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广东省深圳市罗湖区深圳中学2025—2026学年度第二学期期中考试八年级数学试卷
1．下列是在深中数学课堂上同学们用 AI 随机生成的含有中国文化元素的图形，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A：该图案是中心对称图形，所以A符合题意；
B：不是对称图形，所以B不符合题意；
C：不是对称图形，所以C不符合题意；
D：该图案是轴对称图形，不是中心对称图形，所以D不符合题意。
故答案为：A.
【分析】根据中心对称图形的定义逐项进行分析即可得出答案。
2．下列各式中，是分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：是分式。
故答案为：B.
【分析】根据分式的定义，分母中含有字母的代数式，即可得出答案。
3．下列哪项是一元一次不等式（　　）
A．a-1 B．a-1=2 C．a-1≤3 D．
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的概念
【解析】【解答】解： A： a-1 是代数式，所以A不符合题意；
B： a-1=2 是方程，所以B不符合题意；
C： a-1≤3 是一元一次不等式，所以C符合题意；
D： 是一元二次不等式，所以D不符合题意。
故答案为：C.
【分析】根据只含一个未知数，且未知数的次数为1次的不等式，逐项分析，即可得出答案。
4．如图，射线OC是∠AOB的角平分线， DE⊥AO， DF⊥BO，若DE=3，则 DF的长度为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ 射线OC是∠AOB的角平分线， DE⊥AO， DF⊥BO，
∴DF=DE=3.
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的性质即可得出答案。
5．深圳中学组织某次“每周半天计划”活动，学生需完成参观博物馆和参加讲座两项内容。其中讲座时间比参观时间的2倍少10分钟。已知参观时间需超过30分钟，讲座时间不少于 60分钟。设参观时间为x分钟，则讲座时间为（2x-10)分钟，则下列不等式组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的应用；列一元一次不等式组
【解析】【解答】解：设参观时间为x分钟，则讲座时间为（2x-10)分钟，根据题意，得：
故答案为：B.
【分析】设参观时间为x分钟，则讲座时间为（2x-10)分钟，根据参观时间需超过30分钟，讲座时间不少于 60分钟，即可得出不等式组。
6．如图所示，用尺规作等腰三角形ABC，使AB =AC， BC =a，高AD =h，下列作图顺序正确的是（　　）
①作线段BC，使BC = a.
②作线段 BC 的垂直平分线 l，交 BC 于点 D
③在l上作线段DA，使DA=h.
④连接AB， AC.
A．④③②① B．②①④③ C．①②④③ D．①②③④
【答案】D
【知识点】尺规作图-作三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：正确的顺序为 ①②③④.
故答案为：D.
【分析】根据尺规作图作等腰三角形的作法，可得出正确顺序。
7．若分式方程 有增根，则m的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】解一元一次方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：∵ 分式方程 有增根，
∴x-2=0，即x=2，
原分式方程去分母后可得出：m-1-1=2（x-2）
把x=2代入m-1-1=2（x-2）。可得出：m=2.
故答案为：A.
【分析】首先根据增根的意义可得出方程的增根，进而把分式方程去分母得出整式方程，把增根代入整式方程，即可得出m的值。
8．如图，已知在△ABC中， AB=7， AC=5， BC=4 ， ∠B=45°。点D和点E分别为线段AB上的动点且DE=2，点F为线段AC上的动点，点G为线段 BC的中点。连接DF，EG，当点 F在线段 AC上运动，点 D和点 E在线段 AB上运动时，求DF+DE+EG的最小值（　　)
A．2.6 B．3.6 C．4.6 D．5.6
【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；平移的性质；解直角三角形；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：1.平移转化：将线段DF沿AB方向向右平移2个单位长度得到线段 EF'，其中 F’为 F的对应点。
由平移性质可知：DF=EF'，FF'=DE=2，且FF'∥AB。此时 DF+DE+ EG=EF'+2+EG。
问题转化为求 EF'+ EG的最小值。
2. 确定轨迹与对称点：
点 F在线段 AC上运动，则点F'的轨迹是一条与AC平行的线段A'C’。
作点G关于直线 AB的对称点 G'，连接F'G’
根据轴对称性质，EG=EG'，所以 EF'+EG =EF'+EG'。当F'、E、G'三点共线时，EF'+EG'取得最小值，最小值为线段 F'G’的长度。
3.计算距离：
计算 G' 到 AB的距离：
过点 G 作 GH ⊥AB于 H。
在Rt△GBH 中，BG=，∠B=45°。
GH = BGsin45° =
由对称性可知，G' 到 AB的距离 G'H=2
计算 A'C'到 AB 的距离：
过点 C 作 CN ⊥AB于 N。
在 Rt△BCN 中，CN = BC·sin45° =4
在Rt中，sinA==
直线A'C'是由AC 沿 AB平移 2个单位得到的，故 A'C'到AB的距离d=2·sin A=2×=1.6
4. 求解最小值：
F'G'的最小值为G'到直线A'C'的垂直距离。
F'G=2+1.6=3.6。
所以，DF+DE+EG 的最小值为 3.6 +2=5.6。
答：DF + DE+ EG 的最小值为 5.6。
故答案为：D.
【分析】平移转化，问题转化为求 EF'+ EG的最小值；2. 确定轨迹与对称点：最小值为线段 F'G’的长度；3计算距离；由对称性可知，G' 到 AB的距离 G'H=2， A'C'到AB的距离d=2·sin A=2×=1.6，4求解最小值，DF+DE+EG 的最小值为 3.6 +2=5.6。
9．因式分解：a2+ab=　 　．
【答案】a（a+b）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2+ab=a（a+b）．
故答案为：a（a+b）．
【分析】直接把公因式a提出来即可．本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a是解题的关键．
10．当x=　 　时，分式 的值为0.
【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：x-1=0，
∴x=1，
当x=1时，x2+2x+3=1+2+3=6≠0，
∴当x=1时， 分式 的值为0.
故答案为：1.
【分析】根据分式有意义的条件，可得出x-1=0，且x2+2x+3=1+2+3=6≠0，即可得出答案。
11．如图，在四边形ABCD中，点O为对角线AC和BD的交点，已知OB=OD=5cm，OA=3cm，当OC=　 　 cm时，四边形ABCD 是平行四边形。
【答案】3
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵OB=OD，OA=OC时， 四边形ABCD 是平行四边形。
∴OC=OA=3cm。
故答案为：3.
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得出OC=OA=3cm。
12．如图，直线 和直线 相交于点（2， 2)，当 时，x的取值范围　 　.
【答案】x>2
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可得出：在交点（2，2）右侧， 直线 在 直线 的下边，即，
∴ 当 时， x＞2。
故答案为：x>2.
【分析】根据图象的位置及交点的坐标，即可得出答案。
13．如图，已知 AB=BC， ∠ABC=90°， ∠BDC=90°， ∠BDA=120°。当 时，求CD的长度为　 　.
【答案】
【知识点】解一元一次方程；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：过点 A 作 AE⊥ BD，交 BD 的延长线于点E。
∵∠BDA=120°
∴∠ADE = 180°-120°= 60°
在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠ADE=60°
∴∠DAE=30°
∴AD=2DE
设DE=x，则AD=2x
由勾股定理得：AE==
∵∠ABC =90°
∴∠ABE+ ∠CBD =90°
∵∠BDC=90°
∴∠BCD+∠CBD = 90°
∴∠ABE=∠BCD
在△ABE和△BCD中：
∵∠AEB=∠BDC=90°
∠ABE=∠BCD
AB=BC
∴(AAS)
∴AE=BD，BE=CD
∴BD=
∴AE=
∴，解得x=1
∴DE=1
∴CD= BE= BD +DE=+1
答：CD 的长度为+1。
故答案为：.
【分析】过点 A 作 AE⊥ BD，交 BD 的延长线于点E，根据已知条件可得出∠DAE=30°，进而得出AD=2DE，设DE=x，则AD=2x，由勾股定理得：AE==然后根据AAS可证得，从而得出AE=BD，BE=CD，进而得出，解得x=1，从而得出CD= BE= BD +DE=+1。
14．解不等式组 并在数轴上表示.
【答案】解：原不等式组
解不等式①，得x>1
解不等式②，得 x≤3
∴不等式组的解集为1【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据解不等式组的步骤正确解答，可得出不等式组的解集为115．先化简再求值， 其中a=2，b=2.
【答案】解：原式
当a=2，b=-2时；
原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，进行分式的化简，然后再把a=2，b=-2代入化简后的式子中，进行计算即可。
16．画图题
在平面直角坐标系中有 ，其中格子均为正方形且边长为1单位长度。
（1）绕某点顺时针旋转 至 ，求旋转点坐标　 　；
（2）画出 沿着Y轴负方向移动3个单位的图形
（3）画出 关于点O的中心对称图形
（4）求 的面积.
【答案】（1）（1， 2)
（2）解：如图所示，所作图为△A2B2C2
（3）解：如图所示，所作图为△A3B3C3
（4）解：割补法，大的矩形减去三个小三角形的面积
【知识点】作图﹣平移；中心对称及中心对称图形；作图﹣旋转；几何图形的面积计算-割补法；作图﹣中心对称
【解析】【解答】解：(1)连接AA1，BB1，分别作AA1，BB1的垂直平分线，相交于点P，
则旋转中心P的坐标为(1， 2)。
【分析】（1）连接AA1，BB1，分别作AA1，BB1的垂直平分线，相交于点P，根据坐标即可得出答案；
（2）根据移动的方向和单位长度，即可得出图形；
（3）根据中心对称点的性质，即可得出图形；
（4）根据割补法及三角形的面积计算公式，即可得出答案。
17．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，CE=AF，CH=AG
（1）求证四边形EGFH是平行四边形；
（2）若EH=CH， EG=EC， ∠FHG=30°， 求 的度数.
【答案】（1）证明：∵ABCD 是平行四边形
∴AB∥CD
∴∠ECH=∠FAG
∵CE=AF， CH=AG
∴△ECH≌△FAG（SAS)
∴EH=FG，∠CHE=∠AGF
∴∠EHG=∠FGH
∴EH∥FG
∴四边形EGFH 是平行四边形
（2）解：由（1） 可知四边形EFGH是平行四边形， EG∥FH
∴∠EGH=∠FHG=30°
∵EG=EC
∴∠CGE=∠ECG=30°
∵EH=CH
∴∠HEC=∠ECH=30°
∴∠GEH=180°-∠GHE-∠CGE=180°-60°-30°=90°
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）首先通过证明△ECH≌△FAG，可得出EH=FG，∠CHE=∠AGF ，进而∠EHG=∠FGH，得出EH∥FG ，然后根据平行四边形的判定，即可得出结论；
（2）由（1） 可知四边形EFGH是平行四边形， EG∥FH，可得出∠EGH=∠FHG=30°，再根据等腰三角形的性质，可得出∠CGE=∠ECG=30°，∠HEC=∠ECH=30°，进而可得出∠GEH=180°-∠GHE-∠CGE=180°-60°-30°=90°。
18．课本复习题有道题是“如果 ab =0，那么（a=0或b=0。利用所学知识，尝试求解方程x2-2x=0。”“如果 ab=0，那么（a=0或b=0"’在数学中通常称为零乘积性质。方程 可化为x（x-2)=0。根据零乘积性质，若ab=0，则 a=0 或 b=0，因此x=0 或 x-2 =0，解得x=0或x=2。所以方程的解为 x=0或x=2。请利用零乘积性质完成下列各题
（1）求解方程
（2）已知 当y =-2，求x的值；
（3）已知△ABC的三边a，b，c满足 请判断 的形状，并说明理由.
【答案】（1）解：方程 可化为 a（a+2)=0
由零乘积性质得 a=0 或 a=-2。
（2）解：解法1：将 y=-2 代入方程：
因式分解得（x+3)（x-2)=0，由零乘积性质得 x=-3 或 x=2。
解法2：
x2+ xy+3x+3y=x（x+y)+3（x+y)=（x+3)（x+y)
当 y=-2时，原式为（x+3)（x-2)=0，由零乘积性质得x=-3 或 x=2。
（3）解：可化为：
（a-b)（a+b)+c（a-b)=（a-b)（a+b+c)=0
由零乘积性质得a-b=0或a+b+c=0
∵在三角形中， a+b+c>0
∴a-b=0
∴a=b，因此 △ABC是等腰三角形.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的判定；因式分解的应用-判断三角形形状
【解析】【分析】（1）因式分解法解方程即可得出a的值；
（2）首先把y=-2代入原方程，即可得出x2+x-6=0，利用因式分解法解方程，即可求解；
（3）左边进行因式分解可得出（a-b)（a+b)+c（a-b)=（a-b)（a+b+c)=0 ，进而得出a=b，即可得出 △ABC是等腰三角形.
19．项目式学习问题：迎接APEC 的智能机器人采购与工程规划
背景：2026年亚太经合组织（APEC)非正式高官会在深圳举行，某街道办拟购买智能机器人沿街巡逻。现有 A、B两款巡逻机器人，需解决机器人单价、巡逻工程规定日期及采购方案等问题。
素材一 A 款机器人单价比 B 款贵 2 万元。若用 60 万元单独采购 A 款，采购数量会比仅采购 B 款少 1 台。
素材二 有一项巡逻工程，A机器人单独巡逻恰能在规定日期内完成，B机器人单独巡逻则需超出规定日期 10天。若A、B两机器人合作 8 天，余下工作由 B 机器人单独完成，可提前 2 天完工。
素材三 已知 A 款机器人每日巡逻路程为 48 千米，每台单价 12 万元；B款机器人每日巡逻路程为 32 千米，每台单价 10 万元。街道办拟购买两种机器人共 8台，要求每日巡逻总路程不低于 320 千米，且总费用不超过 90 万元。
任务一：机器人单价计算 设 B 款机器人每台的单价为x万元，则A 款机器人每台的单价为 （x+2)万元，请根据素材一列出分式方程，不用求解。
任务二：巡逻工程规定日期 根据素材二，求该项工程规定日期多少天
任务三：机器人采购优化 根据素材三，问有多少种购买方案，A，B款机器人各购买多少台
【答案】解：任务一：根据题意，全部资金60万元购买A款的数量为 台，购买B款的数量为 台。由“采购A款的数量比采购B款的数量少1台”列分式方程：
任务二：设规定日期为a天，则A机器人单独完成需a天，B机器人单独完成需（a+10)天。根据题意，A的工作效率为 ，B的工作效率为 A、B合作8天后，剩余工程由B单独做，且整个工程提前2天完成，即实际所用天数为（a-2)天。因此B单独做的天数为（a-2)-8=a-10 天。
由工作量关系得方程：
化简：
a=20
经检验，a=20 是原分式方程的根，符合题意。
答：规定日期是20天。
任务三：解：设购买A款机器人 m台，则购买B款机器人（8-m)台。
根据题意得不等式组：
化简不等式①：
m≥4
化简不等式②：
m≤5
因此 4≤m≤5，且 m为整数，所以 m=4或m=5。
对应方案：
当 m=4时，购买A款4台， B款4台；
当 m=5时，购买A款5台， B款3台。
答：共有两种购买方案：① A款4台、B款4台；② A款5台、B款3台。
【知识点】分式方程的实际应用；分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】任务一： 设 B 款机器人每台的单价为x万元，则A 款机器人每台的单价为 （x+2)万元， 根据用 60 万元单独采购 A 款，采购数量会比仅采购 B 款少 1 台。 即可得出分式方程；
任务二：设规定日期为a天，根据 A、B两机器人合作 8 天，余下工作由 B 机器人单独完成，可提前 2 天完工。可得出方程，解方程即可求解；
任务三：设购买A款机器人 m台，则购买B款机器人（8-m)台。根据 每日巡逻总路程不低于 320 千米，且总费用不超过 90 万元。即可得出不等式组，解不等式组即可得出答案。
20．如图1， 在△ABC 中， ∠A=45°， ∠B=60°， ∠C=75°， BC=4 作CD⊥AB于D。
（1）初识图形CD=　 　；AC=　 　（填具体数值)
（2）深度探究
如图2，将直线AB绕点 B 顺时针旋转（旋转角度不超过 ，旋转后的直线与直线AC交于点 A1。请问：当顺时针旋转多少度时， 是等腰三角形
（3）拓展提升
如图3，点E是线段AC的中点。在线段ED上有一个动点P，将线段CP绕点C顺时针旋转 得到线段（ 在线段 DB上有一个动点Q，记 将线段 CQ 绕点 C逆时针旋转2α得到线段（ 问：当EP1取最小值、 取最大值时， 的长度是多少
【答案】（1）6；
（2）解：一共有三个等腰三角形，设直线AB绕 B点顺时旋转交直线AC于B3点
当 为底边；
为底边；
为底边时；
是等腰三角形。
（3）解：如图所示，在线段ED上有一动点P，CP 绕点C 顺时针旋转 到线段
即线段DE绕点C顺时针旋转 到线段 当 垂直 时， 取到最小值。
在线段DB上有一动点Q，∠QCB=α，点Q绕点C逆时针旋转2α到（ 即将 沿线段BC 折叠到. .点Q1在线段| 上运动，当 与 重合时， 取到最大值。
∵在等腰直角三角形ADC 中，点 E 是 AC 的中点
是等腰直角三角形
过点E 作EO 垂直于 DC， OC=OD
是等边三角形
连接 Q1O，Q1O 垂直CD
连接PQ1， 此时1四点共线
即线段 取到最小值
【知识点】两点之间线段最短；三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）∵ CD⊥AB于D ，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
在Rt中，∠B=60°，
∴BD=，
∴CD=，
在Rt中，∠A=180°-60°-75°=45°，
∴AD=CD=6，
∴AC=。
故第1空答案为：6；第2空答案为6；
【分析】（1）首先根据垂直的定义可得出∠ADC=∠BDC=90°，进而根据含30°锐角的直角三角形的性质及勾股定理可得出CD的长度，进而根据等腰直角三角形的性质及沟谷定理可得出AC的长度；
（2）根据等腰三角形的性质及三角形内角和即可得出答案；
（3）分别确定EP1取最小值，DQ1取最大值的情况，利用等腰直角三角形的性质，当P1EOQ1四点共线，求得P1Q1的长度。
1 / 1广东省深圳市罗湖区深圳中学2025—2026学年度第二学期期中考试八年级数学试卷
1．下列是在深中数学课堂上同学们用 AI 随机生成的含有中国文化元素的图形，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列各式中，是分式的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列哪项是一元一次不等式（　　）
A．a-1 B．a-1=2 C．a-1≤3 D．
4．如图，射线OC是∠AOB的角平分线， DE⊥AO， DF⊥BO，若DE=3，则 DF的长度为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．深圳中学组织某次“每周半天计划”活动，学生需完成参观博物馆和参加讲座两项内容。其中讲座时间比参观时间的2倍少10分钟。已知参观时间需超过30分钟，讲座时间不少于 60分钟。设参观时间为x分钟，则讲座时间为（2x-10)分钟，则下列不等式组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图所示，用尺规作等腰三角形ABC，使AB =AC， BC =a，高AD =h，下列作图顺序正确的是（　　）
①作线段BC，使BC = a.
②作线段 BC 的垂直平分线 l，交 BC 于点 D
③在l上作线段DA，使DA=h.
④连接AB， AC.
A．④③②① B．②①④③ C．①②④③ D．①②③④
7．若分式方程 有增根，则m的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，已知在△ABC中， AB=7， AC=5， BC=4 ， ∠B=45°。点D和点E分别为线段AB上的动点且DE=2，点F为线段AC上的动点，点G为线段 BC的中点。连接DF，EG，当点 F在线段 AC上运动，点 D和点 E在线段 AB上运动时，求DF+DE+EG的最小值（　　)
A．2.6 B．3.6 C．4.6 D．5.6
9．因式分解：a2+ab=　 　．
10．当x=　 　时，分式 的值为0.
11．如图，在四边形ABCD中，点O为对角线AC和BD的交点，已知OB=OD=5cm，OA=3cm，当OC=　 　 cm时，四边形ABCD 是平行四边形。
12．如图，直线 和直线 相交于点（2， 2)，当 时，x的取值范围　 　.
13．如图，已知 AB=BC， ∠ABC=90°， ∠BDC=90°， ∠BDA=120°。当 时，求CD的长度为　 　.
14．解不等式组 并在数轴上表示.
15．先化简再求值， 其中a=2，b=2.
16．画图题
在平面直角坐标系中有 ，其中格子均为正方形且边长为1单位长度。
（1）绕某点顺时针旋转 至 ，求旋转点坐标　 　；
（2）画出 沿着Y轴负方向移动3个单位的图形
（3）画出 关于点O的中心对称图形
（4）求 的面积.
17．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，CE=AF，CH=AG
（1）求证四边形EGFH是平行四边形；
（2）若EH=CH， EG=EC， ∠FHG=30°， 求 的度数.
18．课本复习题有道题是“如果 ab =0，那么（a=0或b=0。利用所学知识，尝试求解方程x2-2x=0。”“如果 ab=0，那么（a=0或b=0"’在数学中通常称为零乘积性质。方程 可化为x（x-2)=0。根据零乘积性质，若ab=0，则 a=0 或 b=0，因此x=0 或 x-2 =0，解得x=0或x=2。所以方程的解为 x=0或x=2。请利用零乘积性质完成下列各题
（1）求解方程
（2）已知 当y =-2，求x的值；
（3）已知△ABC的三边a，b，c满足 请判断 的形状，并说明理由.
19．项目式学习问题：迎接APEC 的智能机器人采购与工程规划
背景：2026年亚太经合组织（APEC)非正式高官会在深圳举行，某街道办拟购买智能机器人沿街巡逻。现有 A、B两款巡逻机器人，需解决机器人单价、巡逻工程规定日期及采购方案等问题。
素材一 A 款机器人单价比 B 款贵 2 万元。若用 60 万元单独采购 A 款，采购数量会比仅采购 B 款少 1 台。
素材二 有一项巡逻工程，A机器人单独巡逻恰能在规定日期内完成，B机器人单独巡逻则需超出规定日期 10天。若A、B两机器人合作 8 天，余下工作由 B 机器人单独完成，可提前 2 天完工。
素材三 已知 A 款机器人每日巡逻路程为 48 千米，每台单价 12 万元；B款机器人每日巡逻路程为 32 千米，每台单价 10 万元。街道办拟购买两种机器人共 8台，要求每日巡逻总路程不低于 320 千米，且总费用不超过 90 万元。
任务一：机器人单价计算 设 B 款机器人每台的单价为x万元，则A 款机器人每台的单价为 （x+2)万元，请根据素材一列出分式方程，不用求解。
任务二：巡逻工程规定日期 根据素材二，求该项工程规定日期多少天
任务三：机器人采购优化 根据素材三，问有多少种购买方案，A，B款机器人各购买多少台
20．如图1， 在△ABC 中， ∠A=45°， ∠B=60°， ∠C=75°， BC=4 作CD⊥AB于D。
（1）初识图形CD=　 　；AC=　 　（填具体数值)
（2）深度探究
如图2，将直线AB绕点 B 顺时针旋转（旋转角度不超过 ，旋转后的直线与直线AC交于点 A1。请问：当顺时针旋转多少度时， 是等腰三角形
（3）拓展提升
如图3，点E是线段AC的中点。在线段ED上有一个动点P，将线段CP绕点C顺时针旋转 得到线段（ 在线段 DB上有一个动点Q，记 将线段 CQ 绕点 C逆时针旋转2α得到线段（ 问：当EP1取最小值、 取最大值时， 的长度是多少
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A：该图案是中心对称图形，所以A符合题意；
B：不是对称图形，所以B不符合题意；
C：不是对称图形，所以C不符合题意；
D：该图案是轴对称图形，不是中心对称图形，所以D不符合题意。
故答案为：A.
【分析】根据中心对称图形的定义逐项进行分析即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：是分式。
故答案为：B.
【分析】根据分式的定义，分母中含有字母的代数式，即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的概念
【解析】【解答】解： A： a-1 是代数式，所以A不符合题意；
B： a-1=2 是方程，所以B不符合题意；
C： a-1≤3 是一元一次不等式，所以C符合题意；
D： 是一元二次不等式，所以D不符合题意。
故答案为：C.
【分析】根据只含一个未知数，且未知数的次数为1次的不等式，逐项分析，即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ 射线OC是∠AOB的角平分线， DE⊥AO， DF⊥BO，
∴DF=DE=3.
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的性质即可得出答案。
5．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的应用；列一元一次不等式组
【解析】【解答】解：设参观时间为x分钟，则讲座时间为（2x-10)分钟，根据题意，得：
故答案为：B.
【分析】设参观时间为x分钟，则讲座时间为（2x-10)分钟，根据参观时间需超过30分钟，讲座时间不少于 60分钟，即可得出不等式组。
6．【答案】D
【知识点】尺规作图-作三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：正确的顺序为 ①②③④.
故答案为：D.
【分析】根据尺规作图作等腰三角形的作法，可得出正确顺序。
7．【答案】A
【知识点】解一元一次方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：∵ 分式方程 有增根，
∴x-2=0，即x=2，
原分式方程去分母后可得出：m-1-1=2（x-2）
把x=2代入m-1-1=2（x-2）。可得出：m=2.
故答案为：A.
【分析】首先根据增根的意义可得出方程的增根，进而把分式方程去分母得出整式方程，把增根代入整式方程，即可得出m的值。
8．【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；平移的性质；解直角三角形；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：1.平移转化：将线段DF沿AB方向向右平移2个单位长度得到线段 EF'，其中 F’为 F的对应点。
由平移性质可知：DF=EF'，FF'=DE=2，且FF'∥AB。此时 DF+DE+ EG=EF'+2+EG。
问题转化为求 EF'+ EG的最小值。
2. 确定轨迹与对称点：
点 F在线段 AC上运动，则点F'的轨迹是一条与AC平行的线段A'C’。
作点G关于直线 AB的对称点 G'，连接F'G’
根据轴对称性质，EG=EG'，所以 EF'+EG =EF'+EG'。当F'、E、G'三点共线时，EF'+EG'取得最小值，最小值为线段 F'G’的长度。
3.计算距离：
计算 G' 到 AB的距离：
过点 G 作 GH ⊥AB于 H。
在Rt△GBH 中，BG=，∠B=45°。
GH = BGsin45° =
由对称性可知，G' 到 AB的距离 G'H=2
计算 A'C'到 AB 的距离：
过点 C 作 CN ⊥AB于 N。
在 Rt△BCN 中，CN = BC·sin45° =4
在Rt中，sinA==
直线A'C'是由AC 沿 AB平移 2个单位得到的，故 A'C'到AB的距离d=2·sin A=2×=1.6
4. 求解最小值：
F'G'的最小值为G'到直线A'C'的垂直距离。
F'G=2+1.6=3.6。
所以，DF+DE+EG 的最小值为 3.6 +2=5.6。
答：DF + DE+ EG 的最小值为 5.6。
故答案为：D.
【分析】平移转化，问题转化为求 EF'+ EG的最小值；2. 确定轨迹与对称点：最小值为线段 F'G’的长度；3计算距离；由对称性可知，G' 到 AB的距离 G'H=2， A'C'到AB的距离d=2·sin A=2×=1.6，4求解最小值，DF+DE+EG 的最小值为 3.6 +2=5.6。
9．【答案】a（a+b）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2+ab=a（a+b）．
故答案为：a（a+b）．
【分析】直接把公因式a提出来即可．本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a是解题的关键．
10．【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：x-1=0，
∴x=1，
当x=1时，x2+2x+3=1+2+3=6≠0，
∴当x=1时， 分式 的值为0.
故答案为：1.
【分析】根据分式有意义的条件，可得出x-1=0，且x2+2x+3=1+2+3=6≠0，即可得出答案。
11．【答案】3
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵OB=OD，OA=OC时， 四边形ABCD 是平行四边形。
∴OC=OA=3cm。
故答案为：3.
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得出OC=OA=3cm。
12．【答案】x>2
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可得出：在交点（2，2）右侧， 直线 在 直线 的下边，即，
∴ 当 时， x＞2。
故答案为：x>2.
【分析】根据图象的位置及交点的坐标，即可得出答案。
13．【答案】
【知识点】解一元一次方程；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：过点 A 作 AE⊥ BD，交 BD 的延长线于点E。
∵∠BDA=120°
∴∠ADE = 180°-120°= 60°
在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠ADE=60°
∴∠DAE=30°
∴AD=2DE
设DE=x，则AD=2x
由勾股定理得：AE==
∵∠ABC =90°
∴∠ABE+ ∠CBD =90°
∵∠BDC=90°
∴∠BCD+∠CBD = 90°
∴∠ABE=∠BCD
在△ABE和△BCD中：
∵∠AEB=∠BDC=90°
∠ABE=∠BCD
AB=BC
∴(AAS)
∴AE=BD，BE=CD
∴BD=
∴AE=
∴，解得x=1
∴DE=1
∴CD= BE= BD +DE=+1
答：CD 的长度为+1。
故答案为：.
【分析】过点 A 作 AE⊥ BD，交 BD 的延长线于点E，根据已知条件可得出∠DAE=30°，进而得出AD=2DE，设DE=x，则AD=2x，由勾股定理得：AE==然后根据AAS可证得，从而得出AE=BD，BE=CD，进而得出，解得x=1，从而得出CD= BE= BD +DE=+1。
14．【答案】解：原不等式组
解不等式①，得x>1
解不等式②，得 x≤3
∴不等式组的解集为1【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据解不等式组的步骤正确解答，可得出不等式组的解集为115．【答案】解：原式
当a=2，b=-2时；
原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，进行分式的化简，然后再把a=2，b=-2代入化简后的式子中，进行计算即可。
16．【答案】（1）（1， 2)
（2）解：如图所示，所作图为△A2B2C2
（3）解：如图所示，所作图为△A3B3C3
（4）解：割补法，大的矩形减去三个小三角形的面积
【知识点】作图﹣平移；中心对称及中心对称图形；作图﹣旋转；几何图形的面积计算-割补法；作图﹣中心对称
【解析】【解答】解：(1)连接AA1，BB1，分别作AA1，BB1的垂直平分线，相交于点P，
则旋转中心P的坐标为(1， 2)。
【分析】（1）连接AA1，BB1，分别作AA1，BB1的垂直平分线，相交于点P，根据坐标即可得出答案；
（2）根据移动的方向和单位长度，即可得出图形；
（3）根据中心对称点的性质，即可得出图形；
（4）根据割补法及三角形的面积计算公式，即可得出答案。
17．【答案】（1）证明：∵ABCD 是平行四边形
∴AB∥CD
∴∠ECH=∠FAG
∵CE=AF， CH=AG
∴△ECH≌△FAG（SAS)
∴EH=FG，∠CHE=∠AGF
∴∠EHG=∠FGH
∴EH∥FG
∴四边形EGFH 是平行四边形
（2）解：由（1） 可知四边形EFGH是平行四边形， EG∥FH
∴∠EGH=∠FHG=30°
∵EG=EC
∴∠CGE=∠ECG=30°
∵EH=CH
∴∠HEC=∠ECH=30°
∴∠GEH=180°-∠GHE-∠CGE=180°-60°-30°=90°
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）首先通过证明△ECH≌△FAG，可得出EH=FG，∠CHE=∠AGF ，进而∠EHG=∠FGH，得出EH∥FG ，然后根据平行四边形的判定，即可得出结论；
（2）由（1） 可知四边形EFGH是平行四边形， EG∥FH，可得出∠EGH=∠FHG=30°，再根据等腰三角形的性质，可得出∠CGE=∠ECG=30°，∠HEC=∠ECH=30°，进而可得出∠GEH=180°-∠GHE-∠CGE=180°-60°-30°=90°。
18．【答案】（1）解：方程 可化为 a（a+2)=0
由零乘积性质得 a=0 或 a=-2。
（2）解：解法1：将 y=-2 代入方程：
因式分解得（x+3)（x-2)=0，由零乘积性质得 x=-3 或 x=2。
解法2：
x2+ xy+3x+3y=x（x+y)+3（x+y)=（x+3)（x+y)
当 y=-2时，原式为（x+3)（x-2)=0，由零乘积性质得x=-3 或 x=2。
（3）解：可化为：
（a-b)（a+b)+c（a-b)=（a-b)（a+b+c)=0
由零乘积性质得a-b=0或a+b+c=0
∵在三角形中， a+b+c>0
∴a-b=0
∴a=b，因此 △ABC是等腰三角形.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的判定；因式分解的应用-判断三角形形状
【解析】【分析】（1）因式分解法解方程即可得出a的值；
（2）首先把y=-2代入原方程，即可得出x2+x-6=0，利用因式分解法解方程，即可求解；
（3）左边进行因式分解可得出（a-b)（a+b)+c（a-b)=（a-b)（a+b+c)=0 ，进而得出a=b，即可得出 △ABC是等腰三角形.
19．【答案】解：任务一：根据题意，全部资金60万元购买A款的数量为 台，购买B款的数量为 台。由“采购A款的数量比采购B款的数量少1台”列分式方程：
任务二：设规定日期为a天，则A机器人单独完成需a天，B机器人单独完成需（a+10)天。根据题意，A的工作效率为 ，B的工作效率为 A、B合作8天后，剩余工程由B单独做，且整个工程提前2天完成，即实际所用天数为（a-2)天。因此B单独做的天数为（a-2)-8=a-10 天。
由工作量关系得方程：
化简：
a=20
经检验，a=20 是原分式方程的根，符合题意。
答：规定日期是20天。
任务三：解：设购买A款机器人 m台，则购买B款机器人（8-m)台。
根据题意得不等式组：
化简不等式①：
m≥4
化简不等式②：
m≤5
因此 4≤m≤5，且 m为整数，所以 m=4或m=5。
对应方案：
当 m=4时，购买A款4台， B款4台；
当 m=5时，购买A款5台， B款3台。
答：共有两种购买方案：① A款4台、B款4台；② A款5台、B款3台。
【知识点】分式方程的实际应用；分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】任务一： 设 B 款机器人每台的单价为x万元，则A 款机器人每台的单价为 （x+2)万元， 根据用 60 万元单独采购 A 款，采购数量会比仅采购 B 款少 1 台。 即可得出分式方程；
任务二：设规定日期为a天，根据 A、B两机器人合作 8 天，余下工作由 B 机器人单独完成，可提前 2 天完工。可得出方程，解方程即可求解；
任务三：设购买A款机器人 m台，则购买B款机器人（8-m)台。根据 每日巡逻总路程不低于 320 千米，且总费用不超过 90 万元。即可得出不等式组，解不等式组即可得出答案。
20．【答案】（1）6；
（2）解：一共有三个等腰三角形，设直线AB绕 B点顺时旋转交直线AC于B3点
当 为底边；
为底边；
为底边时；
是等腰三角形。
（3）解：如图所示，在线段ED上有一动点P，CP 绕点C 顺时针旋转 到线段
即线段DE绕点C顺时针旋转 到线段 当 垂直 时， 取到最小值。
在线段DB上有一动点Q，∠QCB=α，点Q绕点C逆时针旋转2α到（ 即将 沿线段BC 折叠到. .点Q1在线段| 上运动，当 与 重合时， 取到最大值。
∵在等腰直角三角形ADC 中，点 E 是 AC 的中点
是等腰直角三角形
过点E 作EO 垂直于 DC， OC=OD
是等边三角形
连接 Q1O，Q1O 垂直CD
连接PQ1， 此时1四点共线
即线段 取到最小值
【知识点】两点之间线段最短；三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）∵ CD⊥AB于D ，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
在Rt中，∠B=60°，
∴BD=，
∴CD=，
在Rt中，∠A=180°-60°-75°=45°，
∴AD=CD=6，
∴AC=。
故第1空答案为：6；第2空答案为6；
【分析】（1）首先根据垂直的定义可得出∠ADC=∠BDC=90°，进而根据含30°锐角的直角三角形的性质及勾股定理可得出CD的长度，进而根据等腰直角三角形的性质及沟谷定理可得出AC的长度；
（2）根据等腰三角形的性质及三角形内角和即可得出答案；
（3）分别确定EP1取最小值，DQ1取最大值的情况，利用等腰直角三角形的性质，当P1EOQ1四点共线，求得P1Q1的长度。
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