集合An，定义Sn=T1+T2+…+Tn，求Sn(用n表示).(9分)
单元检测六　数　列
(时间：120分钟　分值：150分)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2026·徐州模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2=4，S5=35，则2a3+a6等于(　　)
A.23 B.25 C.30 D.35
答案　C
解析　由a2=4，S5=5a3=35，得a3=7，
可得公差d=a3-a2=7-4=3，
则2a3+a6=14+a3+3d=21+9=30.
2.(2026·深圳模拟)设数列{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，若a5-a1=15，a4-a2=6，则S5等于(　　)
A.15 B.16 C.31 D.
答案　C
解析　由题意设等比数列{an}的公比为q(q>0且q≠1)，
因为数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a5-a1=15，a4-a2=6，
故
联立可得==，
化简可得2q2-5q+2=0，
解得q=或q=2，
当q=时，a1=-16，不符合题意，舍去；
当q=2时，a1=1，符合题意，
所以S5===31.
3.已知数列{an}满足an+1=kan-1(n∈N*，k∈R且k≠0)，若数列{an-1}是等比数列，则k等于(　　)
A.1 B.-1 C.-2 D.2
答案　D
解析　由an+1=kan-1得，
an+1-1=kan-2=k.
由于数列{an-1}是等比数列，
所以=1，解得k=2.
4.某塔群自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座.已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下2层的塔数之和为8，则第11层的塔数为(　　)
A.17 B.18 C.19 D.20
答案　A
解析　设成等差数列的其中自上而下的10层的塔数依次为a1，a2，…，a10，公差为d，由已知得，该等差数列为递增数列，则d∈N*.因为剩下2层的塔数之和为8，故=108-8=100，
即a1+a10=20， ①
又a10-a1=9d， ②
所以①+②得，2a10=20+9d，
即a10=10+d，
由a1+a10=20知，a10<20，
又a10∈N*，且d∈N*，所以当且仅当d=2时，a10满足条件，所以a10=19，
则成等差数列的10层的塔数依次为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，
又剩下2层的塔数之和为8，
故第11层的塔数为17.
5.已知正项数列{an}是公差不为0的等差数列，a1，a2，a4成等比数列.若=3，则a1等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　设正项等差数列{an}的公差为d，且d≠0，
∵a1，a2，a4成等比数列，
∴=a1a4，即=a1(a1+3d)，
整理得d2=a1d，∵d≠0，∴d=a1，
∵
=
==-)=-+-+…+-)=-)=-)=3，
∴(5-)=3，即4=3a1，
∵a1>0，∴a1=.
6.数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1，则{an}的前40项和为(　　)
A.820 B.940
C.1 830 D.1 880
答案　A
解析　因为an+1+(-1)nan=2n-1，
故a2-a1=1，a3+a2=3，a4-a3=5，a5+a4=7，a6-a5=9，a7+a6=11，a8-a7=13，a9+a8=15，…，
所以a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a11+a9=2，a12+a10=40，a15+a13=2，a16+a14=56，…，
即从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，
从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，16为公差的等差数列，
故{an}的前40项和为
10×2+=820.
7.设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=1，Sn=(2Sn+1)Sn+1，则等于(　　)
A.- B.- C.-2 D.-
答案　B
解析　∵Sn=(2Sn+1)Sn+1，a1=1，
∴Sn=Sn+1+2Sn·Sn+1，
∴-=2，==1，
∴是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴=2n-1，即Sn=，则S11=，
a5=S5-S4=-=-，
∴=-×21=-.
8.已知等差数列{an}的公差不为0，{an}中的部分项，，，…，，…成等比数列.若k1=1，k2=9，k3=49，则k2 026等于(　　)
A.2×52 025-1 B.2×52 026-1
C.2×52 027-1 D.2×52 028-1
答案　A
解析　设等差数列{an}的公差为d，则d≠0，
由已知得，=·，所以=a1·a49，
即=a1(a1+48d)，解得a1=2d，
于是，在等比数列，，，…，，…中，公比q====5.
由为数列{}的第n项知，
=2d×5n-1；
由为数列{an}的第kn项知，
=a1+(kn-1)d=d(kn+1)，
所以2d×5n-1=d(kn+1)，
故kn=2×5n-1-1，所以k2 026=2×52 025-1.
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.(2025·海口模拟)若数列{an}满足an+1=已知a4=1，则S4等于(　　)
A.14 B.15 C.17 D.18
答案　ABD
解析　由题意可知，当an为偶数时，an+1=；
当an为奇数时，an+1=an-3，
因为a4=1，所以a3=2，则a2=4或a2=5，
当a2=4时，a1=8或a1=7，
所以S4=8+4+2+1=15或S4=7+4+2+1=14；
当a2=5时，a1=10，
所以S4=10+5+2+1=18，
综上所述，S4的所有可能取值为14，15，18.
10.(2026·绵阳模拟)已知公比q不等于1的等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2，a8，a5成等差数列，则下列说法正确的是(　　)
A.q3=-
B.若a1=2，则a4=1
C.S3，S9，S6成等差数列
D.若a1<0，则数列{an}的最大项为a2
答案　ACD
解析　由a2，a8，a5成等差数列，得2a8=a2+a5，
即2a1q7=a1q+a1q4，
因为a1≠0，q≠0，所以2q6-q3-1=0.
令t=q3(t≠0且t≠1)，
则方程变为2t2-t-1=0，
解得t=-或t=1(舍去)，
即q3=-，故A正确；
若a1=2，则a4=a1q3=2×=-1≠1，故B错误；
因为Sn=且q3=-，
则S3==，S6===，
S9===，
因为2S9=2×=，
S3+S6=+==2S9，
故S3，S9，S6成等差数列，故C正确；
若a1<0，由q3=-得q=-<0.
则a2=a1q>0，a3=a2q<0，a4=a3q>0，…，
可知偶数项为正，奇数项为负，
又|q|=<1，
所以a2>a4>a6>…，
因此数列{an}的最大项为a2，故D正确.
11.已知数列{an}的前n项和为Sn，(n-1)Sn=nSn-1+(n-1)n(n+1)，n≥2，n∈N*，若a1=-20，则下列说法正确的是(　　)
A.为等差数列
B.a3=-5
C.Sn的最小值为S3=-39
D.当n=4时，取得最小值
答案　BC
解析　对于A，(n-1)Sn=nSn-1+(n-1)n(n+1)两边同除以(n-1)n，
得-=n+1(n≥2)，故A错误；
对于B，由-=n+1(n≥2)，
得-=3，-=4，…，-=n+1，
累加得，-=3+4+…+n+1==(n≥2)，
又S1=a1=-20，所以Sn=(n≥2)，
因为S1=-20满足上式，
所以Sn=.
故an=Sn-Sn-1=(n≥2)，
又a1=-20满足上式，故an=(n∈N*)，则a3==-5，故B正确；
对于C，令f(x)=(x3+3x2-44x)(x>0)，
则f'(x)=(3x2+6x-44)，
由f'(x)>0得，x>-1+，
由f'(x)<0得，0所以f(x)在上单调递减，在上单调递增.
又2<-1+<3，S2=-34，S3=-39，
所以当n=3时，Sn取得最小值，为S3=-39，故C正确；
对于D，因为Sn=，an=，所以=，
由Sn<0得，1≤n≤5，由an<0得，1≤n≤3，
所以当<0时，n=4或n=5，
当n=4时，==-，
当n=5时，==-，
所以当n=5时，取得最小值，故D错误.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.已知等比数列{an}的各项均为正数，且a4a5=3，则a1a2…a8=　　　　.
答案　81
解析　由题意得，a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=3，故a1a2…a8=34=81.
13.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2a5=2a4，且a3与2a6的等差中项为，则S4=　　　　.
答案　15
解析　由题意可得a2a5=a3a4=2a4，an≠0，
所以a3=2，
因为a3与2a6的等差中项为，
所以a3+2a6=，则a6=，
设等比数列{an}的公比为q，
则q3==，解得q=，故a1==8，
所以S4==15.
14.函数y=[x]称为取整函数，也称高斯函数，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x].设函数f(x)=[x[x]]，x∈[0，n)(n∈N*)的所有函数值的个数为an，比如n=1，f(x)=0，所以a1=1.若数列的前n项和为Sn，则S2 025=　　　　　.
答案　
解析　当x∈[k-1，k)(k∈N*)时，[x]=k-1，
若k=1，则[x]=0，故x[x]=0，此时f(x)=0；
若k≥2，则(k-1)2≤x[x]此时f(x)在[k-1，k)上的函数值为(k-1)2，(k-1)2+1，…，k(k-1)-1，
且f(x)在[k-1，k)上所有函数值的个数为k(k-1)-1-(k-1)2+1=k-1，
故f(x)在[0，n)上所有函数值的个数为1+1+…+(n-1)=，
即an=，
故====2，
故Sn=
2
=2，
故S2 025=2×=.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(2026·北京通州区模拟)已知等差数列{an}满足2an+1-an=n+2.
(1)求数列{an}的通项公式；(6分)
(2)若数列{an+bn}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{bn}的前n项和.(7分)
解　(1)设等差数列{an}的公差为d，
因为2an+1-an=n+2，
则即解得
所以an=a1+(n-1)d=n.
(2)因为数列{an+bn}是首项为1，公比为2的等比数列，则an+bn=2n-1，
又因为an=n，所以bn=2n-1-n.
设数列{bn}的前n项和为Sn，
则Sn=(1+2+4+…+2n-1)-(1+2+3+…+n)
=-=2n-1-，
所以数列{bn}的前n项和为2n-1-.
16.(15分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=9，a5=2a2+3.
(1)求数列{an}的通项公式；(6分)
(2)若bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<.(9分)
(1)解　在等差数列{an}中，S3==3a2=9，则a2=3.
又a5=2a2+3=9，
所以该等差数列的公差d===2.
故a1=3-2=1.
所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1，
故数列{an}的通项公式为an=2n-1.
(2)证明　因为bn=
==，
则Tn=×+×+…++
=×=.
因为n∈N*，所以0<<1，故Tn<.
17.(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an>0，Sn=，数列{bn}的前n项积Tn=.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(8分)
(2)求数列{anbn}的前n项和Rn.(7分)
解　(1)当n=1时，a1=，
又an>0，∴a1=2；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-，
化简得-=2(an+an-1)，
∵an>0，∴an-an-1=2，
∴数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，
∴an=2+(n-1)×2=2n.
当n=1时，b1=T1=2；
当n≥2时，bn===22n-1，
又b1=2满足上式，
∴bn=22n-1.
(2)由(1)知anbn=2n×22n-1=n×4n，
则Rn=1×41+2×42+…+n×4n， ①
4Rn=1×42+2×43+…+n×4n+1， ②
①-②得，-3Rn=41+42+…+4n-n×4n+1
=-n×4n+1=×4n+1-，
∴Rn=.
18.(17分)已知数列{an}，{bn}满足a1=，an+bn=1，bn+1=.
(1)求a2，a3；(3分)
(2)证明：数列为等差数列，并求数列{an}和{bn}的通项公式；(6分)
(3)设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1，求实数λ为何值时，4λSn解　(1)由已知可得b1=1-a1=，
b2==，则a2=1-b2=，
b3==，a3=1-b3=，
故a2=，a3=.
(2)由a1=，an+bn=1，bn+1=，
可得bn+1=1-an+1=
==，
从而an-an+1=anan+1，
即-=1，又=4，
故数列是以4为首项，1为公差的等差数列，从而=4+(n-1)=3+n，
所以an=，bn=1-=.
(3)由(2)得anan+1=，
所以Sn=++…+
=-+-+…+-
=-=，
故4λSn-bn=-
=，
即原命题可转化为(λ-1)n2+(3λ-6)n-8<0恒成立.
设f(n)=(λ-1)n2+3(λ-2)n-8，
当λ=1时，f(n)<0恒成立；
当λ>1时，f(n)<0不可能恒成立；
当λ<1时，对称轴-<0，
则f(n)在[1，+∞)上单调递减，
所以f(n)max=f(1)=4λ-15<0，
故当λ<1时，4λSn综上可得，当λ≤1时，4λSn19.(17分)数列{an}的前n项a1，a2，…，an(n∈N*)组成集合An={a1，a2，…，an}，从集合An中任取k(k=1，2，3，…，n)个数，其所有可能的k个数的乘积的和为Tk(若只取一个数，规定乘积为此数本身)，例如：对于数列{2n-1}，当n=1时，A1={1}，T1=1；当n=2时，A2={1，3}，T1=1+3，T2=1×3.
(1)若集合An={1，3，5，…，2n-1}，求当n=3时，T1，T2，T3的值；(3分)
(2)若集合An={1，3，7，…，2n-1}，证明：当n=k时集合Ak的Tm与当n=k+1时集合Ak+1的Tm(为了以示区别，用T'm表示)有关系式T'm=(2k+1-1)Tm-1+Tm，其中m，k∈N*，2≤m≤k；(5分)
(3)对于(2)中集合An，定义Sn=T1+T2+…+Tn，求Sn(用n表示).(9分)
(1)解　当n=3时，A3={1，3，5}，
所以T1=1+3+5=9，T2=1×3+1×5+3×5=23，T3=1×3×5=15.
(2)证明　当n=k+1时，集合Ak+1的T'm中各乘积由两部分构成，
一部分是乘积中含因数2k+1-1，乘积中的其他因数来自集合Ak，故所有乘积的和为(2k+1-1)Tm-1；
另一部分乘积中不含2k+1-1，乘积的所有因数来自集合Ak，故所有乘积的和为Tm，
从而T'm=(2k+1-1)Tm-1+Tm.
(3)解　我们先证明一个性质：
{a1，a2，…，an}的所有非空子集中各元素的乘积和为(1+a1)(1+a2)…(1+an)-1.
证明：考虑(1+a1)(1+a2)…(1+an)-1的展开式，该展开式共有(2n-1)项，
每一项均为各因式中选取1或ai(1≤i≤n，i∈N*)后的乘积(除去各项均选1).
对于{a1，a2，…，an}的任意非空子集{，，…，}，
该集合中各元素的乘积××…×为(1+a1)(1+a2)…(1+an)-1的展开式中的某一项，即第ik个因式选择(1≤k≤m)，其余的因式选择1，
注意到非空子集的个数为2n-1，
故{a1，a2，…，an}的所有非空子集中各元素的乘积均在(1+a1)(1+a2)…(1+an)-1的展开式中恰好出现一次，
所以{a1，a2，…，an}的所有非空子集中各元素乘积的和为(1+a1)(1+a2)…(1+an)-1.
故对于An={1，3，7，…，2n-1}，
Sn=(1+1)×(1+3)×…×(1+2n-1)-1=2×22×…×2n-1=21+2+3+…+n-1=-1.
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