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广东省惠州市惠州一中教育集团2025—2026学年八年级第二学期期中质量监测数学科试题
1．下列各曲线中，不能表示y是x的函数是（　　)
A． B．
C． D．
2．在平行四边形ABCD中， 若∠D=75°， 则∠A的度数为（　　)
A．75° B．105° C．115° D．15°
3．下列各组数中，是勾股数的一组是（　　)
A．，， B．0.3， 0.4， 0.5
C．5， 12， 13 D．32， 42， 52
4．下列运算正确的是（　　)
A． B． C． D．
5．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何 ”题意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇AB，高出水面部分 BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部 B恰好碰到岸边的B'（如图)，则水深和芦苇长各多少尺 若设这根芦苇的长度为x尺，根据题意，所列方程正确的是（　　)
A． B． C． D．
6．如图，将直角三角尺ABC放置在刻度尺上，斜边上三个点A、D、B对应的刻度分别为1、4、7（单位： cm)，则 CD的长度为（　　)
A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm
7．下列命题中，真命题是（　　)
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．三条边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D．有一个角是直角的平行四边形是矩形
8．宽与长的比是 （约为0.618)的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：①作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF；②以F为圆心，DF为半径画弧，交BC的延长线于点G；③作GH⊥AD，交AD的延长线于点 H.则在上图的矩形中，除了矩形DCGH外，黄金矩形还包括（　　)
A．矩形ABGH B．矩形ABFE C．矩形 EFGH D．矩形 EFCD
9．小语同学将温度计从热水杯中取出后立即放入一杯凉水中，每隔5s记录一次温度计上显示的度数，记录结果如下表：
时间t（s) 5 10 15 20 25 30 35
温度计上的度数（℃) 49 31 22 16 14 12 12
下列说法中不正确的是（　　)
A．当t=25s时，温度计上的度数是14℃
B．这个表中时间t是自变量，温度计上的度数是时间t的函数
C．当温度计的度数为25℃时，经过的时间可能是18s
D．温度计上的度数随时间的增加逐渐减小，最后保持不变
10．一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如： 都是复合二次根式.其中，有些特殊的复合二次根式可以进一步化简，如： 请你利用上述方法化简复合二次根式： （　　）
A． B． C． D．
11．在函数 中，自变量x的取值范围是　 　.
12．如图，为了测量池塘边A、B两点之间的距离，在线段AB的一侧取一点C，连接CA并延长至点D，连接CB并延长至点E，使得A、B分别是CD、CE的中点，连接DE.若DE=20m，则AB的长是　 　m.
13．在二次根式 中，最简二次根式有　 　个.
14．魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形ABCD、BEFG、AHIG均为正方形.若AD=5， EI=7， 则正方形AHIG的周长为　 　.
15．按照如图所示的运算程序计算函数y的值，若输出的y值是5，则输入的x值是　 　.
16．如图，某阶梯每一层高 20cm， 宽 40cm， 长50cm， 现有一只蚂蚁打算从A点爬到B点，则最短路程是　 　cm.
17．计算：
（1）
（2）
18．已知某正多边形的一个内角比相邻的外角大140°.
（1）求这个正多边形每个外角的度数；
（2）求这个正多边形的边数.
19．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC， CE与 BE交于点 E.
（1）求证： 四边形 OBEC是矩形；
（2）若AB=5， CE=3， 求菱形ABCD 的面积.
20．已知某摩托车的油箱可容纳6升的汽油，如果不再加油，那么在行驶过程中油箱的剩余油量Q（升)和行驶时间t（小时)的对应值如下表所示：
行驶时间 t（小时) 0 1 2 3 4
剩余油量Q（升) 6 4.5 3 1.5 0
（1）由表格可知，剩余油量Q随行驶的时间t的增加而均匀减少，每行驶 1小时，剩余油量Q减少　 　升，剩余油量Q关于行驶时间t的函数解析式为　 　，其中自变量t的取值范围是　 　；
（2）在给出的平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，并画出函数图象.
21．【综合与实践】在学习了勾股定理之后，某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为他们项目式学习活动的主题.小组成员利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告.请你根据活动报告，帮助同学们解决问题.
活动项目 测量风筝的垂直高度 EF.
测量工具 皮尺等.
示意图
测量方案 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直，先测量放风筝的手到风筝的水平距离BD，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线的长度BF，最后测量牵线放风筝的手到地面的距离AB.
测量数据 BD=16米， BF=20米， AB=DE=1.7米， ∠BDF=90°.
问题解决 任务一 求此时风筝的垂直高度EF；
任务二 若放风筝的同学站在点A不动，想要把风筝沿DC方向从点F的位置上升18米至点C的位置（即： CF=18米，点C、点F、点D在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内)，则还需要放出风筝线多少米
22．如图，在正方形ABCD中， E为边 CD上一点， CD=4DE，将△ADE沿AE 翻折得到△AFE，延长CB至点G，使BG=DE，连接AG、FG、EB.
（1）求证： AE=AG；
（2）若DE=1，求 FG 的长.
23．如图，在△ABC中， AB=6cm， BC=8cm， AC=10cm，动点P从点B出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈，回到点 B后停止，速度为2cm/s，设运动时间为t秒.
（1）证明： △ABC是直角三角形；
（2）若△ABP 是以AB为腰的等腰三角形，求t的值；
（3）另有一动点 Q，从点 B开始，按顺时针方向走一圈回到点 B，且速度为1cm/s.若P、Q两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.请直接写出当t为何值时，直线 PQ 把△ABC的周长分成相等的两部分.
24．综合与探究
【问题情境】
数学课上，同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动.
【操作发现】
（1）如图1，将正方形AEFG的两边AE、AG分别放在正方形ABCD的两边AB和AD上，则DG与BE之间的数量关系为　 　；位置关系为　 　；
（2）如图2，励志小组的同学将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，连接DG、BE，延长BE交 DG于点 H，则在旋转的过程中，（1）的结论是否依然成立 请说明理由.
（3）【深入探究】
如图3，连接CF，善学小组的同学发现，无论正方形AEFG如何旋转， 的值始终保持不变，证明如下：将DG绕点D逆时针旋转90°得到DG'，连接CG'、GG'，则DG=DG'，∠DGG'=∠DG'G=45°.又∵AD=CD，∠ADC=90°， ∴∠ADG=∠CDG'， △ADG≌△CDG'，∴AG=CG'=FG， ∠AGD=∠CG'D，……， ∴CFDG为定值
【拓展迁移】
如图4，创新小组的同学将前面的正方形全都换成菱形（其中∠DAB=∠GAE=60°)，发现无论菱形AEFG如何旋转， 的值也始终不变.请你按照上述方法，求此时 的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】函数的概念；函数的图象
【解析】【解答】解：A、对于任意的x，y都有唯一确定的值与之对应，是函数，不符合题意；
B、对于任意的x，y都有唯一确定的值与之对应，是函数，不符合题意；
C、从图像可以看出，当x=0时，y有两个值，不符合函数定义，不是函数，符合题意；
D、对于任意的x，y都有唯一确定的值与之对应，是函数，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】本题主要考查函数的概念.判断一个图象是否能表示y是x的函数，依据是：对于自变量x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应.在平面直角坐标系中，可以这样判断：作垂直于x轴的直线，如果该直线与图象最多只有一个交点，则y是x的函数；若出现两个或更多交点，则y不是x的函数.
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥CD
∴∠A+∠D=180°
∵∠D=75°
∴∠A=180°-75°=105°
故答案为：B.
【分析】本题主要考查平行四边形的性质：相邻两角互补.解题关键是判断出∠A与∠D的位置关系，根据已知∠D的度数，根据平行四边形性质即可求解.
3．【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、首先，，，所以；其次，，，不是正整数，不满足勾股数的定义，故不符合题意；
B、虽然满足勾股定理，但，，不是正整数，不满足勾股数的定义，故不符合题意；
C、满足勾股定理，且5，12，13均为正整数，满足勾股数定义，故符合题意；
D、计算，，，所以，，因为，不满足勾股定理，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查勾股数的定义.勾股数是指三个正整数，且满足较小两数的平方和等于最大数的平方（即满足）.根据定义逐项判断即可.
4．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、，错误；
B、，错误；
C、，错误；
D、，正确.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查二次根式的性质和乘除运算.明确二次根式的性质；二次根式的乘法法则，除法法则，逐项计算即可.
5．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵ 水面是一个边长为10尺的正方形 ，且芦苇AB在水池的正中央
∴B'C=5
∵ BC=1尺 ，AB=AB'=x
∴AC=AB-BC=x-1
在Rt△AB'C中，∠ACB'=90°
∴AC2+B'C2=AB'2
即（x-1）2+52=x2.
故答案为：B.
【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用.解题关键在于将文字描述转化为几何图形与几何语言，识别出图中直角三角形的三边关系，根据勾股定理可列方程.
6．【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点A、D、B对应的刻度分别为1、4、7
∴AD=BD=3，AB=6
∴
∵△ABC是直角三角形
∴
故答案为：A.
【分析】本题主要考查直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.根据斜边上三点对应刻度尺的度数，分别得出斜边AB的长度，线段AD，BD，可以判断出CD是AB边上的中线，结合直角三角形可利用此性质得出结果.
7．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，假命题，不符合题意；
B、菱形的判定定理要求四边形四条边都相等，仅三条边相等的四边形不一定是菱形，假命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，假命题，不符合题意；
D、根据矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形，真命题，符合题意.
故答案为：D.
【分析】本题考查了平行四边形、菱形、正方形、矩形的判定定理，判断一个命题是否为真命题，需要看它是否严格符合几何图形的判定条件，有时可以通过是否存在反例来判断.
8．【答案】A
【知识点】分母有理化；勾股定理；黄金分割
【解析】【解答】解：设正方形的边长为，根据题意，，
∵四边形ABCD是正方形
∴
在中，
根据尺规作图可知：
∴
∴
∴矩形ABGH符合黄金矩形定义.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查黄金矩形的定义以及几何作图过程中的边长比例关系，需结合勾股定理计算.已知黄金矩形的宽与长之比为.设正方形边长为a，根据作图步骤逐步求出各线段长度，从而判断矩形ABGH的边长比满足黄金比例.
9．【答案】C
【知识点】函数的概念；用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：A、根据表格可以看出，时间t=25s时，对应温度是14℃，正确；
B、根据表格数据可以看出温度计上的度数随时间的变化而变化，并且对于每一个时间都有唯一的温度值与其对应，符合函数定义，正确；
C、观察表格数据，当温度是25℃时，在表中31℃~22℃之间，对应时间在10s~15s之间，不可能是18s，错误；
D、根据表格数据可以看出温度计上的度数随时间的增加逐渐减小，在30s~35s已经不发生变化，正确.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查函数的基本概念以及根据表格数据进行分析和推断.选项A：直接查表即可判断；选项B：判断时间与温度是否为函数关系，需根据函数定义判断；选项C：根据数据变化趋势估计中间值；选项D：观察数据的变化规律.
10．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：∵，
∴
故答案为：B.
【分析】本题主要考查二次根式的化简.解题关键是将被开方数转化为完全平方的形式，根据二次根式的性质化简即可.
11．【答案】x≠2026
【知识点】分式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意可知x-2026≠0，
解得x≠2026.
故答案为：x≠2026.
【分析】本题考查函数自变量取值范围的求解.根据所给函数解析式，识别出是分式，结合分式有意义的条件（分母不为零），列出不等式x-2026≠0，求解即可.
12．【答案】10
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 点A、B分别是CD、CE的中点 ，
∴AB是△CDE的中位线，
∴.
故答案为：10.
【分析】本题主要考查三角形中位线定理的应用.由题意，A是CD的中点，B是CE的中点，则AB是△CDE的中位线，根据“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”，可求出AB的长度.
13．【答案】1
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：：，被开方数9是可开方数，所以不是最简二次根式；
：15=3×5，3和5都是质数，被开方数15不存在开的尽方的因数，且15是整数，符合最简二次根式的定义，所以是最简二次根式；
：20=4×5，其中，被开方数20含有能开的尽方的因数4，所以不是最简二次根式；
：被开方数是分数，所以不是最简二次根式；
：，被开方数是分数，所以不是最简二次根式；
综上所述，最简二次根式只有一个.
故答案为：1.
【分析】本题主要考查最简二次根式的定义.最简二次根式必须同时满足以下条件：①被开方数不含分母（即不能是分数）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.根据以上条件即可判断出题中最简二次根式只有一个.
14．【答案】52
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD、BEFG、AHIG均为正方形
∴，，，
∴与是直角三角形
∴
∴
∵
∴
∵
∴
在中，
∴正方形AHIG的周长=
故答案为：52.
【分析】本题以数学家刘徽证明勾股定理为背景，考查了勾股定理的应用、三角形全等的性质与判定及正方形的性质.证明思路：根据所给的三个正方形得到与全等，进而可推出，结合已知数据可得到两条直角边的长度，利用勾股定理可得，即正方形 AHIG的边长为13，最后可求出周长为52.
15．【答案】8
【知识点】分段函数；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：将y=5代入y=3x-1，得5=3x-1，解得x=2，不符合题意；
将y=5代入，得，解得x=8，符合题意.
故答案为：8.
【分析】本题主要考查分段函数与程序流程图的理解.已知输出结果，反向求输入值，需要分两种情况讨论，并对结果进行验证（是否符合对应的条件）.
16．【答案】130
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：根据题意画出阶梯平面展开图，如图
∵阶梯每一层高 20cm， 宽 40cm， 长50cm
∴
故答案为：130.
【分析】本题主要考查立体图形（阶梯）中的最短路径问题，核心方法是将立体图形展开为平面图形，然后利用两点之间线段最短的原理，结合勾股定理计算展开图中A与B之间的直线距离.
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）本小题主要考查二次根式的混合运算.先算除法：；再化简，最后计算减法（合并同类项）；
（2）本题主要考查平方差公式在二次根式乘法中的应用.平方差公式为，可将写成（方便计算），利用公式直接计算即可得出结果.
18．【答案】（1）解：设该正多边形的内角为x°，
由题意，得x-(180-x)=140，
解得x=160.
即这个正多边形的外角是20°；
（2）解：因为多边形的外角和是360°，所以
∴这个正多边形是十八边形.
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的概念；多边形的外角和公式
【解析】【分析】本题主要考查多边形的内角与外角的关系以及多边形的外角和定理.
（1）根据多边形的每个内角与相邻的外角互补，即内角+外角=180°，结合“内角比相邻的外角大140°”可列方程“x-(180-x)=140”，解出x=160，所以外角=180°-内角=180°-160°=20°；
（2）根据多边形外角和定理“多边形外角和为360°”，结合正多边形的每个内角相等，每个外角也相等，由第（1）问求出的外角度数，即可得出正多边形边数.
19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∠BOC=90°，
∵CE∥DB， BE∥AC， ∴四边形OBEC是平行四边形，
又∵∠BOC=90°， ∴四边形OBEC是矩形；
（2）解：∵四边形OBEC是矩形， ∴OB=CE=3，
又∵
∴BD=2OB=6， AC=2OA=8，
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）本小题考查矩形的判定、平行四边形的判定与菱形的性质.由已知“CE∥DB， BE∥AC”，利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定四边形OBEC是平行四边形；再结合“菱形的对角线互相垂直”可得到∠BOC=90°；最后根据矩形的判定定理“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可完成证明；
（2）本小题考查矩形的性质及菱形的面积求法，结合勾股定理进行计算.首先，由第（1）问可知四边形OBEC是矩形，根据已知条件可得到OB=3；在Rt△AOB中，利用勾股定理计算出OA=4；最后通过菱形的面积等于对角线乘积的一半得到菱形的面积.
20．【答案】（1）1.5；Q=6-1.5t；0≤t≤4
（2）解：描点、连线如图所示：
【知识点】描点法画函数图象；用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）根据表中数据：从t=0到t=1，Q减少了6-4.5=1.5；在t=0时，初始油量Q=6升，根据每小时减少1.5升，可列Q=6-1.5t；从表中数据可以看出，在t=4时，油量Q为0，根据实际意义“时间不能为负，且油量不能为负 ”可以得到0≤t≤4.
故答案为：1.5；Q=6-1.5t；0≤t≤4.
【分析】本题主要考查一次函数的实际应用——油箱剩余油量与行驶时间的关系.
（1）解题关键：从表格数据观察变化规律，求出单位时间内的减少量；根据“初始量 - 减少量 × 时间”写出函数解析式；根据实际意义确定自变量的取值范围（油箱油量不能为负）；
（2）本小题考查描点法画一次函数图象.先取表格中给出的五组对应值作为点的坐标（注意：时间为横坐标，剩余油量为纵坐标），在坐标系中描出这些点，再用平滑直线将它们连接起来.
21．【答案】解：任务一：由题意得， AB=DE=1.7米，在 Rt△BDF中，由勾股定理得
∴EF=DF+DE=12+1.7=13.7(米).
答：此时风筝的垂直高度EF为13.7米.
任务二：由题意得， CD=CF+DF=12+18=30米，在 Rt△BCD中，由勾股定理得 ∴BC-BF=34-20=14(米)，
答：还需放出风筝线14米
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】本题考查勾股定理的实际应用.
（1）解题关键是将实际问题转化为几何图形，在直角三角形BDF中利用勾股定理求出DF的长度，结合已知条件DE=1.7，求出总高度EF；
（2）由已知CF的长度，结合第（1）问求出的DF长度，得到CD的长度，再次利用勾股定理在Rt△BCD求出斜边BC的长度，最后作差求出还需要放出风筝线的长度.
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠ABC=∠ABG=90°， AD=AB，
又∵BG=DE，
∴在△ADE和△ABG中，
∴△ADE≌△ABG(SAS)，
∴AE=AG
（2）解：由折叠的性质可得， AD=AF， ∠DAE=∠EAF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB=90°， AB=AD，
∴AB=AF
∵△ADE≌△ABG，
∴AE=AG，∠DAE=∠BAG，
∴∠EAF=∠BAG，
∴∠EAB=∠EAF+∠FAB=∠FAB+∠BAG=∠FAG，
在△EAB和△GAF中，
∴△EAB≌△GAF(SAS)，
∴BE=FG，
∵CD=4DE，DE=1，
∴CE=CD-DE=4-1=3， BC=CD=4DE=4，
∴在 Rt△BCE中，由勾股定理得
∴FG=BE=5.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质.解题思路：要证AE=AG，可证AE、AG所在的两个三角形△ADE和△ABG全等，根据正方形的性质可以得到∠D=∠ABG，AD=AB，结合已知条件BG=DE即可证明；
（2）本小题综合考查翻折（轴对称）的性质、勾股定理以及全等三角形的性质和判定.解题思路：通过图像分析求FG的长度有一定难度，因此尝试将线段FG转化为线段BE.根据翻折的性质及第（1）问得到的△ADE≌△ABG，可以得到△EAB和△GAF中的对应线段、对应角相等，可证△EAB≌△GAF(SAS)，推出BE=FG，最后，在Rt△BCE中利用勾股定理求出BE，即可求出FG.
23．【答案】（1）证明：∵在△ABC中，
∴，
∴△ABC是直角三角形.
（2）解：①若点 P在 BC上，则BP=2t(cm)， AB=BP， ∴6=2t， t=3；
②若点 P在AC上，则CP=(2t-8) cm， AP=AC-CP=(18-2t) cm，(i)当AB=AP时， 6=18-2t， t=6；
(ii)当AB=BP时，作 BD⊥AC于 D，
则
解得
综上所述，当t=3或 或t=6时，△ABP 是以AB 为腰的等腰三角形.
（3）解：t=4或t=12.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理；三角形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（3）△ABC的周长为AB+BC+AC=24cm， 24÷2=12.
①当0≤t≤4时，点 P在 BC上，点Q在AB上，则BP=2t(cm)， BQ=t(cm)， BP+BQ=3t(cm)， ∴3t=12，解得t=4，如图所示，此时点 P刚好运动到点 C；
②当412cm，不符合题意；
③当6④当9【分析】（1）本小题主要考查勾股定理的逆定理.已知三角形三边长a，b，c，若满足，则三角形是直角三角形；
（2）本小题结合动点问题考查等腰三角形的判定与分类讨论.首先明确动点P的运动方向与速度，接下来需分情况讨论点P在不同边上时的情形，并且当AB为腰时，另外一条腰可能是BP或AP.结合图像分析：①若点 P在 BC上，AB=BP，用含t的式子列出方程求解即可；②若点 P在AC上，则有两种情况AB=AP、AB=BP，结合图像分析求解即可；
（3）解题思路：①根据“直线 PQ 把△ABC的周长分成相等的两部分”先计算总周长的一半；②分段讨论两动点所在的边；③在不同情况下，根据方向计算两点之间沿边界的路径长度，令该长度等于周长的一半，解方程.
24．【答案】（1）DG=BE；DG⊥BE
（2）解：依然成立，理由如下：
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AB=AD， AE=AG， ∠DAB=∠GAE=90°，
∴∠DAB-∠DAE=∠GAE-∠DAE，
∴∠EAB=∠GAD，
在△EAB 和△GAD中， ，
，
∴BE=DG， ∠ABE=∠ADG，
设BH交AD于点N，如图
∵∠ABE+∠ANB=180°-∠DAB=90°， 且∠ANB=∠DNH，
∴∠ADG+∠DNH =90°， ∴∠DHN=180°-(∠ADG+∠DNH)=90°， ∴DG⊥BE
（3）解：将DG 绕点 D逆时针旋转 120°得到DG'， 连接CG'、GG'，则DG=DG'， ∠GDG'=120°， ∠DGG'=∠DG'G=30°.
又∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=CD， AB∥CD， ∠ADC=180°-∠DAB=120°，
， 即∠ADG=∠CDG'，
在△ADG和△CDG'中， ，
∴AG=CG'， ∠AGD=∠CG'D.
∵四边形AEFG是菱形， ∴AG=FG， ∴FG=CG'.
∵∠FGG'=∠DGG'-∠DGF=∠DGG'-(∠AGD-∠AGF)=150°-∠AGD，∠CG'G=∠DG'G+∠CG'D=30°+∠AGD，
∴四边形FGG'C是平行四边形， CF=GG'.
作DH⊥GG'于 H， 则
即 为定值.
【知识点】旋转的性质；三角形的综合；四边形的综合；8字模型；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：（1）∵四边形AEFG、ABCD是正方形，
∴AD=AB，AG=AE，∠A=90°，
∴AD-AG=AB-AE，AD⊥AB，
即DG=BE；DG⊥BE.
故答案为：DG=BE；DG⊥BE.
【分析】本题综合考查正方形的性质，菱形的性质，三角形的性质与全等，旋转的性质等.
（1）根据正方形的性质结合线段作差即可得到；
（2）根据正方形的性质得到两组对应边相等AB=AD， AE=AG，及一组角相等∠DAB=∠GAE=90°，结合图形，∠DAB与∠GAE减去公共角所剩的两个角相等，即可证明，推出BE=DG；从图形可以看出△HDN与△ABN为“8”字型，由于∠ABE=∠ADG（全等得到），∠ANB=∠DNH（对顶角相等），结合三角形内角和180°，即可推出∠DHN=90°；
（3）①根据题干提供的证明思路，利用菱形的性质证明，推出AG=CG'， ∠AGD=∠CG'D，进而推出FG=CG'；②结合已知条件推出，进而推出FG∥CG'；③根据平行四边形判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定四边形FGG'C是平行四边形，将CF转化为GG'；④结合等腰三角形、含30°角的直角三角形及勾股定理得到的值.
1 / 1广东省惠州市惠州一中教育集团2025—2026学年八年级第二学期期中质量监测数学科试题
1．下列各曲线中，不能表示y是x的函数是（　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的概念；函数的图象
【解析】【解答】解：A、对于任意的x，y都有唯一确定的值与之对应，是函数，不符合题意；
B、对于任意的x，y都有唯一确定的值与之对应，是函数，不符合题意；
C、从图像可以看出，当x=0时，y有两个值，不符合函数定义，不是函数，符合题意；
D、对于任意的x，y都有唯一确定的值与之对应，是函数，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】本题主要考查函数的概念.判断一个图象是否能表示y是x的函数，依据是：对于自变量x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应.在平面直角坐标系中，可以这样判断：作垂直于x轴的直线，如果该直线与图象最多只有一个交点，则y是x的函数；若出现两个或更多交点，则y不是x的函数.
2．在平行四边形ABCD中， 若∠D=75°， 则∠A的度数为（　　)
A．75° B．105° C．115° D．15°
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥CD
∴∠A+∠D=180°
∵∠D=75°
∴∠A=180°-75°=105°
故答案为：B.
【分析】本题主要考查平行四边形的性质：相邻两角互补.解题关键是判断出∠A与∠D的位置关系，根据已知∠D的度数，根据平行四边形性质即可求解.
3．下列各组数中，是勾股数的一组是（　　)
A．，， B．0.3， 0.4， 0.5
C．5， 12， 13 D．32， 42， 52
【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、首先，，，所以；其次，，，不是正整数，不满足勾股数的定义，故不符合题意；
B、虽然满足勾股定理，但，，不是正整数，不满足勾股数的定义，故不符合题意；
C、满足勾股定理，且5，12，13均为正整数，满足勾股数定义，故符合题意；
D、计算，，，所以，，因为，不满足勾股定理，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查勾股数的定义.勾股数是指三个正整数，且满足较小两数的平方和等于最大数的平方（即满足）.根据定义逐项判断即可.
4．下列运算正确的是（　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、，错误；
B、，错误；
C、，错误；
D、，正确.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查二次根式的性质和乘除运算.明确二次根式的性质；二次根式的乘法法则，除法法则，逐项计算即可.
5．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何 ”题意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇AB，高出水面部分 BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部 B恰好碰到岸边的B'（如图)，则水深和芦苇长各多少尺 若设这根芦苇的长度为x尺，根据题意，所列方程正确的是（　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵ 水面是一个边长为10尺的正方形 ，且芦苇AB在水池的正中央
∴B'C=5
∵ BC=1尺 ，AB=AB'=x
∴AC=AB-BC=x-1
在Rt△AB'C中，∠ACB'=90°
∴AC2+B'C2=AB'2
即（x-1）2+52=x2.
故答案为：B.
【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用.解题关键在于将文字描述转化为几何图形与几何语言，识别出图中直角三角形的三边关系，根据勾股定理可列方程.
6．如图，将直角三角尺ABC放置在刻度尺上，斜边上三个点A、D、B对应的刻度分别为1、4、7（单位： cm)，则 CD的长度为（　　)
A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm
【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点A、D、B对应的刻度分别为1、4、7
∴AD=BD=3，AB=6
∴
∵△ABC是直角三角形
∴
故答案为：A.
【分析】本题主要考查直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.根据斜边上三点对应刻度尺的度数，分别得出斜边AB的长度，线段AD，BD，可以判断出CD是AB边上的中线，结合直角三角形可利用此性质得出结果.
7．下列命题中，真命题是（　　)
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．三条边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D．有一个角是直角的平行四边形是矩形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，假命题，不符合题意；
B、菱形的判定定理要求四边形四条边都相等，仅三条边相等的四边形不一定是菱形，假命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，假命题，不符合题意；
D、根据矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形，真命题，符合题意.
故答案为：D.
【分析】本题考查了平行四边形、菱形、正方形、矩形的判定定理，判断一个命题是否为真命题，需要看它是否严格符合几何图形的判定条件，有时可以通过是否存在反例来判断.
8．宽与长的比是 （约为0.618)的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：①作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF；②以F为圆心，DF为半径画弧，交BC的延长线于点G；③作GH⊥AD，交AD的延长线于点 H.则在上图的矩形中，除了矩形DCGH外，黄金矩形还包括（　　)
A．矩形ABGH B．矩形ABFE C．矩形 EFGH D．矩形 EFCD
【答案】A
【知识点】分母有理化；勾股定理；黄金分割
【解析】【解答】解：设正方形的边长为，根据题意，，
∵四边形ABCD是正方形
∴
在中，
根据尺规作图可知：
∴
∴
∴矩形ABGH符合黄金矩形定义.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查黄金矩形的定义以及几何作图过程中的边长比例关系，需结合勾股定理计算.已知黄金矩形的宽与长之比为.设正方形边长为a，根据作图步骤逐步求出各线段长度，从而判断矩形ABGH的边长比满足黄金比例.
9．小语同学将温度计从热水杯中取出后立即放入一杯凉水中，每隔5s记录一次温度计上显示的度数，记录结果如下表：
时间t（s) 5 10 15 20 25 30 35
温度计上的度数（℃) 49 31 22 16 14 12 12
下列说法中不正确的是（　　)
A．当t=25s时，温度计上的度数是14℃
B．这个表中时间t是自变量，温度计上的度数是时间t的函数
C．当温度计的度数为25℃时，经过的时间可能是18s
D．温度计上的度数随时间的增加逐渐减小，最后保持不变
【答案】C
【知识点】函数的概念；用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：A、根据表格可以看出，时间t=25s时，对应温度是14℃，正确；
B、根据表格数据可以看出温度计上的度数随时间的变化而变化，并且对于每一个时间都有唯一的温度值与其对应，符合函数定义，正确；
C、观察表格数据，当温度是25℃时，在表中31℃~22℃之间，对应时间在10s~15s之间，不可能是18s，错误；
D、根据表格数据可以看出温度计上的度数随时间的增加逐渐减小，在30s~35s已经不发生变化，正确.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查函数的基本概念以及根据表格数据进行分析和推断.选项A：直接查表即可判断；选项B：判断时间与温度是否为函数关系，需根据函数定义判断；选项C：根据数据变化趋势估计中间值；选项D：观察数据的变化规律.
10．一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如： 都是复合二次根式.其中，有些特殊的复合二次根式可以进一步化简，如： 请你利用上述方法化简复合二次根式： （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：∵，
∴
故答案为：B.
【分析】本题主要考查二次根式的化简.解题关键是将被开方数转化为完全平方的形式，根据二次根式的性质化简即可.
11．在函数 中，自变量x的取值范围是　 　.
【答案】x≠2026
【知识点】分式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意可知x-2026≠0，
解得x≠2026.
故答案为：x≠2026.
【分析】本题考查函数自变量取值范围的求解.根据所给函数解析式，识别出是分式，结合分式有意义的条件（分母不为零），列出不等式x-2026≠0，求解即可.
12．如图，为了测量池塘边A、B两点之间的距离，在线段AB的一侧取一点C，连接CA并延长至点D，连接CB并延长至点E，使得A、B分别是CD、CE的中点，连接DE.若DE=20m，则AB的长是　 　m.
【答案】10
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 点A、B分别是CD、CE的中点 ，
∴AB是△CDE的中位线，
∴.
故答案为：10.
【分析】本题主要考查三角形中位线定理的应用.由题意，A是CD的中点，B是CE的中点，则AB是△CDE的中位线，根据“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”，可求出AB的长度.
13．在二次根式 中，最简二次根式有　 　个.
【答案】1
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：：，被开方数9是可开方数，所以不是最简二次根式；
：15=3×5，3和5都是质数，被开方数15不存在开的尽方的因数，且15是整数，符合最简二次根式的定义，所以是最简二次根式；
：20=4×5，其中，被开方数20含有能开的尽方的因数4，所以不是最简二次根式；
：被开方数是分数，所以不是最简二次根式；
：，被开方数是分数，所以不是最简二次根式；
综上所述，最简二次根式只有一个.
故答案为：1.
【分析】本题主要考查最简二次根式的定义.最简二次根式必须同时满足以下条件：①被开方数不含分母（即不能是分数）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.根据以上条件即可判断出题中最简二次根式只有一个.
14．魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形ABCD、BEFG、AHIG均为正方形.若AD=5， EI=7， 则正方形AHIG的周长为　 　.
【答案】52
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD、BEFG、AHIG均为正方形
∴，，，
∴与是直角三角形
∴
∴
∵
∴
∵
∴
在中，
∴正方形AHIG的周长=
故答案为：52.
【分析】本题以数学家刘徽证明勾股定理为背景，考查了勾股定理的应用、三角形全等的性质与判定及正方形的性质.证明思路：根据所给的三个正方形得到与全等，进而可推出，结合已知数据可得到两条直角边的长度，利用勾股定理可得，即正方形 AHIG的边长为13，最后可求出周长为52.
15．按照如图所示的运算程序计算函数y的值，若输出的y值是5，则输入的x值是　 　.
【答案】8
【知识点】分段函数；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：将y=5代入y=3x-1，得5=3x-1，解得x=2，不符合题意；
将y=5代入，得，解得x=8，符合题意.
故答案为：8.
【分析】本题主要考查分段函数与程序流程图的理解.已知输出结果，反向求输入值，需要分两种情况讨论，并对结果进行验证（是否符合对应的条件）.
16．如图，某阶梯每一层高 20cm， 宽 40cm， 长50cm， 现有一只蚂蚁打算从A点爬到B点，则最短路程是　 　cm.
【答案】130
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：根据题意画出阶梯平面展开图，如图
∵阶梯每一层高 20cm， 宽 40cm， 长50cm
∴
故答案为：130.
【分析】本题主要考查立体图形（阶梯）中的最短路径问题，核心方法是将立体图形展开为平面图形，然后利用两点之间线段最短的原理，结合勾股定理计算展开图中A与B之间的直线距离.
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）本小题主要考查二次根式的混合运算.先算除法：；再化简，最后计算减法（合并同类项）；
（2）本题主要考查平方差公式在二次根式乘法中的应用.平方差公式为，可将写成（方便计算），利用公式直接计算即可得出结果.
18．已知某正多边形的一个内角比相邻的外角大140°.
（1）求这个正多边形每个外角的度数；
（2）求这个正多边形的边数.
【答案】（1）解：设该正多边形的内角为x°，
由题意，得x-(180-x)=140，
解得x=160.
即这个正多边形的外角是20°；
（2）解：因为多边形的外角和是360°，所以
∴这个正多边形是十八边形.
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的概念；多边形的外角和公式
【解析】【分析】本题主要考查多边形的内角与外角的关系以及多边形的外角和定理.
（1）根据多边形的每个内角与相邻的外角互补，即内角+外角=180°，结合“内角比相邻的外角大140°”可列方程“x-(180-x)=140”，解出x=160，所以外角=180°-内角=180°-160°=20°；
（2）根据多边形外角和定理“多边形外角和为360°”，结合正多边形的每个内角相等，每个外角也相等，由第（1）问求出的外角度数，即可得出正多边形边数.
19．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC， CE与 BE交于点 E.
（1）求证： 四边形 OBEC是矩形；
（2）若AB=5， CE=3， 求菱形ABCD 的面积.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∠BOC=90°，
∵CE∥DB， BE∥AC， ∴四边形OBEC是平行四边形，
又∵∠BOC=90°， ∴四边形OBEC是矩形；
（2）解：∵四边形OBEC是矩形， ∴OB=CE=3，
又∵
∴BD=2OB=6， AC=2OA=8，
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）本小题考查矩形的判定、平行四边形的判定与菱形的性质.由已知“CE∥DB， BE∥AC”，利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定四边形OBEC是平行四边形；再结合“菱形的对角线互相垂直”可得到∠BOC=90°；最后根据矩形的判定定理“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可完成证明；
（2）本小题考查矩形的性质及菱形的面积求法，结合勾股定理进行计算.首先，由第（1）问可知四边形OBEC是矩形，根据已知条件可得到OB=3；在Rt△AOB中，利用勾股定理计算出OA=4；最后通过菱形的面积等于对角线乘积的一半得到菱形的面积.
20．已知某摩托车的油箱可容纳6升的汽油，如果不再加油，那么在行驶过程中油箱的剩余油量Q（升)和行驶时间t（小时)的对应值如下表所示：
行驶时间 t（小时) 0 1 2 3 4
剩余油量Q（升) 6 4.5 3 1.5 0
（1）由表格可知，剩余油量Q随行驶的时间t的增加而均匀减少，每行驶 1小时，剩余油量Q减少　 　升，剩余油量Q关于行驶时间t的函数解析式为　 　，其中自变量t的取值范围是　 　；
（2）在给出的平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，并画出函数图象.
【答案】（1）1.5；Q=6-1.5t；0≤t≤4
（2）解：描点、连线如图所示：
【知识点】描点法画函数图象；用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）根据表中数据：从t=0到t=1，Q减少了6-4.5=1.5；在t=0时，初始油量Q=6升，根据每小时减少1.5升，可列Q=6-1.5t；从表中数据可以看出，在t=4时，油量Q为0，根据实际意义“时间不能为负，且油量不能为负 ”可以得到0≤t≤4.
故答案为：1.5；Q=6-1.5t；0≤t≤4.
【分析】本题主要考查一次函数的实际应用——油箱剩余油量与行驶时间的关系.
（1）解题关键：从表格数据观察变化规律，求出单位时间内的减少量；根据“初始量 - 减少量 × 时间”写出函数解析式；根据实际意义确定自变量的取值范围（油箱油量不能为负）；
（2）本小题考查描点法画一次函数图象.先取表格中给出的五组对应值作为点的坐标（注意：时间为横坐标，剩余油量为纵坐标），在坐标系中描出这些点，再用平滑直线将它们连接起来.
21．【综合与实践】在学习了勾股定理之后，某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为他们项目式学习活动的主题.小组成员利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告.请你根据活动报告，帮助同学们解决问题.
活动项目 测量风筝的垂直高度 EF.
测量工具 皮尺等.
示意图
测量方案 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直，先测量放风筝的手到风筝的水平距离BD，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线的长度BF，最后测量牵线放风筝的手到地面的距离AB.
测量数据 BD=16米， BF=20米， AB=DE=1.7米， ∠BDF=90°.
问题解决 任务一 求此时风筝的垂直高度EF；
任务二 若放风筝的同学站在点A不动，想要把风筝沿DC方向从点F的位置上升18米至点C的位置（即： CF=18米，点C、点F、点D在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内)，则还需要放出风筝线多少米
【答案】解：任务一：由题意得， AB=DE=1.7米，在 Rt△BDF中，由勾股定理得
∴EF=DF+DE=12+1.7=13.7(米).
答：此时风筝的垂直高度EF为13.7米.
任务二：由题意得， CD=CF+DF=12+18=30米，在 Rt△BCD中，由勾股定理得 ∴BC-BF=34-20=14(米)，
答：还需放出风筝线14米
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】本题考查勾股定理的实际应用.
（1）解题关键是将实际问题转化为几何图形，在直角三角形BDF中利用勾股定理求出DF的长度，结合已知条件DE=1.7，求出总高度EF；
（2）由已知CF的长度，结合第（1）问求出的DF长度，得到CD的长度，再次利用勾股定理在Rt△BCD求出斜边BC的长度，最后作差求出还需要放出风筝线的长度.
22．如图，在正方形ABCD中， E为边 CD上一点， CD=4DE，将△ADE沿AE 翻折得到△AFE，延长CB至点G，使BG=DE，连接AG、FG、EB.
（1）求证： AE=AG；
（2）若DE=1，求 FG 的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠ABC=∠ABG=90°， AD=AB，
又∵BG=DE，
∴在△ADE和△ABG中，
∴△ADE≌△ABG(SAS)，
∴AE=AG
（2）解：由折叠的性质可得， AD=AF， ∠DAE=∠EAF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB=90°， AB=AD，
∴AB=AF
∵△ADE≌△ABG，
∴AE=AG，∠DAE=∠BAG，
∴∠EAF=∠BAG，
∴∠EAB=∠EAF+∠FAB=∠FAB+∠BAG=∠FAG，
在△EAB和△GAF中，
∴△EAB≌△GAF(SAS)，
∴BE=FG，
∵CD=4DE，DE=1，
∴CE=CD-DE=4-1=3， BC=CD=4DE=4，
∴在 Rt△BCE中，由勾股定理得
∴FG=BE=5.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质.解题思路：要证AE=AG，可证AE、AG所在的两个三角形△ADE和△ABG全等，根据正方形的性质可以得到∠D=∠ABG，AD=AB，结合已知条件BG=DE即可证明；
（2）本小题综合考查翻折（轴对称）的性质、勾股定理以及全等三角形的性质和判定.解题思路：通过图像分析求FG的长度有一定难度，因此尝试将线段FG转化为线段BE.根据翻折的性质及第（1）问得到的△ADE≌△ABG，可以得到△EAB和△GAF中的对应线段、对应角相等，可证△EAB≌△GAF(SAS)，推出BE=FG，最后，在Rt△BCE中利用勾股定理求出BE，即可求出FG.
23．如图，在△ABC中， AB=6cm， BC=8cm， AC=10cm，动点P从点B出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈，回到点 B后停止，速度为2cm/s，设运动时间为t秒.
（1）证明： △ABC是直角三角形；
（2）若△ABP 是以AB为腰的等腰三角形，求t的值；
（3）另有一动点 Q，从点 B开始，按顺时针方向走一圈回到点 B，且速度为1cm/s.若P、Q两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.请直接写出当t为何值时，直线 PQ 把△ABC的周长分成相等的两部分.
【答案】（1）证明：∵在△ABC中，
∴，
∴△ABC是直角三角形.
（2）解：①若点 P在 BC上，则BP=2t(cm)， AB=BP， ∴6=2t， t=3；
②若点 P在AC上，则CP=(2t-8) cm， AP=AC-CP=(18-2t) cm，(i)当AB=AP时， 6=18-2t， t=6；
(ii)当AB=BP时，作 BD⊥AC于 D，
则
解得
综上所述，当t=3或 或t=6时，△ABP 是以AB 为腰的等腰三角形.
（3）解：t=4或t=12.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理；三角形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（3）△ABC的周长为AB+BC+AC=24cm， 24÷2=12.
①当0≤t≤4时，点 P在 BC上，点Q在AB上，则BP=2t(cm)， BQ=t(cm)， BP+BQ=3t(cm)， ∴3t=12，解得t=4，如图所示，此时点 P刚好运动到点 C；
②当412cm，不符合题意；
③当6④当9【分析】（1）本小题主要考查勾股定理的逆定理.已知三角形三边长a，b，c，若满足，则三角形是直角三角形；
（2）本小题结合动点问题考查等腰三角形的判定与分类讨论.首先明确动点P的运动方向与速度，接下来需分情况讨论点P在不同边上时的情形，并且当AB为腰时，另外一条腰可能是BP或AP.结合图像分析：①若点 P在 BC上，AB=BP，用含t的式子列出方程求解即可；②若点 P在AC上，则有两种情况AB=AP、AB=BP，结合图像分析求解即可；
（3）解题思路：①根据“直线 PQ 把△ABC的周长分成相等的两部分”先计算总周长的一半；②分段讨论两动点所在的边；③在不同情况下，根据方向计算两点之间沿边界的路径长度，令该长度等于周长的一半，解方程.
24．综合与探究
【问题情境】
数学课上，同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动.
【操作发现】
（1）如图1，将正方形AEFG的两边AE、AG分别放在正方形ABCD的两边AB和AD上，则DG与BE之间的数量关系为　 　；位置关系为　 　；
（2）如图2，励志小组的同学将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，连接DG、BE，延长BE交 DG于点 H，则在旋转的过程中，（1）的结论是否依然成立 请说明理由.
（3）【深入探究】
如图3，连接CF，善学小组的同学发现，无论正方形AEFG如何旋转， 的值始终保持不变，证明如下：将DG绕点D逆时针旋转90°得到DG'，连接CG'、GG'，则DG=DG'，∠DGG'=∠DG'G=45°.又∵AD=CD，∠ADC=90°， ∴∠ADG=∠CDG'， △ADG≌△CDG'，∴AG=CG'=FG， ∠AGD=∠CG'D，……， ∴CFDG为定值
【拓展迁移】
如图4，创新小组的同学将前面的正方形全都换成菱形（其中∠DAB=∠GAE=60°)，发现无论菱形AEFG如何旋转， 的值也始终不变.请你按照上述方法，求此时 的值.
【答案】（1）DG=BE；DG⊥BE
（2）解：依然成立，理由如下：
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AB=AD， AE=AG， ∠DAB=∠GAE=90°，
∴∠DAB-∠DAE=∠GAE-∠DAE，
∴∠EAB=∠GAD，
在△EAB 和△GAD中， ，
，
∴BE=DG， ∠ABE=∠ADG，
设BH交AD于点N，如图
∵∠ABE+∠ANB=180°-∠DAB=90°， 且∠ANB=∠DNH，
∴∠ADG+∠DNH =90°， ∴∠DHN=180°-(∠ADG+∠DNH)=90°， ∴DG⊥BE
（3）解：将DG 绕点 D逆时针旋转 120°得到DG'， 连接CG'、GG'，则DG=DG'， ∠GDG'=120°， ∠DGG'=∠DG'G=30°.
又∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=CD， AB∥CD， ∠ADC=180°-∠DAB=120°，
， 即∠ADG=∠CDG'，
在△ADG和△CDG'中， ，
∴AG=CG'， ∠AGD=∠CG'D.
∵四边形AEFG是菱形， ∴AG=FG， ∴FG=CG'.
∵∠FGG'=∠DGG'-∠DGF=∠DGG'-(∠AGD-∠AGF)=150°-∠AGD，∠CG'G=∠DG'G+∠CG'D=30°+∠AGD，
∴四边形FGG'C是平行四边形， CF=GG'.
作DH⊥GG'于 H， 则
即 为定值.
【知识点】旋转的性质；三角形的综合；四边形的综合；8字模型；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：（1）∵四边形AEFG、ABCD是正方形，
∴AD=AB，AG=AE，∠A=90°，
∴AD-AG=AB-AE，AD⊥AB，
即DG=BE；DG⊥BE.
故答案为：DG=BE；DG⊥BE.
【分析】本题综合考查正方形的性质，菱形的性质，三角形的性质与全等，旋转的性质等.
（1）根据正方形的性质结合线段作差即可得到；
（2）根据正方形的性质得到两组对应边相等AB=AD， AE=AG，及一组角相等∠DAB=∠GAE=90°，结合图形，∠DAB与∠GAE减去公共角所剩的两个角相等，即可证明，推出BE=DG；从图形可以看出△HDN与△ABN为“8”字型，由于∠ABE=∠ADG（全等得到），∠ANB=∠DNH（对顶角相等），结合三角形内角和180°，即可推出∠DHN=90°；
（3）①根据题干提供的证明思路，利用菱形的性质证明，推出AG=CG'， ∠AGD=∠CG'D，进而推出FG=CG'；②结合已知条件推出，进而推出FG∥CG'；③根据平行四边形判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定四边形FGG'C是平行四边形，将CF转化为GG'；④结合等腰三角形、含30°角的直角三角形及勾股定理得到的值.
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