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小专题6　电磁感应中的电路和图像问题
[学习目标]　
1.学习并掌握法拉第电磁感应定律中电路问题的分析方法和解题思路.
2.能应用楞次定律和法拉第电磁感应定律解决电磁感应中的图像问题.
知识点一　电磁感应中的电路问题
1.对电源的理解
(1)在电磁感应现象中,产生感应电动势的那部分导体就是电源,如:切割磁感线的导体棒、内有磁通量变化的线圈等.这种电源将其他形式的能转化为电能.
(2)电磁感应中电路知识的关系图.
2.对电路的理解
(1)内电路是切割磁感线的导体或磁通量发生变化的线圈,外电路由电阻、电容等电学元件组成.
(2)在闭合电路中,相当于“电源”的导体两端的电压与真实的电源两端的电压一样,等于路端电压,而不等于感应电动势.
3.具体问题分类
(1)确定等效电源的正、负极,感应电流的方向,电势高低,电容器极板带电性等问题.
(2)根据电路规律求解电路中的总电阻、路端电压、电功率等问题.
[例1] 如图所示,ab、cd为足够长、水平放置的光滑固定导轨,有垂直abcd平面向下的匀强磁场,磁感应强度B=1.5 T,导轨间良好接触一导体棒,导体棒MN的长度为L=2 m,电阻r=1 Ω,定值电阻R1=4 Ω,R2=20 Ω,其余电阻不计.当导体棒MN以v=4 m/s的速度向左做匀速直线运动时,理想电流表的示数为0.45 A,灯泡L正常发光.求:
(1)导体棒切割磁感线产生的感应电动势和灯泡L的额定电压;
【答案】 (1)12 V　9 V
【解析】 (1)导体棒MN产生的感应电动势E=BLv=12 V,
灯泡L和R2所在支路并联,故UL=U2=I2R2=9 V.
(2)维持导体棒匀速运动的外力功率;
【答案】 (2)7.2 W
【解析】 (2)由闭合电路欧姆定律得E=U2+I(r+R1),
解得通过导体棒的电流I=0.6 A,
根据能量守恒定律可得,维持导体棒匀速运动的外力功率等于整个装置产生的总电功率,整个装置产生的总电功率P=EI=7.2 W.
(3)正常发光时灯泡L的阻值.
【答案】 (3)60 Ω
·方法总结·
“三步走”分析电路为主的电磁感应问题
[训练1] (多选)(2024·广州市高二期中)如图,单匝线圈ABCD在外力作用下以速度v向右匀速进入匀强磁场,第二次又以速度2v匀速进入同一匀强磁场,则第二次进入与第一次进入的过程中(　　 )
[A] 线圈中的电流之比为2∶1
[B]通过横截面的电荷量之比为2∶1
[C]外力做功的功率之比为2∶1
[D]线圈中产生的热量之比为2∶1
AD
[训练2] 如图所示,固定在水平面上的半径为r的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场.长为l的金属棒,其接入电路中的有效阻值为2R,一端与圆环接触良好,另一端固定在竖直导电转轴OO′上,随轴以角速度ω匀速转动,在圆环的A点和电刷间接有阻值为R的电阻和电容为C、板间距为d的平行板电容器,有一带电微粒在电容器极板间处于静止状态.已知重力加速度为g,不计其他电阻和摩擦,下列说法正确的是(　　)
C
1.图像类型
(1)随时间t变化的图像,如B-t图像、Φ-t图像、E-t图像和I-t图像.
(2)随位移x变化的图像,如E-x图像和I-x图像.
2.解题做到“三看”和“三明确”
①看轴——看清变量;
②看线——看图线的形状;
知识点二　电磁感应中的图像问题
③看点——看特殊点和拐点;
④明确图像斜率的物理意义;
⑤明确截距的物理意义;
⑥明确“+”“-”的含义.
3.一般解题步骤
(1)明确图像的类型.
(2)分析电磁感应的具体过程.
(3)用右手定则或楞次定律确定方向、对应关系.
(4)结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律等写出函数关系式.
(5)根据函数关系式进行数学分析,如分析斜率的变化、截距等.
(6)画出图像或判断图像.
[例2] (i-t图像)如图所示,一个平行于纸面的等腰直角三角形导线框,水平向右匀速运动,穿过宽度为d的匀强磁场区域,三角形两直角边的长度均为2d,线框中产生随时间变化的感应电流i,规定逆时针方向为感应电流的正方向.下列i-t图像正确的是(　　)
[A] 　　　 [B] [C]　　　 [D]
A
电磁感应图像类选择题的常用解法
(1)排除法:定性地分析电磁感应过程中物理量的变化趋势(增大还是减小)、变化快慢、均匀变化还是非均匀变化,特别是物理量的正负,排除错误的选项.
(2)函数法:根据题目所给条件定量地写出两个物理量之间的函数关系,然后由函数关系对图像进行分析和判断.
·方法总结·
[训练3] 如图甲所示,空间中存在水平向右的匀强磁场,一导体棒绕固定的竖直轴OP在磁场中匀速转动,且始终平行于OP.俯视图如图乙所示.导体棒产生的感应电动势E随时间t变化的图像可能正确的是(　　)
[A] 　　　 [B] [C]　　　 [D]
C
【解析】 导体棒匀速转动,如图所示,设导体棒的线速度为v,角速度为ω,导体棒从A到C过程中,棒转过的角度为θ,经过时间t,则θ=ωt,导体棒垂直磁感线方向的分速度为v⊥=vcos θ=vcos ωt,可知导体棒垂直磁感线的分速度按余弦规律变化,根据右手定则可知,导体棒经过B点和B点关于P点的对称点时,感应电动势方向发生变化,根据E=BLv⊥=BLvcos ωt,可知导体棒电动势E随时间t变化的图像为余弦图像.故选C.
[训练4] 如图甲所示,abcd为正方形导线框,线框处在匀强磁场中,磁场垂直于线框平面,线框边长L=0.5 m,电阻R=1 Ω,磁感应强度B随时间t的变化如图乙所示,在0～0.5 s和1～2 s的时间内通过线框截面的电荷量分别为q1和q2.则q1∶q2为(　　)
[A] 1∶1 [B]2∶1
[C]1∶2 [D]1∶4
C
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[学习目标]
1.学习并掌握法拉第电磁感应定律中电路问题的分析方法和解题思路.
2.能应用楞次定律和法拉第电磁感应定律解决电磁感应中的图像问题.
知识点一　电磁感应中的电路问题
1.对电源的理解
(1)在电磁感应现象中,产生感应电动势的那部分导体就是电源,如:切割磁感线的导体棒、内有磁通量变化的线圈等.这种电源将其他形式的能转化为电能.
(2)电磁感应中电路知识的关系图.
2.对电路的理解
(1)内电路是切割磁感线的导体或磁通量发生变化的线圈,外电路由电阻、电容等电学元件组成.
(2)在闭合电路中,相当于“电源”的导体两端的电压与真实的电源两端的电压一样,等于路端电压,而不等于感应电动势.
3.具体问题分类
(1)确定等效电源的正、负极,感应电流的方向,电势高低,电容器极板带电性等问题.
(2)根据电路规律求解电路中的总电阻、路端电压、电功率等问题.
(3)根据电磁感应的平均感应电动势求解电路中通过的电荷量:=n,=,q=Δt=.
[例1] 如图所示,ab、cd为足够长、水平放置的光滑固定导轨,有垂直abcd平面向下的匀强磁场,磁感应强度B=1.5 T,导轨间良好接触一导体棒,导体棒MN的长度为L=2 m,电阻r=1 Ω,定值电阻R1=4 Ω,R2=20 Ω,其余电阻不计.当导体棒MN以v=4 m/s的速度向左做匀速直线运动时,理想电流表的示数为0.45 A,灯泡L正常发光.求:
(1)导体棒切割磁感线产生的感应电动势和灯泡L的额定电压;
(2)维持导体棒匀速运动的外力功率;
(3)正常发光时灯泡L的阻值.
【答案】 (1)12 V　9 V　(2)7.2 W　(3)60 Ω
【解析】 (1)导体棒MN产生的感应电动势E=BLv=12 V,
灯泡L和R2所在支路并联,故UL=U2=I2R2=9 V.
(2)由闭合电路欧姆定律得E=U2+I(r+R1),
解得通过导体棒的电流I=0.6 A,
根据能量守恒定律可得,维持导体棒匀速运动的外力功率等于整个装置产生的总电功率,整个装置产生的总电功率P=EI=7.2 W.
(3)流过灯泡L的电流IL=I-I2=0.15 A
正常发光时灯泡L的阻值RL==60 Ω.
“三步走”分析电路为主的电磁感应问题
[训练1] (多选)(2024·广州市高二期中)如图,单匝线圈ABCD在外力作用下以速度v向右匀速进入匀强磁场,第二次又以速度2v匀速进入同一匀强磁场,则第二次进入与第一次进入的过程中(　　)
[A] 线圈中的电流之比为2∶1
[B]通过横截面的电荷量之比为2∶1
[C]外力做功的功率之比为2∶1
[D]线圈中产生的热量之比为2∶1
【答案】 AD
【解析】 根据导体棒切割磁感线产生感应电动势,由E=BLv得E1∶E2=1∶2,由闭合电路欧姆定律有I2∶I1=∶=2∶1,A正确;由电荷量q=Δt=,得q2∶q1=1∶1,B错误;匀速进入,外力做功的功率与克服安培力做功的功率相等,由P=I2R得P2∶P1=4∶1,C错误;产生的热量为Q=Pt=P,得=,D正确.
[训练2] 如图所示,固定在水平面上的半径为r的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场.长为l的金属棒,其接入电路中的有效阻值为2R,一端与圆环接触良好,另一端固定在竖直导电转轴OO′上,随轴以角速度ω匀速转动,在圆环的A点和电刷间接有阻值为R的电阻和电容为C、板间距为d的平行板电容器,有一带电微粒在电容器极板间处于静止状态.已知重力加速度为g,不计其他电阻和摩擦,下列说法正确的是(　　)
[A] 电阻消耗的电功率为
[B]棒产生的电动势为Bl2ω
[C]微粒的电荷量与质量之比为
[D]电容器所带的电荷量为CBr2ω
【答案】 C
【解析】 棒产生的电动势为E=Br=,电路中的电流I==,电阻消耗的电功率为P=I2R=,A、B错误;电容器两端电压U=IR=,则由平衡状态可得mg=,联立可得=,C正确;电容器所带的电荷量为Q=CU=CBr2ω,D错误.
知识点二　电磁感应中的图像问题
1.图像类型
(1)随时间t变化的图像,如B-t图像、Φ-t图像、E-t图像和I-t图像.
(2)随位移x变化的图像,如E-x图像和I-x图像.
2.解题做到“三看”和“三明确”
①看轴——看清变量;
②看线——看图线的形状;
③看点——看特殊点和拐点;
④明确图像斜率的物理意义;
⑤明确截距的物理意义;
⑥明确“+”“-”的含义.
3.一般解题步骤
(1)明确图像的类型.
(2)分析电磁感应的具体过程.
(3)用右手定则或楞次定律确定方向、对应关系.
(4)结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律等写出函数关系式.
(5)根据函数关系式进行数学分析,如分析斜率的变化、截距等.
(6)画出图像或判断图像.
[例2] (i-t图像)如图所示,一个平行于纸面的等腰直角三角形导线框,水平向右匀速运动,穿过宽度为d的匀强磁场区域,三角形两直角边的长度均为2d,线框中产生随时间变化的感应电流i,规定逆时针方向为感应电流的正方向.下列i-t图像正确的是(　　)
[A] 　　　 [B]
[C]　　　 [D]
【答案】 A
【解析】 方法一　排除法
先看方向,在0～时间内,根据楞次定律和安培定则判断,感应电流沿逆时针方向,即为正方向;在时间内,根据右手定则可知感应电流沿顺时针方向,即为负方向,所以排除C、D选项.A、B选项图像在0～时间内相同,看时间内的情况判断,如图,在时间内线框切割磁感线的有效长度不变,所以感应电流大小恒定,因此B选项错误,只有A正确.
方法二　对照法
在0～时间内,线框进入磁场时磁通量向里增大,根据楞次定律可知,感应电流的磁场向外,因此感应电流沿逆时针方向.随着线框的运动,导线切割磁感线的有效长度均匀减小,产生的感应电动势均匀减小,感应电流均匀减小;在时间内,穿过线框的磁通量向里减小,根据楞次定律和安培定则知,感应电流沿顺时针方向,穿过线框的磁通量均匀减小,产生的感应电流不变;在时间内,穿过线框的磁通量向里减少,根据楞次定律和安培定则知,感应电流沿顺时针方向,线框有效切割长度均匀减小,产生的感应电动势均匀减小,感应电流均匀减小,根据过程分析与选项对照,只有A选项符合.
电磁感应图像类选择题的常用解法
(1)排除法:定性地分析电磁感应过程中物理量的变化趋势(增大还是减小)、变化快慢、均匀变化还是非均匀变化,特别是物理量的正负,排除错误的选项.
(2)函数法:根据题目所给条件定量地写出两个物理量之间的函数关系,然后由函数关系对图像进行分析和判断.
[训练3] 如图甲所示,空间中存在水平向右的匀强磁场,一导体棒绕固定的竖直轴OP在磁场中匀速转动,且始终平行于OP.俯视图如图乙所示.导体棒产生的感应电动势E随时间t变化的图像可能正确的是(　　)
[A] 　 　　 [B]
[C]　　 　 [D]
【答案】 C
【解析】 导体棒匀速转动,如图所示,
设导体棒的线速度为v,角速度为ω,导体棒从A到C过程中,棒转过的角度为θ,经过时间t,则θ=ωt,导体棒垂直磁感线方向的分速度为v⊥=vcos θ=vcos ωt,可知导体棒垂直磁感线的分速度按余弦规律变化,根据右手定则可知,导体棒经过B点和B点关于P点的对称点时,感应电动势方向发生变化,根据E=BLv⊥=BLvcos ωt,可知导体棒电动势E随时间t变化的图像为余弦图像.故选C.
[训练4] 如图甲所示,abcd为正方形导线框,线框处在匀强磁场中,磁场垂直于线框平面,线框边长L=0.5 m,电阻R=1 Ω,磁感应强度B随时间t的变化如图乙所示,在0～0.5 s和1～
2 s的时间内通过线框截面的电荷量分别为q1和q2.则q1∶q2为(　　)
[A] 1∶1 [B]2∶1
[C]1∶2 [D]1∶4
【答案】 C
【解析】 根据E==可得0～0.5 s和1～2 s产生的感应电动势大小相等,根据闭合电路欧姆定律可得0～0.5 s和1～2 s通过线框的电流大小相等,根据q=It可得q1∶q2=1∶2,故C正确.
课时作业(十四)　电磁感应中的电路和图像问题
(分值:70分)
(选择题每题6分)
知识点一　电磁感应中的电路问题
1.如图所示,用均匀导线制成的正方形线框的边长为1 m,线框的一半处于垂直线框向里的有界匀强磁场中.当磁场以0.2 T/s的变化率增强时,a、b两点的电势分别为φa、φb,回路中电动势为E,则(　　)
[A] φa<φb,E=0.2 V
[B]φa>φb,E=0.2 V
[C]φa<φb,E=0.1 V
[D]φa>φb,E=0.1 V
【答案】 C
【解析】 线框的左边部分相当于电源,画出等效电路如图所示,由题意得=0.2 T/s,故E==·S=0.1 V,由楞次定律可知,线框内的感应电流方向为逆时针方向,a点电势低于b点电势,即φa<φb,故选项C正确.
2.粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框置于有界匀强磁场中,磁场方向垂直于线框平面,其边界与正方形线框的边平行.现使线框以同样大小的速度沿四个不同方向平移出磁场,如图所示,则在移出过程中线框的一边a、b两点间电势差的绝对值最大的是(　　)
[A] 　 　 [B]
[C]　 [D]
【答案】 B
【解析】 磁场中切割磁感线的边相当于电源,外电路可看成是由三个相同电阻串联形成的,A、C、D选项中a、b两点间电势差的绝对值为外电路中的一个电阻两端的电压,即U=E=;B选项中a、b两点间电势差的绝对值为路端电压U′=E=,故B正确.
3.如图所示,边长为L、电阻为R的正方形单匝导线框abcd放于纸面内,在ad边的左侧有足够大的匀强磁场,磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里,现使导线框绕过a点且平行于磁场方向的轴以角速度ω沿顺时针方向匀速转动,在导线框转过45°的过程中(　　)
[A] 导线框产生沿逆时针方向的感应电流
[B]导线框经过虚线位置时产生的瞬时感应电动势大小为BωL2
[C]导线框受到的安培力逐渐增大,方向不断变化
[D]流过导线框的电荷量为
【答案】 B
【解析】 由楞次定律可知,导线框产生沿顺时针方向的感应电流,选项A错误;导线框经过虚线位置时产生的瞬时感应电动势大小E=B·L·ω=BωL2,选项B正确;导线框转动时,切割磁感线的有效长度逐渐增加,则感应电动势逐渐变大,感应电流逐渐变大,则受到的安培力逐渐增大,但是方向不变,总是垂直边界线向左,选项C错误.流过导线框的电荷量q=Δt=Δt===,选项D错误.
4.(10分)如图所示,MN、PQ为光滑金属导轨(金属导轨的电阻忽略不计),MN、PQ相距l=
50 cm,导体棒AB在两导轨间的电阻r=1 Ω,且可以在MN、PQ上滑动,定值电阻R1=3 Ω,
R2=6 Ω,整个装置放在磁感应强度大小B=1.0 T的匀强磁场中,磁场方向垂直于整个导轨平面.现用外力F拉着AB棒向右以大小为v=5 m/s的速度做匀速运动.求:
(1)(5分)AB棒产生的感应电动势E和AB棒上的感应电流的方向;
(2)(5分)AB棒两端的电压UAB.
【答案】 (1)2.5 V　B→A方向　(2)1.67 V
【解析】 (1)AB棒产生的感应电动势
E=Blv=2.5 V
由右手定则,AB棒上的感应电流的方向向上,即沿B→A方向.
(2)外电阻R并==2 Ω
总电流I== A
AB棒两端的电压
UAB=IR并= V≈1.67 V.
知识点二　电磁感应中的图像问题
5.(多选)(2025·广东潮州高二下期末)一个环形线圈放在匀强磁场中如图甲所示,其磁感应强度B随时间t变化的关系如图乙所示,取磁感线垂直线圈平面向里为正方向,那么在1～3 s时间内,下列说法正确的有(　　)
[A]垂直纸面向里看,感应电流为逆时针方向
[B]垂直纸面向里看,感应电流为顺时针方向
[C]感应电流逐渐变大
[D]感应电流大小恒定
【答案】 AD
【解析】 在第2 s内,磁感应强度方向垂直线圈向外,磁感应强度逐渐减小,根据楞次定律可知,感应电流方向为逆时针;在第3 s内,磁感应强度方向垂直向里,磁感应强度逐渐增大,根据楞次定律可知,感应电流方向亦为逆时针,则在1～3 s时间内,垂直纸面往里看,感应电流为逆时针方向,A正确,B错误.根据题图乙可知,在1～3 s时间内,磁感应强度的变化率一定,即感应电动势一定,则感应电流一定,即感应电流大小恒定,C错误,D正确.
6.如图甲所示,矩形导线框abcd固定在变化的磁场中,产生了感应电流(电流方向沿abcda为正方向).若规定垂直纸面向里的方向为磁场的正方向,能够产生如图乙所示电流的磁场的是(　　)
[A] 　　　　 [B]
[C]　　　　 [D]
【答案】 D
【解析】 由题图乙可知,0～t1时间内,线框中电流的大小与方向都不变,易知线框中磁通量的变化率不变,故0～t1时间内磁感应强度与时间的关系图线是一条倾斜的直线,A、B错误;又由于0～t1时间内电流的方向为正方向,即沿abcda方向,由楞次定律可知,电路中感应电流的磁场方向垂直纸面向里,故0～t1时间内原磁场垂直纸面向里减小或垂直纸面向外增大,C错误,D正确.
7.(多选)(2025·广东广州高二下期中)将一段导线绕成图甲所示的闭合电路,并固定在水平面(纸面)内,回路的ab边置于垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ中,回路的圆形区域内有垂直纸面的磁场Ⅱ,以向里为磁场Ⅱ的正方向,其磁感应强度B随时间t变化的图像如图乙所示,用i表示回路中的电流,以顺时针方向为电流i的正方向.用F表示ab边受到的安培力,以水平向左为F的正方向,能正确反映i和F分别随时间t变化的图像有(　　)
[A] 　　　　 [B]
[C]　　　　 [D]
【答案】 AC
【解析】 根据题意,由楞次定律可知,0～时间内,线圈中电流为顺时针方向,由法拉第电磁感应定律可知,感应电动势E=N=NS,由图像乙可知感应电流i保持不变,由左手定则可知,ab边受到的安培力水平向左,大小F=BiL,保持不变.同理可得,～T时间内,电流为逆时针方向,保持不变,ab边受到的安培力水平向右,大小保持不变.故选AC.
(选择题每题9分)
8.(多选)(2025·广东广州高二下期末)如图甲所示,线框放在光滑的水平面上,虚线框内有竖直向下的匀强磁场,设图甲所示的磁场方向为正方向,磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示.边长为l、电阻为R的正方形均匀线框abcd有一半处在磁场中,线框在外力的作用下保持静止,此时线框ab边的发热功率为P,则下列说法正确的是(　　)
[A] 线框中的感应电流为2
[B]b、a两端的电势差Uba=-
[C]一个周期通过ab边的电荷量为q=
[D]在前半个周期内线框受到向右的外力F作用,且F=
【答案】 AB
【解析】 线框ab边的发热功率为P,则P=I2,可得,线框中的感应电流I=2,选项A正确;由楞次定律可知,线圈中的感应电流为顺时针方向,根据法拉第电磁感应定律有E=×l2=
×l2=,则b、a两端的电势差Uba=-I=-×=-,选项B正确;一个周期通过ab边的电荷量为q=IT=,选项C错误;由左手定则可知,在前半个周期内线框受到向左的安培力,则受到向右的外力F作用,且t=0时刻外力为F0=B0Il=,且安培力随时间会逐渐减小,选项D错误.
9.(15分)一个圆形线圈共有n=100匝,其总电阻r=4.0 Ω,线圈与阻值R0=16 Ω的外电阻连成闭合回路,电容器并联在电阻两端,电容器的电容为C=2 μF,如图甲所示.线圈内部存在着一个边长l=0.3 m的正方形区域,其中有分布均匀但磁感应强度随时间变化的磁场,磁感应强度的变化情况如图乙所示,磁场方向以垂直于线圈平面向外为正方向.求:
(1)(7分)通过电阻R0上的电流I的大小和方向.
(2)(8分)电容器所带的电荷量Q.
【答案】 (1)0.15 A　由a到b　(2)4.8×10-6 C
【解析】 (1)根据法拉第电磁感应定律可知,产生的电动势E=nl2,
解得E=3 V.
则流过电阻R0上的电流I==0.15 A.
再根据楞次定律可知,通过电阻R0的电流方向由a到b.
(2)根据电容器的定义式C=,其中U=IR0,
联立解得电容器所带的电荷量Q=4.8×10-6 C.

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