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单元检测八　直线和圆、圆锥曲线
(时间：120分钟　分值：150分)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2026·镇江模拟)在平面直角坐标系中，若角α的终边位于直线x-y=0上，则tan α等于(　　)
A.-1 B. C. D.-
2.(2026·信阳模拟)“a=1”是“直线x+ay-1=0与ax-y+5=0垂直”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2025·北京海淀区模拟)圆心为(-1，2)且与x轴相切的圆的方程是(　　)
A.(x-1)2+(y+2)2=2
B.(x+1)2+(y-2)2=2
C.(x-1)2+(y+2)2=4
D.(x+1)2+(y-2)2=4
4.(2025·临汾模拟)已知动点M(x，y)满足+=10，则动点M的轨迹方程是(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
5.(2025·武汉模拟)已知双曲线-=1(a>0，b>0)的离心率e=2，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
6.(2025·包头模拟)已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，P为C上的动点，点A(1，-1)，则取最小值时，直线PA的斜率为(　　)
A. B. C.1 D.-1
7.(2026·白银模拟)已知椭圆C：+=1(a1>b1>0)与双曲线E：-=1(a2>0，b2>0)有相等的焦距，离心率分别为e1，e2，它们的四个公共点刚好是正方形的四个顶点，则e2-e1的最小值为(　　)
A.1 B. C. D.
8.(2025·呼和浩特模拟)若点A关于直线y=kx的对称点在圆(x-3)2+y2=4上，则k的值为(　　)
A.1 B. C. D.2
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.(2025·重庆模拟)已知动点P在直线l：x+y-6=0上，动点Q在圆C：(x-1)2+(y-1)2=4上，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法正确的有(　　)
A.直线l与圆C相交
B.|PQ|的最小值为2-2
C.四边形PACB面积的最小值为4
D.存在P点，使得∠APB=
10.(2025·抚州模拟)已知椭圆C：+=1，F1，F2分别为它的左、右焦点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有 (　　)
A.椭圆的离心率为
B.|PF1|+|PF2|=10
C.若∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积为9
D.+的最大值为
11.(2025·新余模拟)已知抛物线C：y2=2px(p>0)，准线为l，过焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为A'，B'，则(　　)
A.FA'⊥FB'
B.若|AF|=3|BF|，则直线AB的斜率为
C.A，O，B'三点共线(其中O为坐标原点)
D.|A'B'|2=4|AF||BF|
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.(2025·汉中模拟)若直线l过点(-1，1)，且其一个方向向量为m=(1，1)，则直线l的方程为　　　　　　　.
13.(2025·安庆模拟)已知圆C1：x2+y2+4x-4y-1=0与圆C2：x2+y2-2x+2y-7=0相交于点A，B，则四边形AC1BC2的面积等于　　　　.
14.已知O为坐标原点，双曲线E：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1作斜率为的直线l与双曲线交于A，B两点(B在第一象限)，P是线段AB的中点，若△ABF2是等边三角形，则直线OP的斜率为　　　　.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)设m为实数，直线l1：2x+(m-3)y-2m+6=0(m≠3)在x轴、y轴上的截距之和等于1，且与x轴的交点记作A.
(1)求点A的坐标；(5分)
(2)直线l2过点A且倾斜角是直线l1倾斜角的2倍，求直线l2的方程.(8分)
16.(15分)(2026·邯郸模拟)已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(，2)，B(1，0)两点.
(1)求双曲线C的标准方程；(5分)
(2)已知直线l与双曲线C有且只有一个公共点，且l与坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为，求直线l的方程.(10分)
17.(15分)已知点A(0，9)，B(4，5)，圆C是过点A和点B的面积最小的圆.
(1)求圆C的标准方程；(3分)
(2)若M(x，y)为圆C上任意一点，
①求的最大值和最小值；(4分)
②求的最大值和最小值；(4分)
③求y-x的最大值和最小值.(4分)
18.(17分)(2026·信阳模拟)已知椭圆E：+=1(a>b>0)过点，焦距为2.
(1)求椭圆E的方程；(4分)
(2)若F(1，0)，过F作两条相互垂直的直线AB，CD与曲线E分别交于A，B，C，D四点，设线段AB，CD的中点分别为M，N.
①证明：直线MN过定点；(7分)
②求四边形ACBD面积的取值范围.(6分)
19.(17分)(2025·周口模拟)已知点P1(t+1，t)在抛物线C：x2=4y上，过点P1作斜率为-1的直线交C于另一点Q1，设P2与Q1关于y轴对称，再过点P2作斜率为-1的直线交C于另一点Q2，设P3与Q2关于y轴对称，依此类推一直作下去，设Pn(xn，yn)(n∈N*).
(1)求t的值；(3分)
(2)求数列{xn}的通项公式，并求数列的前n项和Tn的取值范围；(7分)
(3)求△PnPn+1Pn+2(n∈N*)的面积.(7分)
单元检测八　直线和圆、圆锥曲线
(时间：120分钟　分值：150分)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2026·镇江模拟)在平面直角坐标系中，若角α的终边位于直线x-y=0上，则tan α等于(　　)
A.-1 B. C. D.-
答案　C
解析　由角α的终边位于直线x-y=0上，
可知tan α=.
2.(2026·信阳模拟)“a=1”是“直线x+ay-1=0与ax-y+5=0垂直”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　∵对于任意a∈R，1·a+a·(-1)=0恒成立，
∴直线x+ay-1=0与ax-y+5=0垂直恒成立，
∴“a=1”是“直线x+ay-1=0与ax-y+5=0垂直”的充分不必要条件.
3.(2025·北京海淀区模拟)圆心为(-1，2)且与x轴相切的圆的方程是(　　)
A.(x-1)2+(y+2)2=2
B.(x+1)2+(y-2)2=2
C.(x-1)2+(y+2)2=4
D.(x+1)2+(y-2)2=4
答案　D
解析　因为圆心为(-1，2)且与x轴相切，所以半径r=2，
则圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=4.
4.(2025·临汾模拟)已知动点M(x，y)满足+=10，则动点M的轨迹方程是(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
答案　C
解析　由题意可得动点M(x，y)到(-3，0)与(3，0)两点的距离之和为10，
且10>3+3=6，则动点M(x，y)的轨迹为M(-3，0)和(3，0)两点为焦点的椭圆，
易知a=5，c=3，b==4，
即所求轨迹方程为+=1.
5.(2025·武汉模拟)已知双曲线-=1(a>0，b>0)的离心率e=2，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
答案　D
解析　∵e==2，则c=2a，
∴====，
∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.
6.(2025·包头模拟)已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，P为C上的动点，点A(1，-1)，则取最小值时，直线PA的斜率为(　　)
A. B. C.1 D.-1
答案　B
解析　由抛物线的定义将|PF|的长度转化为点P到准线的距离，
如图可知，当直线PA与抛物线相切且斜率为负值时，满足题意，
令直线PA：y+1=k(x-1)，联立x2=4y，则x2-4kx+4k+4=0，
所以Δ=16k2-16(k+1)=0，可得k2-k-1=0，则k=(正值舍去).
7.(2026·白银模拟)已知椭圆C：+=1(a1>b1>0)与双曲线E：-=1(a2>0，b2>0)有相等的焦距，离心率分别为e1，e2，它们的四个公共点刚好是正方形的四个顶点，则e2-e1的最小值为(　　)
A.1 B. C. D.
答案　A
解析　设椭圆的焦点为F1(-c，0)，F2(c，0)，双曲线的焦点为F3(0，-c)，F4(0，c)，
根据椭圆、双曲线、正方形的对称性可设两曲线在第一象限的公共点为P(m，m)(m>0)，
则|PF1|=|PF3|=，
|PF2|=|PF4|=，
所以|PF3|-|PF4|=|PF1|-|PF2|=2a2，
所以e2-e1=-=
==≥=1，
当且仅当c=m时取等号.
8.(2025·呼和浩特模拟)若点A关于直线y=kx的对称点在圆(x-3)2+y2=4上，则k的值为(　　)
A.1 B. C. D.2
答案　C
解析　因为点A的坐标满足+=1，则点A在圆x2+y2=1上，
因为直线y=kx过圆x2+y2=1的圆心，
则点A关于直线y=kx的对称点必然在圆x2+y2=1上，
联立得
因为圆x2+y2=1与圆(x-3)2+y2=4有唯一的公共点B(1，0)，
因此点A关于直线y=kx的对称点只能是点B，
设直线y=kx与线段AB交于点D，如图所示，
因为|AO|=|BO|=1，
|AB|==，
则由垂径定理可得，
|OD|===，
则在Rt△ODB中，tan∠BOD==×2=，
因此k=tan∠BOD=.
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.(2025·重庆模拟)已知动点P在直线l：x+y-6=0上，动点Q在圆C：(x-1)2+(y-1)2=4上，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法正确的有(　　)
A.直线l与圆C相交
B.|PQ|的最小值为2-2
C.四边形PACB面积的最小值为4
D.存在P点，使得∠APB=
答案　BC
解析　圆C：(x-1)2+(y-1)2=4的圆心C(1，1)，
半径r=2，连接PC，
对于A，点C到直线l：x+y-6=0的距离d==2>2=r，直线l与圆C相离，A错误；
对于B，点Q在圆C上，
则|PQ|min=d-r=2-2，B正确；
对于C，由切线长定理知，四边形PACB的面积
S=2S△PAC=2·|PA|·|AC|=2|PA|
=2≥2=4，
当且仅当PC⊥l时取等号，
因此四边形PACB面积的最小值为4，C正确；
对于D，由切线长定理知，∠APB=2∠APC，
而sin∠APC==≤=，
又∠APC是锐角，正弦函数y=sin x在上单调递增，则∠APC的最大值为，
当且仅当PC⊥l时取等号，因此∠APB的最大值为，D错误.
10.(2025·抚州模拟)已知椭圆C：+=1，F1，F2分别为它的左、右焦点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有 (　　)
A.椭圆的离心率为
B.|PF1|+|PF2|=10
C.若∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积为9
D.+的最大值为
答案　BCD
解析　由椭圆方程可知，a=5，b=3，c==4，
所以椭圆的离心率e==，故A错误；
由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=10，故B正确；
因为|F1F2|=2c=8，∠F1PF2=90°，
所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=64，
(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=64+2|PF1||PF2|=100，
解得|PF1||PF2|=18，
所以△F1PF2的面积为|PF1||PF2|=9，故C正确；
+=(|PF1|+|PF2|)
=，
因为≤≤，
即≤≤9，
设=t∈，
由对勾函数的性质可得函数f(t)=t+在上单调递减，在[1，9]上单调递增，且f =f(9)=，
所以=f(t)max=，
所以==，故D正确.
11.(2025·新余模拟)已知抛物线C：y2=2px(p>0)，准线为l，过焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为A'，B'，则(　　)
A.FA'⊥FB'
B.若|AF|=3|BF|，则直线AB的斜率为
C.A，O，B'三点共线(其中O为坐标原点)
D.|A'B'|2=4|AF||BF|
答案　ACD
解析　如图所示，连接A'F，B'F，根据抛物线定义可知|AA'|=|AF|，所以∠AA'F=∠AFA'，
又由于AA'∥x轴，所以∠AA'F=∠OFA'，
所以∠AFA'=∠OFA'，同理可得∠BFB'=∠OFB'，
所以∠A'FB'=∠OFB'+∠OFA'
=(∠OFB+∠OFA)=，
即FA'⊥FB'，故A正确；
过B作BC⊥AA'于点C，
设|BF|=d，d>0，则|AF|=3d，|AC|=2d，
所以cos∠CAF===，
所以∠CAF=，由对称性可知直线AB的斜率为±，故B错误；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A'，B'，
=，=，由于A，F，B三点共线，
则y2-y1=0，
又由于=2px1，=2px2，
则(y1-y2)=0，由于y1≠y2，
则y1y2=-p2，
所以kOA==，kOB'==-，
所以=·=-=1，
即kOA=kOB'，所以A，O，B'三点共线，故C正确；
由于y1y2=-p2，则=p4，
即2px1·2px2=p4，所以x1x2=，
|A'B'|2=(y1-y2)2=+-2y1y2=2px1+2px2+2p2
=4x1x2+2px1+2px2+p2=4，
所以|A'B'|2=4|AF||BF|，故D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.(2025·汉中模拟)若直线l过点(-1，1)，且其一个方向向量为m=(1，1)，则直线l的方程为　　　　　　　.
答案　x-y+2=0
解析　由题意可知，直线l的斜率为k==1.
而直线l过点(-1，1)，所以直线l的方程为y-1=1×(x+1)，
即x-y+2=0.
13.(2025·安庆模拟)已知圆C1：x2+y2+4x-4y-1=0与圆C2：x2+y2-2x+2y-7=0相交于点A，B，则四边形AC1BC2的面积等于　　　　.
答案　9
解析　由已知，圆C1：(x+2)2+(y-2)2=9，圆C2：(x-1)2+(y+1)2=9，
圆心C1(-2，2)，半径r1=3，圆心C2(1，-1)，半径r2=3，
方法一　如图，容易发现四边形AC1BC2是边长为3的正方形，其面积为9.
方法二　将两圆方程相减，可得公共弦AB所在的直线方程为
x-y+1=0，C1到直线AB的距离为d==，所以=，即|AB|=3，
又|C1C2|==3，
所以四边形AC1BC2的面积S=|AB|·|C1C2|=9.
14.已知O为坐标原点，双曲线E：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1作斜率为的直线l与双曲线交于A，B两点(B在第一象限)，P是线段AB的中点，若△ABF2是等边三角形，则直线OP的斜率为　　　　.
答案　4
解析　设双曲线E的半焦距为c，c>0，根据题意得|BF1|-|BF2|=|AF1|=2a.
又|AF2|-|AF1|=2a，所以|AF2|=4a.
在△BF1F2中，由余弦定理得，=+-2|BF1||BF2|cos，
即(2c)2=(6a)2+(4a)2-2×6a×4a×，解得=，则=.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则-=1，-=1，
两式相减可得(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0，
所以·==6.
设P(xP，yP)，因为P是线段AB的中点，所以2xP=x1+x2，2yP=y1+y2，
又=kAB=，所以kOP==4.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)设m为实数，直线l1：2x+(m-3)y-2m+6=0(m≠3)在x轴、y轴上的截距之和等于1，且与x轴的交点记作A.
(1)求点A的坐标；(5分)
(2)直线l2过点A且倾斜角是直线l1倾斜角的2倍，求直线l2的方程.(8分)
解　(1)因为m≠3，
所以由2x+(m-3)y-2m+6=0 +=1，
由题意可知，m-3+2=1 m=2，
因为m-3=-1，所以点A的坐标为(-1，0).
(2)由(1)可知m=2，
所以直线l1：2x-y+2=0 y=2x+2，
设直线l1的倾斜角为α，则tan α=2，
所以直线l2的倾斜角为2α，
设直线l2的斜率为k，
则k=tan 2α===-，
所以直线l2的方程为y-0=-(x+1) 4x+3y+4=0.
16.(15分)(2026·邯郸模拟)已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(，2)，B(1，0)两点.
(1)求双曲线C的标准方程；(5分)
(2)已知直线l与双曲线C有且只有一个公共点，且l与坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为，求直线l的方程.(10分)
解　(1)由题意知该双曲线的焦点在x轴上，
故设其方程为C：-=1(a>0，b>0)，
根据过点B(1，0)知a=1，
又过点A(，2)，
故有2-=1，解得b2=4，
所以双曲线C的标准方程为x2-=1.
(2)直线l与双曲线C有且只有一个公共点，且与坐标轴的正半轴围成三角形，分两种情况：
当直线l与双曲线的一条渐近线y=-2x平行时，设直线l的方程为y=-2x+t，t>0，
此时三角形的面积为S=××t=，
解得t=，
所以直线l的方程为2x+y-=0；
当直线l与双曲线相切时，直线l的斜率显然存在且小于0，
设其方程为y=kx+m(k<0，m>0)，联立
得(4-k2)x2-2kmx-m2-4=0，
所以k2≠4，且Δ=-16(k2-m2-4)=0，即k2=m2+4，
又因为三角形的面积为S=m×=，
解得m=2(负根舍去)，
所以k2=12+4=16，解得k=-4(正根舍去)，
所以直线l的方程为4x+y-2=0.
综上，直线l的方程为2x+y-=0或4x+y-2=0.
17.(15分)已知点A(0，9)，B(4，5)，圆C是过点A和点B的面积最小的圆.
(1)求圆C的标准方程；(3分)
(2)若M(x，y)为圆C上任意一点，
①求的最大值和最小值；(4分)
②求的最大值和最小值；(4分)
③求y-x的最大值和最小值.(4分)
解　(1)设圆C的半径为r，圆心C到直线AB的距离为d，
则d≥0，|AB|==4，
则由圆的几何性质可得，r==≥2，
当且仅当d=0，即圆心C是线段AB的中点时，半径取得最小值，
此时圆C的面积最小.
所以r=2，C(2，7)，
即圆C的标准方程为(x-2)2+(y-7)2=8.
(2)①因为=表示圆上的点M与已知的点Q(-2，3)之间的距离.
圆C：(x-2)2+(y-7)2=8，
如图1所示，连接QC并延长交圆C于E，F两点，当点M与点E重合时，|MQ|取得最小值，
即|QC|-r=-2=2，
当点M与点F重合时，|MQ|取得最大值，
即|QC|+r=6，
故所求最大值为6，最小值为2.
②易知kMQ=，由图形知当MQ与圆C相切时取得最值，
如图2所示.
可设lMQ：y=k(x+2)+3，
则点C到其距离为=r=2，解得k=2±，
故所求最大值为2+，最小值为2-.
③设y-x=z，z即过点M的直线y=x+z的纵截距，
如图3所示，当该直线与圆C相切时纵截距取得最值.
圆心C到该直线的距离为=r=2，
所以z=1或z=9，故所求最大值为9，最小值为1.
18.(17分)(2026·信阳模拟)已知椭圆E：+=1(a>b>0)过点，焦距为2.
(1)求椭圆E的方程；(4分)
(2)若F(1，0)，过F作两条相互垂直的直线AB，CD与曲线E分别交于A，B，C，D四点，设线段AB，CD的中点分别为M，N.
①证明：直线MN过定点；(7分)
②求四边形ACBD面积的取值范围.(6分)
(1)解　由题意知椭圆过点，
则+=1，
因为c=1，所以a2=b2+1，
联立解得
所以椭圆E的方程为+y2=1.
(2)①证明　
当两条直线的斜率都存在时，不妨设lAB：x=my+1，
则lCD：x=-y+1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
联立直线AB与椭圆E的方程，
得
消去x整理得(m2+2)y2+2my-1=0，
易知Δ>0，根据根与系数的关系可知y1+y2=，y1y2=，
yM==，xM=myM+1=，
即M.
同理N，
所以kMN==，
所以lMN：y-=，
令y=0，得x=，
此时直线MN恒过点.
当两条直线中有一条直线的斜率不存在时，
易知lMN：y=0，仍经过点，
所以直线MN过定点.
②解　当两条直线中有一条直线的斜率不存在时，易知S四边形ACBD=2.
当两条直线的斜率都存在时，
不妨设lAB：x=my+1，则lCD：x=-y+1，
由①得|AB|=|y2-y1|==2×.
同理|CD|=2×，
则S四边形ACBD=|AB||CD|=4×=4×=2-，
因为=，
由基本不等式得2m2+≥2=4，当且仅当m2=1时等号成立，
所以∈，
则S四边形ACBD=2-∈，
综上，四边形ACBD面积的取值范围为.
19.(17分)(2025·周口模拟)已知点P1(t+1，t)在抛物线C：x2=4y上，过点P1作斜率为-1的直线交C于另一点Q1，设P2与Q1关于y轴对称，再过点P2作斜率为-1的直线交C于另一点Q2，设P3与Q2关于y轴对称，依此类推一直作下去，设Pn(xn，yn)(n∈N*).
(1)求t的值；(3分)
(2)求数列{xn}的通项公式，并求数列的前n项和Tn的取值范围；(7分)
(3)求△PnPn+1Pn+2(n∈N*)的面积.(7分)
解　(1)因为点P1(t+1，t)在抛物线C：x2=4y上，则(t+1)2=4t，解得t=1.
(2)由P1(2，1)可知x1=2，y1=1，
因为点Pn(xn，yn)在抛物线C：x2=4y上，
则yn=，且Qn-1(-xn，yn)(n≥2)，
过点Pn-1，n≥2，且斜率为-1的直线Pn-1Qn-1：y-=-(x-xn-1)，
联立方程
消去y得(x-xn-1)(x+xn-1+4)=0，
解得x=xn-1或x=-xn-1-4，
因为Qn-1(-xn，yn)，故-xn=-xn-1-4，
即xn-xn-1=4，
故数列{xn}是首项为2，公差为4的等差数列，
所以xn=2+4(n-1)=4n-2，
又yn==(2n-1)2，
所以==
=，
所以Tn==，
所以Tn<，
又Tn=关于n单调递增，故(Tn)min=T1=，
所以Tn的取值范围是.
(3)由(2)知，Pn(4n-2，(2n-1)2)，Pn+1(4n+2，(2n+1)2)，Pn+2(4n+6，(2n+3)2)，
直线PnPn+2的方程为y-(2n-1)2=(x-4n+2)=(2n+1)(x-4n+2)，
即(2n+1)x-y-4n2-4n+3=0，
则点Pn+1(4n+2，(2n+1)2)到直线PnPn+2的距离为d==，
|PnPn+2|===8，
所以△PnPn+1Pn+2(n∈N*)的面积为S=|PnPn+2|d=16.
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