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哈三中 2026 年高三学年第三次模拟考试
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写
在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定
的位置贴好条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色碳
素笔将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I卷 （选择题, 共 58分）
一、选择题（共 58分）
(一)单项选择题（共 8小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的）
1．已知复数 z z满足 2 i，则 z的实部为
2i
A．2 B． 2 C．4 D． 4
2 2x 5．已知集合 A x 0

， B x 1 x 3 ，则 A B
x 3
A [ 3,3] B ( 3,3] C [ 1, 5] D [ 1, 5． ． ． ． )
2 2
3．已知递增的等比数列 an 满足 a6 a q 8 9， a3a11 8，则 an 的公比
A．5 B．3 C． 2 2 D． 2 3
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4．已知 x1, x2 , x3 , x4 的平均数为 x ，方差为 2，则 x1, x2 , x3, x4 , x 的方差为
4 8 12 16
A． B． C． D．
5 5 5 5
5．如图， ABC中，点D是线段 BC上靠近B的三等分点，点 E是线段 AD上靠近 A的

三等分点，若CE BA BC，则
2
A． B．
2

9 9
C．14 D． 14
9 9
6．某乡村振兴项目计划建造一个圆柱形粮食储存仓的钢筋骨架，用于存储当地特色农产
品．现有总长度为 240米的钢筋，需截成 10段制作骨架．其中两段分别围成圆形作
为上下底面的钢筋圈，剩余 8段作为粮食储存仓的竖向支撑筋．此粮食储存仓体积最
大时，底面半径的值为（单位：米）
A 30 40 50 60． B． C． D．

7．已知 ,

，sin
2
，则 cos

2

5 2 4
A． 10 B． 10 C． 30 D． 30
10 10 10 10
x2 y28．设椭圆C：2 2 1 a b 0 的左、右焦点分别为 F1、 F2，O为坐标原点，过Fa b 2的
3
直线与椭圆C交于 A，B两点，若 AB a， ABF1的面积是 AOF1面积的 4倍，则2
椭圆C的离心率为
1
A 2 3 5． B． C． D．
2 2 2 2
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(二)多项选择题（共 3小题，每小题 6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分）

9．已知函数 f x Asin x A 0,
π
0, 的部分图象如图所示，则下列结
2
论正确的是
A． 2
B． f 0 3
C．当 x , 时，函数 f x 的值域为 2,1 2
f x y 2sin x 1D． 的图象是由 的图象先将各点的横坐标变为原来的 ，再向左平移
2
π
个单位长度得到的
6
10．已知数列 a a 2n 1n 满足 n a2n 1 n 1, (n 2)，且 a1 3，则下列结论正确的是
A．an 2n 1
1
B．设数列 bn 满足bn ，则 ba 8 n 的最大项为b5n
an n S S 2 n 2C．设数列 n 的前 项和为3 n
，则 n
3n
1 n 4(n 1) D．设数列 n S S 1 1 n
a a
的前 项和为 n，若 n ，则正整数 的最小值
n n 1 3 2026
为 1012

f 011．已知 f x f 0 e x x ，且 f 1 e 1， g x 4 f 0 x a ln x ，则下列结
2
论正确的是
A． f 0 1
B．若 g(x)在 (0, )上单调递增，则 a 0
f x1 f xx x 2 f xC．对任意 1 x2 1 2，都有 2 2
D．若过点 (0,0)可以作曲线 y g(x)的两条切线，则 a e3
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第Ⅱ卷 （非选择题, 共 92分）
二、填空题(本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分．将答案填在答题卡相应的位置上)
x
12 2 1．已知函数 f (x) x2 ax x 为奇函数，则 a ___________.2 1
13．已知圆C : x2 y2 4x 6y 12 0，过点 P(3,5)作圆C的切线 l，则 l的方程为____.
14．抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6），向上的点数
为 1记为事件 A，抛掷 n次后事件 A发生奇数次的概率记为 Pn，则 P2 _______，
P2026 _______．
三、解答题(本大题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．（13分）
记 ABC的内角 A， B，C的对边分别为 a，b， c， ABC外接圆的半径为 6 ，
且bcosC acos A 3asin A ccosB．
(1)求 a；
(2)角 A的平分线交 BC于点D，且 AD 3，求 ABC的周长．
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16．（15分）
为传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，哈三中举办“非遗文化进校园”主
题活动，现有来自剪纸、皮影、刺绣、泥塑 4 个非遗项目的传承人各 1 名，安排到
剪纸、皮影、刺绣、泥塑 4个非遗体验工坊进行授课，要求每个工坊安排 1名传承
人，每名传承人仅在一个工坊授课．
(1)求在剪纸项目的传承人在剪纸工坊授课的条件下，皮影项目的传承人不在皮影工
坊授课的概率；
(2)在概率论和统计学中，常用协方差来描述两个随机变量之间的线性相关程度，给
定离散型随机变量 X ,Y ，定义协方差为Cov X ,Y E X E(X ) Y E(Y) ．如
果协方差为正，说明两个随机变量具有正相关关系；如果协方差为负，说明两个
随机变量具有负相关关系；如果协方差为零，说明两个随机变量在线性关系上不
相关．在参与授课的 4名传承人中，记在对应项目工坊授课的传承人数为 X ，不
在对应项目工坊授课的传承人数为Y．
（ⅰ）求随机变量 X 的分布列；
（ⅱ）求Cov X ,Y ，并说明 X ,Y 之间的线性相关关系．
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17．（15分）
2
A B C : x y
2 5
已知 、 分别是双曲线 2 2 1(a 0,b 0) 的左、右顶点，点 P 3, 是双a b 2
曲线 C上的一点，且 BP
3
．
2
(1)求双曲线 C的方程；
(2)已知过点 (4,0)的直线 l : x my 4，交双曲线 C的左、右两支于 D，E两点（异
于 A、B）．
（i）求 m的取值范围；
（ii）设直线 AD与直线 BE交于点 Q，求证：点 Q在定直线上．
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18．（17分）
如图，在斜三棱柱 ABC A1B1C1中，AB AC 2， BAC 90 ，侧棱 AA1 3，
A1AB 60 ， A1AC ，其中 为锐角．
(1)当 60 时，求证： AA1 BC；

(2)定义：过点 A1作 A1O垂直底面 ABC于O，且O在 BAC内部，记 AO与 AB、AC
tan tan 所成角分别为 、 ，称 d 为斜三棱柱的投影偏差率．
tan tan
（i）当 60 时，求斜三棱柱 ABC A1B1C1的投影偏差率 d （不需证明），并求
此时平面 A1BC与平面 ABC夹角的余弦值；
（ii） d关于 的函数解析式记为 d ，若存在两个不同的锐角 1， 2使得
d 1 d cos cos
1
2 ，求证： 1 2 ．4
A1 C1
B1
A C
O
B
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19．（17分）
已知 fn (x) a1x a x
2
2 a x
n
n ,n N
*
，满足 fn ( 2) ( 2)
nn．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若 f3(x) (k
5
)x2 1对 x 0, 恒成立，求整数 k的最大值；
2
g(x) f 9 4 an 4(3)令 *4 (x) x 4x ，对于2 n 1 n N
，当 x 时，g(x) 0恒成立，

求实数 的最小值．
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数学答案
一、选择题
1-5. ABCBB 6-8. BDA
9. AC 10. ACD 11. ACD
二、填空题 公众号：青禾试卷
2
5 7 5 1 ( )
2026
12.0 13. y 5 (x 3) 14. 3
12 18 2
三、解答题
15.（1） bcosC a cos A 3a sin A c cosB
sin BcosC sin Acos A 3 sin 2 A sinC cos B
sin A sin Acos A 3 sin 2 A 1 cos A 3 sin A
sin 1 A A 0, A

.................................................（. 4分）
6 2 3
a 2R a 3 2 ................................................................................（. 6分）sin A
（2） S ABC S ABD S ACD公众号：青禾试卷
1
bc sin A 1 c A 1 AD sin b AD sin A
2 2 2 2 2
整理得bc b c ..................................................................................................（. 8分）
由余弦定理a2 b2 c2 2bc cosA b2 c2 bc 18 .....................（. 10分）
b c 2 3bc 18 b c 2 3 b c 18 b c 6 .............（. 12分）
ABC的周长为6 3 2 ..............................................................................（. 13分）
1
16.（1）设 A=剪纸项目的传承人在剪纸工坊授课，B=皮影项目的传承人不在皮影工坊授
1 2
课，P(B | A)
C
2
A2 2
3 ...............................................................................（3分）A3 3
（2）（i）由题意可知：随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,4..........................................（4分）
1 1 1
则P X 0 C3 C3 9 3 P X 1 4C ， 2 8 14 4 A4 24 8 A4 24 3
2
P X C 6 1 1 1 2 44 ,P公 众X号 ：4青 禾试4卷 ，A4 24 4 A4 24
所以随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 4
3 1 1 1
P
8 3 4 24
.
...............................................................................................................................（. 7分）
（ii）由题意可知： X Y 4，即Y 4 X ，
E(X ) 0 3 1 1 1 1因为 2 4 1，则E（Y） 4 E（X） 3..............（. 9分）
8 3 4 24
令 Z X E（X） Y E（Y） X 1 Y 3 X 1 2
Z的可能取值为 9, 1,0 .................................................................................（. 10分）
P Z 9 P X 4 1 P Z 1 P X 2 P X 0 5 ，
24 8
公众号：青禾试卷
P Z 0 P X 1 1
3
可得随机变量 Z的分布列为
Z 9 1 0
1 5 1
P
24 8 3
...........................................................................................................................（13分）
2
可得Cov X ,Y E Z 1 5 1 9 1 0 1.............................（. 14分）
24 8 3
因为Cov X ,Y 0，所以随机变量 X ,Y 具有负相关关系..........................（15分）
9 5
17.（1）由题意得 2 2 1， B a,0 ，a 4b
3 a 2 5 3即 ，解得 a 2或 4，
4 2
9 5
当 a 2时， 2 1，解得b2 1，满足要求，4 4b
当 a 4 9 5时， 2 1，公无众号解：，青舍禾去；16 4b 试卷
2
所以C : x y 2 1 .............................................................................................（. 4分）
4
（2）（i）由题意知直线 l的方程为 x my 4，D x1, y1 ，E x2 , y2 .
x2
y2 1
联立 4 ，
x my 4
2
化简得 m 4 y2 8my 12 0，...................................................................（5分）

m2 4 0
2
8m 48 m 2 4 0

y y 12 0
1 2 m2 4
所以m 2或m 2 ...........................................................................................（. 8分）
公众号：青禾试卷
（ii）y1 y
8m
2 2 ，y1y
12
2 2 .....................................................................（10分）m 4 m 4
y y 1 x 2 y y直线 AD的方程为 x 2 ，直线 BE
2
的方程为 (x 2) .
1 x2 2
y1 y
联立直线 AD与 BE 的方程，得 (x 2) 2 (x 2)x1 2 x
，
2 2
y2 y 2 y 2 y所以 1 x 1 2
my2 2 my1 6 my1 6 my2 2
，
x 2my 1y2 2y1 6y2所以 3y y ①...........................................................................（12分）2 1
3
3 y y
由韦达定理得my1y2
1 2
2
x 3y1 y2 2y1 6y2 3y y 2 1 3代入①得 13y y 3y y ..........................................（. 14分）2 1 2 1
所以点Q在定直线 x 1上...............................................................................（. 15分）
18.（1）连接 A1B， A1C，由△AA1B≌△A1AC 得 A1B A1C
取 BC中点M ，连接 AM ,A1M
所以 A1M BC ，因为 AM BC， AM A1M M ， AM 平面AA1M ，
公众号：青禾试卷
A1M 平面AA1M
所以 BC 平面AA1M .....................................................................................（. 3分）
因为 AA1 平面AA1M 所以 BC AA1 ....................................................（. 4分）
（2）（i）d 0 .................................................................................................................（5分）
由（1）知， A1MA即为所求.........................................................................（7分）
1 1
△AA1M 中 A1M ( AB AC AA1)
2 5， AM 2， AA1 32 2
10
所以 cos A1MA ...............................................................................（9分）10
10
所以平面 A1BC与平面 ABC夹角的余弦值为 ...................................（10分）公众号：青禾试卷 10
（ii）以 A为原点，AB所在直线为 x轴，AC所在直线为 y轴，垂直底面向上方向
为 z轴建立空间直角坐标系.
A 3
3
有 1 ,3cos ,h ，AO ,3cos ,0 ...............................................（12分）
2 2
所以 tan 2cos ， tan
1
.
2cos
4
2cos 1 2
d ( ) 2cos
4cos 1
所以 1 2 ...........................................（13分）2cos 4cos 1
2cos
若存在两个不同的锐角 1， 2使得 d 1 d 2 ，
设 x cos2 21， y cos 2 ，则 x, y 0,1 且 x y .
由 d 4x 1 4y 1 1 d 2 得： .4x 1 4y 1
公众号：青禾试卷
4t 1
1 1
f t 在 0, 上单调递减，在 ,1 上单调递增....................（14分）4t 1 4 4
因此若 x y 1 1 1，必有一个小于 ，另一个大于 .不妨设 x y ........（15分）
4 4 4
1 4x 4y 1
xy 1则 ，交叉相乘得 .
4x 1 4y 1 16
cos2 1即 1 cos
2 2 ，所以 cos 1 cos
1
2 .......................................（17分）16 4
19.（1 2 n n） a1( 2) a2 ( 2) an ( 2) ( 2) n
n 2,a1( 2) a2 ( 2)
2 a n 1 n 1n 1( 2) ( 2) (n 1）
an ( 2)
n ( 2)nn (公 2众)n 1号：(n n
3 1
青 禾1试) 卷( 2) ( n )2 2
a 3 n 1 n ,n 2 .......................................................................................（3分）2 2
而 a1( 2) 2,
3 1
a1 1也符合， an n ..........................................（. 4分）2 2
（2） f3(x) x
5
x2 4x3 5 (k )x2 1, x 0恒成立
2 2
kx2 4x3 x 1, x 0恒成立
当 x 0时，0 1, k R
5
x 0 k 4x
3 x 1
当 时， 恒成立..............................................................（5分）
x2
h(x) 1 1 4x , x 0 h (x) 4 1 2 4x
3 x 2
设 2 ， 2 3 x x x x x3
令H (x) 4x3 x 2, x 0，H (x) 12x2 1
H (x)在 (0, 1 ) 1上单调递减，( ， )上单调递增..........................（. 6分）
12 12
公众号：青禾试卷
1 H (1) 1,H (1H (0) 2,H ( ) H (0) 0，而 ) 2
12 2
1
x0 ( ,1)，使H (x
3
0 ) 0, 4x0 x2 0
2
当 x (0, x0 )时，H (x) 0, h (x) 0, h(x)单调递减
当 x (x0， )时，H (x) 0, h (x) 0, h(x)单调递增.....................（8分）
3
h(x) 4x x 1 2x 3 1 1 min h(x0 ) 0 0 02 2 3( )
2 2( ) ..................（. 9分）
x0 x0 x0 x0
x 10 ( ,1)， h(x0 ) （5,16）...................................................................（. 10分）2
又 k h(1) 6且 k Z ..................................................................................（. 11分）
kmax 5 ......................公....众...号....：...青...禾....试...卷..........................................................（. 12分）
（3） f4 (x) x
5
x2 4x3 11 x4
2 2
g(x) x4 4x3 5 x2 3x 3n 7 0,n N *
2 2n 2
b 3n 7 3 2设 n 2n 2 2 n 1
b 2 2n 1 bn 0,n N
*
恒成立
n 1 n 2
bn 是递增数列， (b ) b
5
n min 1 .....................................................（. 14分）2
6
只需 g(x) 5 5 x4 4x3 x2 3x 0
2 2
g(x) (x 1)2 (x2 2x 5即 ) 0 ...............................................................（. 16分）
2
x 2 14 或 x 1 x 2 14或
2 2
2 14 min ..........................................................................................（. 17分）2
公众号：青禾试卷
公众号：青禾试卷
7

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