资源简介

广东广州市天河区2026届普通高中毕业班适应性训练（二模）数学试卷
1．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．在的二项展开式中，第4项的二项式系数是（　　）
A．56 B．-56 C．70 D．-70
3．已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知等比数列满足，，记为其前项和，则（　　）
A．4 B．6.5 C．8 D．12
5．函数是奇函数的充要条件是（　　）
A． B． C． D．
6．在中，已知，则向量在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
7．已知点在圆上，点，当最大时，则（　　）
A． B． C． D．
8．在锐角中，角所对的边分别为且，则的取值范围（　　）
A． B． C． D．
9．为普及法制教育，对50名市民开展了一次法律知识竞赛答题活动，测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖.
成绩/分 92 93 95 96 98 99 100
人数 5 7 8 14 13
下列结论正确的是（　　）
A．众数为99 B．极差为9
C．分位数为96 D．平均数大于中位数
10．如图，在正四面体中，点分别为各棱的中点，则（　　）
A．
B．平面
C．
D．直线与直线所成角的余弦值为
11．对于函数，下面说法正确的有（　　）
A．当时，函数有两个零点
B．当时，函数不存在极值点
C．当最小值为时，
D．当时，函数在区间单调递减
12．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则的渐近线为　 　.
13．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为　 　.
14．我们把经过同一点且半径相等的圆称为共点等圆.在平面上过同一点有个共点等圆，其中任何两个圆都有两个不同的交点，但任何三个圆除点外无其他公共点，记这个共点等圆共有个交点，若，则　 　.
15．已知函数的周期为，且.
（1）求函数的解析式；
（2）比较与的大小.
16．某公司为了了解A商品销售收入（单位：万元）与广告支出（单位：万元）之间的关系，现收集的5组样本数据如下表所示，且经验回归方程为.
2 5 6 8 9
16 20 21 28
10.96 19.24 22 27.52 30.28
（1）求的值；
（2）现从这5组数据的残差中抽取2组进行分析（观测值减去预测值称为残差），记X表示抽到数据的残差为负的组数，求X的分布列和期望；
（3）已知，且当时，回归方程的拟合效果良好，试结合数据，判断经验回归方程的拟合效果是否良好.
17．已知函数.
（1）直线过点且与曲线相切，求直线方程；
（2）已知在导函数的图象上，以点为圆心的与轴都相切，且与彼此外切.若，且，求数列的前项之和.
18．如图.底面为平行四边形的直四棱柱，点为边上的中点，点是空间一点.
（1）证明：平面；
（2）若平面与平面所成角的余弦值为，求；
（3）若，直线平面，则在平面内是否存在点，使得的长为定值，若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由.
19．已知点为抛物线的焦点，点在上.
（1）求的方程与点F坐标：
（2）过点的直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线相交于两点.
（i）若为线段的中点，求证：直线为抛物线的切线；
（ii）若直线为抛物线的切线，过点作直线的垂线，垂足为，求的最大值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：易知集合，集合，则.
故答案为：C.
【分析】解分式不等式求得集合，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】A
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：展开式中第4项的二项式系数为.
故答案为：A.
【分析】根据二项式系数的定义，结合组合数公式求解即可.
3．【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，得，
则复数z在复平面内对应的点为，位于第三象限.
故答案为：C.
【分析】利用复数代数形式的除法运算，结合复数在复平面内的表示判断即可.
4．【答案】C
【知识点】等比数列的性质；等比中项
【解析】【解答】解：等比数列满足，则，
又因为，所以，
则，解得，故.
故答案为：C.
【分析】根据等比的性质求得，再由可得，即可得的值.
5．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：函数，
当时，，解得，
将代入可得，结合，可得，
整理得对任意恒成立，平方化简得对任意恒成立，因此，
函数是奇函数等价于且，即，
反之若，必有，
此时确实是奇函数，故充要条件为.
故答案为：B.
【分析】函数的定义域为，根据奇函数定义，对任意都满足，且，结合充分、必要的条件的定义判断即可.
6．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：两边平方得，即，
两边平方得，即，
即，
如图，，向量与的夹角为，，
则向量在上的投影向量为.
故答案为：D.
【分析】将已知式子两边平方，结合向量数量积的运算求得，，确定的形状，再根据投影向量的定义求解即可.
7．【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式；直线与圆的位置关系；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：设圆的圆心为，易知，半径，
过作圆的切线，设交点为，如图所示：
由图可知，当与圆相切，且点在第四象限时，最大，
因为，所以，
又因为，所以，
则.
故答案为：D.
【分析】易知圆心和半径，过作圆的切线，设交点为，数形结合确定当最大时点位置，利用两角和的余弦公式求值即可.
8．【答案】A
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由，
可得，
整理可得，
，
即，即，又因为，所以，
结合为锐角，则，故，且，此时，
因此且，故，
又，则，
故，
由于，则，，
故.
故答案为：A.
【分析】利用余弦的二倍角公式化简整理可得，根据一元二次方程有解，利用判别式，结合三角函数的性质可得，，最后根据正弦定理求解即可.
9．【答案】A,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：根据题意，总共有50名市民，则成绩为或的共人，
A、99分有14人，众数为99，故A正确；
B、极差为，故B错误；
C、因为，则第13个数分值为96，故C正确；
D、中位数是第25和第26两个数的平均数，由于这两个数都是99，则中位数为99，
设成绩为的有个人，
平均数为，则以平均数小于中位数，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据众数、极差、百分数以及中位数、平均数的定义求解判断即可.
10．【答案】A,B,D
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、取中点，连接，
在正四面体中，根据题意，可得，所以，同理，
又因为平面，所以平面，平面，则，
又因为，所以，故A正确；
B、根据正四面体的性质可知，则，又，
所以，同理，
又平面，
所以平面，故B正确；
C、设正四面体棱长为1，
顶点在平面上的射影为点，则为的重心，
所以，
所以，
，
所以，故C错误；
D、因为，所以为直线与直线所成的角，
则，故D正确.
故答案为：ABD
【分析】取中点，连接，利用线面垂直的判定定理得平面，再由线面垂直的性质求证即可判断A；根据正四面体的性质可知，结合等腰三角形性质和中位线性质得，同理，根据线面垂直的判定定理证明平面即可判断B；设正四面体棱长为1，顶点在平面上的射影为点，则为的重心，分别求出体积即可判断C；由，可得为直线与直线所成的角，利用余弦定理求解即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，
当时，，解得，
不妨取，当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
，
易知当时，函数，此时函数只有一个零点，故A错误；
当时，若，因，则，，
则在上单调递增，无极值点；
若，因，则，，则在上单调递减，无极值点；
综上，当时，函数不存在极值点，故B正确；
由A项分析可知，当最小值为时，有，
，即，
令，则，即，
令，，
当时，，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，的解为，
即，，此时，即，故C正确；
当时，函数
由，可得，即函数的定义域为，
则，因，
则，
故当时，，即在上单调递减，故D正确．
故答案为：BCD.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，分析极值点及零点即可判断AB；由A项分析可知，当最小值为时，确定，进而得到，结合最值即可判断C；当时，函数，对求导，利用导数判断函数的单调性即可判断D．
12．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线，由题意得：，解得，
则双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
【分析】根据双曲线的性质求解即可.
13．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：，，
在区间上单调递增，在区间上恒成立，
在区间上恒成立，
，在区间内恒成立，
，，
的取值范围为.
故答案为：.
【分析】函数求导，问题转化为在区间上恒成立，即在区间内恒成立，即，解不等式组即可得的取值范围.
14．【答案】21
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：过同一点有个等圆，当增加第个圆时，
第个圆与前个圆各有一个除外的交点，
因此递推关系为：，
当时，三个等圆过同一点，
每两个圆有个交点，但是公共点，
所以除外，每两个圆有个交点，
三个圆中两两组合的数量为，
因此，
由递推关系式可得：
，
，
，
将这些式子累加得：
，
所以，
又因为，所以，整理得：，
因式分解得：，解得或，
又因为，所以.
故答案为：.
【分析】过同一点有个等圆，当增加第个圆时，第个圆与前个圆各有一个除外的交点，
可得递推关系为：，利用累加法求得，再令，解关于n的方程即可.
15．【答案】（1）解：函数的周期为，则，解得，
由，可得函数关于直线对称，
则，得，
因为，所以时，所以，
则；
（2）解：，
，
因为在区间单调递增，所以，则，所以.
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【分析】（1）根据函数的周期求，再由求得对称轴求，确定函数的解析式；
（2）由（1）的解析式，将代入函数解析式，结合诱导公式化简，再根据单调性比较大小.
（1）由条件可知，，得，
可知，函数关于直线对称，
所以，得，
因为，所以时，，
所以；
（2），
，
在区间单调递增，所以，则，
所以.
16．【答案】（1）解：由数据可得，，
因为，所以，解得；
（2）接：5组数据中，两组数据残差为正值，三组数据残差为负值，
易知随机变量可能取值为，
，
，
，
X的分布列为
0 1 2
期望；
（3）解：，
，
则经验回归方程的拟合效果是不良好.
【知识点】众数、中位数、平均数；回归分析；超几何分布
【解析】【分析】（1）根据表格数据计算，再根据回归直线必过样本中心点求解即可；
（2）由题意可得随机变量可能取值为，求出对应概率，列分布列，求期望即可；
（3）计算代入公式计算判断即可.
（1），
，
因为，即，
解得.
（2）5组数据中，两组数据残差为正值，三组数据残差为负值，
所以可能取值为，
，
，
，
所以X的分布列为
0 1 2
期望.
（3），
，
所以经验回归方程的拟合效果是不良好.
17．【答案】（1）解：函数定义域为，，
设切点坐标为，则切线斜率，
即切线方程为，即，
将代入可得，解得，则直线方程为；
（2）解：由（1）可知：，则，
由题意可知：的圆心为，半径，
因为与外切，则，
可得，且，
整理可得，即，
可知数列是以首项，公差的等差数列，
则，即，
则，
故.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；等差数列概念与表示；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，设切点坐标为，根据导数的几何意义，结合点斜式求切线方程，将代入可得，即可得直线方程；
（2）由（1）可知：，则，根据题意可知的圆心和半径，结合两圆外切可知数列是以首项，公差的等差数列，利用等差数列的定义求，，利用裂项相消法求和即可.
（1）因为，则，
设切点坐标为，则切线斜率，
可得切线方程为，即，
代入点可得，解得，
所以直线方程为.
（2）由（1）可知：，则，
由题意可知：的圆心为，半径，
因为与外切，则，
可得，且，
整理可得，即，
可知数列是以首项，公差的等差数列，
则，即，
则，
所以.
18．【答案】（1）证明：连接，交于点，连接，如图所示：
因为四棱柱为直四棱柱，所以四边形为矩形，所以为中点，
又因为为中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：以为基底，设，
则，，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，所以，
设平面的法向量为，
又，，
由，
所以，
令，则，，
所以，
又，
，
，
由，
所以，
所以或（舍去），则；
（3）解：因为三棱柱为直四棱柱，且，
以为原点，所在的射线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，.
设，则，，，
因为平面，所以.
整理得，即在以为球心，为半径的球上，也在平面：上，其中平面的一个法向量，
要使得为定值，则，
由已知，由（2）得平面的法向量，
而，且点平面，
则平面，
则直线与平面无交点，故不存在点使得为定值.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）以为基底，设，利用空间向量表示平面与平面所成角的余弦值，列式求即可；
（3）以为原点，所在的射线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量探索的存在性即可.
（1）连接，交于点，连接.如图：
因为四棱柱为直四棱柱，所以四边形为矩形，
所以为中点，又为中点，
所以，又平面，平面，所以平面.
（2）以为基底，设，
则，，，.
设平面的法向量为，
则.
令，则，所以.
设平面的法向量为，
又，.
由，
所以.
令，则，.
所以.
又.
，
.
由，
所以，
所以或（舍去）.
所以.
（3）因为三棱柱为直四棱柱，且，故可以为原点，所在的射线为轴，建立如图空间直角坐标系.
则，，，.
设，则，，，
因为平面，所以.
整理得，即在以为球心，为半径的球上，也在平面：上，其中平面的一个法向量，
要使得为定值，则，
由已知，由（2）得平面的法向量，
而，且点平面，
则平面，
则直线与平面无交点，故不存在点使得为定值.
19．【答案】（1）解：因为点在，所以，解得，则抛物线；
抛物线的焦点；
（2）解：（i）因为过点的直线与抛物线相交于两点，所以此直线一定存在斜率，
设过点的直线方程为，
联立，得到，整理得到，
设，由韦达定理可得，
因为为线段的中点，所以，
又因为，所以，所以，
因为在直线上，，
，，，
在上，，，
，，
，，，
切点为，，
与切点为的斜率相等，直线为抛物线的切线；
（ii）由（i）知，当为抛物线的切线时，
，， ，，
直线的方程为，
如图，作出符合题意的图形，
过点作直线的垂线，垂足为，
在直线上，，，
，，，
，，
，，
，
，，
，，，
，，
设，整理得到，
则，解得，
的最大值为，的最大值为.
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线方程，再求焦点坐标即可；
（2）（i）由题意可得直线一定存在斜率，设过点的直线方程为，联立直线与抛物线方程，消元整理得关于的一元二次方程，利用韦达定理写出，结合中点坐标公式得到点的坐标，同时得到的坐标，求出，利用导数的几何意义求出在点处的切线的斜率，从而得到与切点为的斜率相等，故直线为抛物线的切线；
（ii）由（i）知，当为抛物线的切线时，， ，求出，利用点斜式求出直线的方程，由过点作直线的垂线，垂足为，得到在直线上从而得到点的坐标，由得到，利用数量积求出的坐标，利用两点间距离公式求出通过构造函数，利用判别式法求值域即可得到的最大值.
（1）点在，，
，；
点为抛物线的焦点，；
（2）（i）过点的直线与抛物线相交于两点，此直线一定存在斜率，
设过点的直线方程为，
将代入，得到，
整理得到，
如图，设，则有，
为线段的中点，，
，，
，
在直线上，，
，，，
在上，，，
，，
，，，
切点为，，
与切点为的斜率相等，直线为抛物线的切线；
（ii）由（i）知，当为抛物线的切线时，
，， ，，
直线的方程为，
如图，作出符合题意的图形，
过点作直线的垂线，垂足为，
在直线上，，，
，，，
，，
，，
，
，，
，，，
，，
设，整理得到，
则，解得，
的最大值为，的最大值为.
1 / 1广东广州市天河区2026届普通高中毕业班适应性训练（二模）数学试卷
1．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：易知集合，集合，则.
故答案为：C.
【分析】解分式不等式求得集合，再根据集合的交集运算求解即可.
2．在的二项展开式中，第4项的二项式系数是（　　）
A．56 B．-56 C．70 D．-70
【答案】A
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：展开式中第4项的二项式系数为.
故答案为：A.
【分析】根据二项式系数的定义，结合组合数公式求解即可.
3．已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，得，
则复数z在复平面内对应的点为，位于第三象限.
故答案为：C.
【分析】利用复数代数形式的除法运算，结合复数在复平面内的表示判断即可.
4．已知等比数列满足，，记为其前项和，则（　　）
A．4 B．6.5 C．8 D．12
【答案】C
【知识点】等比数列的性质；等比中项
【解析】【解答】解：等比数列满足，则，
又因为，所以，
则，解得，故.
故答案为：C.
【分析】根据等比的性质求得，再由可得，即可得的值.
5．函数是奇函数的充要条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：函数，
当时，，解得，
将代入可得，结合，可得，
整理得对任意恒成立，平方化简得对任意恒成立，因此，
函数是奇函数等价于且，即，
反之若，必有，
此时确实是奇函数，故充要条件为.
故答案为：B.
【分析】函数的定义域为，根据奇函数定义，对任意都满足，且，结合充分、必要的条件的定义判断即可.
6．在中，已知，则向量在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：两边平方得，即，
两边平方得，即，
即，
如图，，向量与的夹角为，，
则向量在上的投影向量为.
故答案为：D.
【分析】将已知式子两边平方，结合向量数量积的运算求得，，确定的形状，再根据投影向量的定义求解即可.
7．已知点在圆上，点，当最大时，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式；直线与圆的位置关系；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：设圆的圆心为，易知，半径，
过作圆的切线，设交点为，如图所示：
由图可知，当与圆相切，且点在第四象限时，最大，
因为，所以，
又因为，所以，
则.
故答案为：D.
【分析】易知圆心和半径，过作圆的切线，设交点为，数形结合确定当最大时点位置，利用两角和的余弦公式求值即可.
8．在锐角中，角所对的边分别为且，则的取值范围（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由，
可得，
整理可得，
，
即，即，又因为，所以，
结合为锐角，则，故，且，此时，
因此且，故，
又，则，
故，
由于，则，，
故.
故答案为：A.
【分析】利用余弦的二倍角公式化简整理可得，根据一元二次方程有解，利用判别式，结合三角函数的性质可得，，最后根据正弦定理求解即可.
9．为普及法制教育，对50名市民开展了一次法律知识竞赛答题活动，测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖.
成绩/分 92 93 95 96 98 99 100
人数 5 7 8 14 13
下列结论正确的是（　　）
A．众数为99 B．极差为9
C．分位数为96 D．平均数大于中位数
【答案】A,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：根据题意，总共有50名市民，则成绩为或的共人，
A、99分有14人，众数为99，故A正确；
B、极差为，故B错误；
C、因为，则第13个数分值为96，故C正确；
D、中位数是第25和第26两个数的平均数，由于这两个数都是99，则中位数为99，
设成绩为的有个人，
平均数为，则以平均数小于中位数，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据众数、极差、百分数以及中位数、平均数的定义求解判断即可.
10．如图，在正四面体中，点分别为各棱的中点，则（　　）
A．
B．平面
C．
D．直线与直线所成角的余弦值为
【答案】A,B,D
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、取中点，连接，
在正四面体中，根据题意，可得，所以，同理，
又因为平面，所以平面，平面，则，
又因为，所以，故A正确；
B、根据正四面体的性质可知，则，又，
所以，同理，
又平面，
所以平面，故B正确；
C、设正四面体棱长为1，
顶点在平面上的射影为点，则为的重心，
所以，
所以，
，
所以，故C错误；
D、因为，所以为直线与直线所成的角，
则，故D正确.
故答案为：ABD
【分析】取中点，连接，利用线面垂直的判定定理得平面，再由线面垂直的性质求证即可判断A；根据正四面体的性质可知，结合等腰三角形性质和中位线性质得，同理，根据线面垂直的判定定理证明平面即可判断B；设正四面体棱长为1，顶点在平面上的射影为点，则为的重心，分别求出体积即可判断C；由，可得为直线与直线所成的角，利用余弦定理求解即可判断D.
11．对于函数，下面说法正确的有（　　）
A．当时，函数有两个零点
B．当时，函数不存在极值点
C．当最小值为时，
D．当时，函数在区间单调递减
【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，
当时，，解得，
不妨取，当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
，
易知当时，函数，此时函数只有一个零点，故A错误；
当时，若，因，则，，
则在上单调递增，无极值点；
若，因，则，，则在上单调递减，无极值点；
综上，当时，函数不存在极值点，故B正确；
由A项分析可知，当最小值为时，有，
，即，
令，则，即，
令，，
当时，，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，的解为，
即，，此时，即，故C正确；
当时，函数
由，可得，即函数的定义域为，
则，因，
则，
故当时，，即在上单调递减，故D正确．
故答案为：BCD.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，分析极值点及零点即可判断AB；由A项分析可知，当最小值为时，确定，进而得到，结合最值即可判断C；当时，函数，对求导，利用导数判断函数的单调性即可判断D．
12．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则的渐近线为　 　.
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线，由题意得：，解得，
则双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
【分析】根据双曲线的性质求解即可.
13．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：，，
在区间上单调递增，在区间上恒成立，
在区间上恒成立，
，在区间内恒成立，
，，
的取值范围为.
故答案为：.
【分析】函数求导，问题转化为在区间上恒成立，即在区间内恒成立，即，解不等式组即可得的取值范围.
14．我们把经过同一点且半径相等的圆称为共点等圆.在平面上过同一点有个共点等圆，其中任何两个圆都有两个不同的交点，但任何三个圆除点外无其他公共点，记这个共点等圆共有个交点，若，则　 　.
【答案】21
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：过同一点有个等圆，当增加第个圆时，
第个圆与前个圆各有一个除外的交点，
因此递推关系为：，
当时，三个等圆过同一点，
每两个圆有个交点，但是公共点，
所以除外，每两个圆有个交点，
三个圆中两两组合的数量为，
因此，
由递推关系式可得：
，
，
，
将这些式子累加得：
，
所以，
又因为，所以，整理得：，
因式分解得：，解得或，
又因为，所以.
故答案为：.
【分析】过同一点有个等圆，当增加第个圆时，第个圆与前个圆各有一个除外的交点，
可得递推关系为：，利用累加法求得，再令，解关于n的方程即可.
15．已知函数的周期为，且.
（1）求函数的解析式；
（2）比较与的大小.
【答案】（1）解：函数的周期为，则，解得，
由，可得函数关于直线对称，
则，得，
因为，所以时，所以，
则；
（2）解：，
，
因为在区间单调递增，所以，则，所以.
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【分析】（1）根据函数的周期求，再由求得对称轴求，确定函数的解析式；
（2）由（1）的解析式，将代入函数解析式，结合诱导公式化简，再根据单调性比较大小.
（1）由条件可知，，得，
可知，函数关于直线对称，
所以，得，
因为，所以时，，
所以；
（2），
，
在区间单调递增，所以，则，
所以.
16．某公司为了了解A商品销售收入（单位：万元）与广告支出（单位：万元）之间的关系，现收集的5组样本数据如下表所示，且经验回归方程为.
2 5 6 8 9
16 20 21 28
10.96 19.24 22 27.52 30.28
（1）求的值；
（2）现从这5组数据的残差中抽取2组进行分析（观测值减去预测值称为残差），记X表示抽到数据的残差为负的组数，求X的分布列和期望；
（3）已知，且当时，回归方程的拟合效果良好，试结合数据，判断经验回归方程的拟合效果是否良好.
【答案】（1）解：由数据可得，，
因为，所以，解得；
（2）接：5组数据中，两组数据残差为正值，三组数据残差为负值，
易知随机变量可能取值为，
，
，
，
X的分布列为
0 1 2
期望；
（3）解：，
，
则经验回归方程的拟合效果是不良好.
【知识点】众数、中位数、平均数；回归分析；超几何分布
【解析】【分析】（1）根据表格数据计算，再根据回归直线必过样本中心点求解即可；
（2）由题意可得随机变量可能取值为，求出对应概率，列分布列，求期望即可；
（3）计算代入公式计算判断即可.
（1），
，
因为，即，
解得.
（2）5组数据中，两组数据残差为正值，三组数据残差为负值，
所以可能取值为，
，
，
，
所以X的分布列为
0 1 2
期望.
（3），
，
所以经验回归方程的拟合效果是不良好.
17．已知函数.
（1）直线过点且与曲线相切，求直线方程；
（2）已知在导函数的图象上，以点为圆心的与轴都相切，且与彼此外切.若，且，求数列的前项之和.
【答案】（1）解：函数定义域为，，
设切点坐标为，则切线斜率，
即切线方程为，即，
将代入可得，解得，则直线方程为；
（2）解：由（1）可知：，则，
由题意可知：的圆心为，半径，
因为与外切，则，
可得，且，
整理可得，即，
可知数列是以首项，公差的等差数列，
则，即，
则，
故.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；等差数列概念与表示；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，设切点坐标为，根据导数的几何意义，结合点斜式求切线方程，将代入可得，即可得直线方程；
（2）由（1）可知：，则，根据题意可知的圆心和半径，结合两圆外切可知数列是以首项，公差的等差数列，利用等差数列的定义求，，利用裂项相消法求和即可.
（1）因为，则，
设切点坐标为，则切线斜率，
可得切线方程为，即，
代入点可得，解得，
所以直线方程为.
（2）由（1）可知：，则，
由题意可知：的圆心为，半径，
因为与外切，则，
可得，且，
整理可得，即，
可知数列是以首项，公差的等差数列，
则，即，
则，
所以.
18．如图.底面为平行四边形的直四棱柱，点为边上的中点，点是空间一点.
（1）证明：平面；
（2）若平面与平面所成角的余弦值为，求；
（3）若，直线平面，则在平面内是否存在点，使得的长为定值，若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明：连接，交于点，连接，如图所示：
因为四棱柱为直四棱柱，所以四边形为矩形，所以为中点，
又因为为中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：以为基底，设，
则，，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，所以，
设平面的法向量为，
又，，
由，
所以，
令，则，，
所以，
又，
，
，
由，
所以，
所以或（舍去），则；
（3）解：因为三棱柱为直四棱柱，且，
以为原点，所在的射线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，.
设，则，，，
因为平面，所以.
整理得，即在以为球心，为半径的球上，也在平面：上，其中平面的一个法向量，
要使得为定值，则，
由已知，由（2）得平面的法向量，
而，且点平面，
则平面，
则直线与平面无交点，故不存在点使得为定值.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）以为基底，设，利用空间向量表示平面与平面所成角的余弦值，列式求即可；
（3）以为原点，所在的射线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量探索的存在性即可.
（1）连接，交于点，连接.如图：
因为四棱柱为直四棱柱，所以四边形为矩形，
所以为中点，又为中点，
所以，又平面，平面，所以平面.
（2）以为基底，设，
则，，，.
设平面的法向量为，
则.
令，则，所以.
设平面的法向量为，
又，.
由，
所以.
令，则，.
所以.
又.
，
.
由，
所以，
所以或（舍去）.
所以.
（3）因为三棱柱为直四棱柱，且，故可以为原点，所在的射线为轴，建立如图空间直角坐标系.
则，，，.
设，则，，，
因为平面，所以.
整理得，即在以为球心，为半径的球上，也在平面：上，其中平面的一个法向量，
要使得为定值，则，
由已知，由（2）得平面的法向量，
而，且点平面，
则平面，
则直线与平面无交点，故不存在点使得为定值.
19．已知点为抛物线的焦点，点在上.
（1）求的方程与点F坐标：
（2）过点的直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线相交于两点.
（i）若为线段的中点，求证：直线为抛物线的切线；
（ii）若直线为抛物线的切线，过点作直线的垂线，垂足为，求的最大值.
【答案】（1）解：因为点在，所以，解得，则抛物线；
抛物线的焦点；
（2）解：（i）因为过点的直线与抛物线相交于两点，所以此直线一定存在斜率，
设过点的直线方程为，
联立，得到，整理得到，
设，由韦达定理可得，
因为为线段的中点，所以，
又因为，所以，所以，
因为在直线上，，
，，，
在上，，，
，，
，，，
切点为，，
与切点为的斜率相等，直线为抛物线的切线；
（ii）由（i）知，当为抛物线的切线时，
，， ，，
直线的方程为，
如图，作出符合题意的图形，
过点作直线的垂线，垂足为，
在直线上，，，
，，，
，，
，，
，
，，
，，，
，，
设，整理得到，
则，解得，
的最大值为，的最大值为.
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线方程，再求焦点坐标即可；
（2）（i）由题意可得直线一定存在斜率，设过点的直线方程为，联立直线与抛物线方程，消元整理得关于的一元二次方程，利用韦达定理写出，结合中点坐标公式得到点的坐标，同时得到的坐标，求出，利用导数的几何意义求出在点处的切线的斜率，从而得到与切点为的斜率相等，故直线为抛物线的切线；
（ii）由（i）知，当为抛物线的切线时，， ，求出，利用点斜式求出直线的方程，由过点作直线的垂线，垂足为，得到在直线上从而得到点的坐标，由得到，利用数量积求出的坐标，利用两点间距离公式求出通过构造函数，利用判别式法求值域即可得到的最大值.
（1）点在，，
，；
点为抛物线的焦点，；
（2）（i）过点的直线与抛物线相交于两点，此直线一定存在斜率，
设过点的直线方程为，
将代入，得到，
整理得到，
如图，设，则有，
为线段的中点，，
，，
，
在直线上，，
，，，
在上，，，
，，
，，，
切点为，，
与切点为的斜率相等，直线为抛物线的切线；
（ii）由（i）知，当为抛物线的切线时，
，， ，，
直线的方程为，
如图，作出符合题意的图形，
过点作直线的垂线，垂足为，
在直线上，，，
，，，
，，
，，
，
，，
，，，
，，
设，整理得到，
则，解得，
的最大值为，的最大值为.
1 / 1

展开更多......

收起↑