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(共21张PPT)
小专题7　电磁感应中的动力学和能量问题
[学习目标]　
1.掌握电磁感应中的动力学问题的处理方法,能分析导体棒、线框等在磁场中的受力情况及运动状态.(重点)
2.理解并能够运用动能定理解决电磁感应中的变加速问题,知道安培力做功与电能变化的关系.(难点)
3.学会用功能关系和能量守恒定律分析电磁感应中的能量转化问题,明确机械能、电能、内能等能量之间的相互转化,能根据能量守恒写出表达式,并求解相关物理量.
知识点一　电磁感应中的动力学问题
1.物理模型
2.力学对象和电学对象的相互关系
[例1] (棒的变速运动)如图甲所示,两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上,两导轨间距为L,M、P两点间接有阻值为R的定值电阻,一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上,并与导轨垂直,整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中,磁场方向垂直于导轨平面向下,导轨和金属杆的电阻可忽略,让ab杆沿导轨由静止开始下滑,导轨和金属杆接触良好,不计它们之间的摩擦(重力加速度为g).
(1)由b向a方向看到的装置如图乙所示,请在此图中画出ab杆下滑过程中的受力示意图;
【答案及解析】 (1)如图所示,ab杆受重力mg,方向竖直向下;ab杆受支持力FN,方向垂直于导轨平面向上;ab杆受安培力F安,方向沿导轨向上.
(2)在加速下滑过程中,当ab杆的速度大小为v时,求此时ab杆中的电流大小及其加速度的大小;
(3)求在下滑过程中,ab杆可以达到的速度的最大值.
·方法总结·
电磁感应现象中涉及的具有收尾速度的力学问题
[训练1] (多选)(2025·广东卷,9)如图,是一种精确测量质量的装置原理示意图,竖直平面内,质量恒为M的称重框架由托盘和矩形线圈组成.线圈的一边始终处于垂直于线圈平面的匀强磁场中,磁感应强度不变.测量分两个步骤,步骤①:托盘内放置待测物块,其质量用m表示,线圈中通大小为I的电流,使称重框架受力平衡;步骤②:线圈处于断开状态,取下物块,保持线圈不动,磁场以速率v匀速向下运动,测得线圈中感应电动势为E.利用上述测量结果可得出m的值,重力加速度为g.下列说法正确的有(　　 )
BD
1.电磁感应现象中的能量转化
知识点二　电磁感应中的能量问题
2.求解焦耳热Q的三种方法
[例2] (电磁感应中能量问题)如图甲所示,将一间距为L=1 m的足够长U形导轨固定,倾角为θ=37°,导轨上端连接一阻值为R=2.0 Ω的电阻,整个空间存在垂直于轨道平面向上的匀强磁场.质量为m=0.01 kg、电阻为r=1.0 Ω的金属棒ab垂直紧贴在导轨上且不会滑出导轨,导轨与金属棒之间的动摩擦因数μ=0.5,金属棒ab从静止开始下滑,下滑的x-t图像如图乙所示,图像中的OA段为曲线,AB段为直线,导轨电阻不计,重力加速度g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,
cos 37°=0.8.求:
(1)匀强磁场的磁感应强度B的大小;
【答案】 (1)0.2 T
(2)从开始到t=2.5 s过程中电阻R上产生的热量.
【答案】 (2)0.032 5 J
[训练2] (2024·广东中山高二月考)如图所示,竖直放置的两根平行金属导轨之间接有定值电阻R,质量不能忽略的金属棒与两导轨始终保持垂直,接触良好且无摩擦,棒与导轨的电阻均不计,整个装置放在匀强磁场中,磁场方向与导轨平面垂直,棒在竖直向上的恒力F作用下加速上升的一段时间内,力F做的功与安培力做的功的代数和等于(　　)
[A] 棒的机械能增加量
[B]棒的动能增加量
[C]棒的重力势能的增加量
[D]电阻R上放出的热量
A
【解析】 棒受重力G、拉力F和安培力FA的作用,由动能定理得WF+WG+
W安=ΔEk,得WF+W安=ΔEk+mgh,即力F做的功与安培力做的功的代数和等于机械能的增加量,A正确,B错误.棒克服重力做的功等于棒的重力势能的增加量,C错误.棒克服安培力做的功等于电阻R上放出的热量,D错误.故选项A正确.
[训练3] 如图所示,虚线边界MN右侧充满垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B,纸面内有一个边长为L、粗细均匀的正方形导线框abcd,cd边与MN平行,导线框在外力的作用下,先后以v和2v的速度垂直MN两次匀速进入磁场,运动过程中导线框平面始终与磁场垂直,则(　　)
[A]两次进入磁场的过程中,导线框中的电流方向均为逆时针方向
[C]导线框先后两次进入磁场的过程中,产生的热量之比为1∶2
[D]导线框先后两次进入磁场的过程中,外力做功的功率之比为1∶2
C
感谢观看小专题7　电磁感应中的动力学和能量问题
[学习目标]
1.掌握电磁感应中的动力学问题的处理方法,能分析导体棒、线框等在磁场中的受力情况及运动状态.(重点)
2.理解并能够运用动能定理解决电磁感应中的变加速问题,知道安培力做功与电能变化的关系.(难点)
3.学会用功能关系和能量守恒定律分析电磁感应中的能量转化问题,明确机械能、电能、内能等能量之间的相互转化,能根据能量守恒写出表达式,并求解相关物理量.
知识点一　电磁感应中的动力学问题
1.物理模型
2.力学对象和电学对象的相互关系
[例1] (棒的变速运动)如图甲所示,两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上,两导轨间距为L,M、P两点间接有阻值为R的定值电阻,一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上,并与导轨垂直,整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中,磁场方向垂直于导轨平面向下,导轨和金属杆的电阻可忽略,让ab杆沿导轨由静止开始下滑,导轨和金属杆接触良好,不计它们之间的摩擦(重力加速度为g).
(1)由b向a方向看到的装置如图乙所示,请在此图中画出ab杆下滑过程中的受力示意图;
(2)在加速下滑过程中,当ab杆的速度大小为v时,求此时ab杆中的电流大小及其加速度的大小;
(3)求在下滑过程中,ab杆可以达到的速度的最大值.
【答案】 (1)见解析图　(2)　gsin θ-　(3)
【解析】 (1)如图所示,ab杆受重力mg,方向竖直向下;ab杆受支持力FN,方向垂直于导轨平面向上;ab杆受安培力F安,方向沿导轨向上.
(2)当ab杆的速度大小为v时,感应电动势E=BLv,
则此时电路中的电流I==
ab杆受到的安培力F安=BIL=
根据牛顿第二定律,有mgsin θ-F安=ma
联立各式得a=gsin θ-.
(3)当a=0时,ab杆达到最大速度vm,
即mgsin θ=,解得vm=.
电磁感应现象中涉及的具有收尾速度的力学问题
导体有初速度或受外力运动感应电动势感应电流导体受安培
力合力变化加速度变化速度变化临界状态.
加速度等于零时,导体达到稳定的运动状态.
[训练1] (多选)(2025·广东卷,9)如图,是一种精确测量质量的装置原理示意图,竖直平面内,质量恒为M的称重框架由托盘和矩形线圈组成.线圈的一边始终处于垂直于线圈平面的匀强磁场中,磁感应强度不变.测量分两个步骤,步骤①:托盘内放置待测物块,其质量用m表示,线圈中通大小为I的电流,使称重框架受力平衡;步骤②:线圈处于断开状态,取下物块,保持线圈不动,磁场以速率v匀速向下运动,测得线圈中感应电动势为E.利用上述测量结果可得出m的值,重力加速度为g.下列说法正确的有(　　)
[A] 线圈电阻为　　 [B]I越大,表明m越大
[C]v越大,则E越小 [D]m=-M
【答案】 BD
【解析】 根据题意知,电动势E是线圈断开时切割磁感线产生的感应电动势,I为线圈闭合时通入的电流,故不是线圈的电阻,A错误;根据平衡条件有(M+m)g=BIL,故可知I越大,
m越大,B正确;根据公式有E=BLv,故可知v越大,E越大,C错误;联立以上各式可得m=-M,D正确.
知识点二　电磁感应中的能量问题
1.电磁感应现象中的能量转化
2.求解焦耳热Q的三种方法
[例2] (电磁感应中能量问题)如图甲所示,将一间距为L=1 m的足够长U形导轨固定,倾角为θ=37°,导轨上端连接一阻值为R=2.0 Ω的电阻,整个空间存在垂直于轨道平面向上的匀强磁场.质量为m=0.01 kg、电阻为r=1.0 Ω的金属棒ab垂直紧贴在导轨上且不会滑出导轨,导轨与金属棒之间的动摩擦因数μ=0.5,金属棒ab从静止开始下滑,下滑的x-t图像如图乙所示,图像中的OA段为曲线,AB段为直线,导轨电阻不计,重力加速度g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8.求:
(1)匀强磁场的磁感应强度B的大小;
(2)从开始到t=2.5 s过程中电阻R上产生的热量.
【答案】 (1)0.2 T　(2)0.032 5 J
【解析】 (1)由题图乙可得金属棒先做加速运动,再做匀速运动,匀速运动的速度
v== m/s=1.5 m/s,
匀速运动时受到沿导轨平面向上的安培力F安作用,根据平衡条件有
mgsin θ=μmgcos θ+F安,
解得F安=0.02 N,
又F安=BIL=B··L,
联立解得B=0.2 T.
(2)t=2.5 s时,金属棒ab做匀速直线运动,速度大小v=1.5 m/s,位移大小x=3.0 m,
设从开始到t=2.5 s过程中电路中产生的热量为Q,根据能量守恒定律得
mgxsin θ=mv2+μmgxcos θ+Q,
代入数据解得Q=0.048 75 J,
电阻R上产生的热量QR=Q=0.032 5 J.
[训练2] (2024·广东中山高二月考)如图所示,竖直放置的两根平行金属导轨之间接有定值电阻R,质量不能忽略的金属棒与两导轨始终保持垂直,接触良好且无摩擦,棒与导轨的电阻均不计,整个装置放在匀强磁场中,磁场方向与导轨平面垂直,棒在竖直向上的恒力F作用下加速上升的一段时间内,力F做的功与安培力做的功的代数和等于(　　)
[A] 棒的机械能增加量
[B]棒的动能增加量
[C]棒的重力势能的增加量
[D]电阻R上放出的热量
【答案】 A
【解析】 棒受重力G、拉力F和安培力FA的作用,由动能定理得WF+WG+W安=ΔEk,得WF+W安=ΔEk+mgh,即力F做的功与安培力做的功的代数和等于机械能的增加量,A正确,
B错误.棒克服重力做的功等于棒的重力势能的增加量,C错误.棒克服安培力做的功等于电阻R上放出的热量,D错误.故选项A正确.
[训练3] 如图所示,虚线边界MN右侧充满垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B,纸面内有一个边长为L、粗细均匀的正方形导线框abcd,cd边与MN平行,导线框在外力的作用下,先后以v和2v的速度垂直MN两次匀速进入磁场,运动过程中导线框平面始终与磁场垂直,则(　　)
[A]两次进入磁场的过程中,导线框中的电流方向均为逆时针方向
[B]导线框以速度v进入磁场时,c、d两点间的电压为BLv
[C]导线框先后两次进入磁场的过程中,产生的热量之比为1∶2
[D]导线框先后两次进入磁场的过程中,外力做功的功率之比为1∶2
【答案】 C
【解析】 根据右手定则可知,导线框两次进入磁场的过程中,导线框中的电流均为顺时针方向,故A错误;导线框以速度v进入磁场时电动势为E=BLv,c、d两点间的电压为路端电压,U=I·R=·R=BLv,故B错误;导线框进入磁场的过程中产生的热量Q=I2Rt=() 2R·
=,可知产生的热量与速度成正比,因此导线框先后两次进入磁场的过程中,产生的热量之比为1∶2,故C正确;导线框匀速进入磁场,所以安培力等于外力F,因此外力做功的功率P=Fv=F安v=BILv=,可知外力做功的功率与速度的二次方成正比,因此导线框先后两次进入磁场的过程中,外力做功的功率之比为1∶4,故D错误.
课时作业(十五)　电磁感应中的动力学和能量问题
(分值:77分)
(选择题每题6分)
知识点一　电磁感应中的动力学问题
1.如图所示,U形光滑金属框abcd置于水平绝缘平台上,ab和dc边平行且足够长,间距为L,整个金属框电阻可忽略且置于竖直向下的匀强磁场中,磁感应强度大小为B.一根长度也为L、电阻为R的导体棒MN置于金属框上,用大小为F的水平恒力向右拉动金属框,运动过程中,MN与金属框保持良好接触且固定不动,则金属框最终的速度大小为(　　)
[A] 0 [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 金属框最终会匀速运动,由平衡条件得F=F安=BIL,I=,解得v=,故选项C正确.
2.如图所示,有两根和水平方向成θ角的光滑平行的金属轨道,上端接有可变电阻R,下端足够长,空间有垂直于轨道平面的匀强磁场,磁感应强度大小为B.一根质量为m的金属杆从轨道上由静止滑下.经过足够长的时间后,金属杆的速度会趋近于一个最大速度vm,不计金属杆和轨道的电阻,轨道足够长,则以下分析正确的是(　　)
[A] 金属杆先做匀加速直线运动然后做匀速直线运动
[B]如果只减小轨道倾角,vm将变小
[C]如果只增大B,vm将变大
[D]如果同时增大B、R,vm将变小
【答案】 B
【解析】 金属杆下滑过程中,受重力、导轨的支持力和安培力,开始时重力沿斜面的分力大于安培力,金属杆做加速运动,根据牛顿第二定律可得mgsin θ-=ma,随着速度的增加,安培力在增大,所以金属杆加速度逐渐减小,当加速度减小到零时,速度最大,金属杆做匀速运动,故金属杆先做加速度逐渐减小的加速运动然后做匀速直线运动,故A错误.当金属杆做匀速运动时,速度达到最大,根据受力平衡可得mgsin θ=,解得vm=,如果只减小轨道倾角,vm将变小,故B正确.如果只增大B,vm将变小;如果同时增大B、R,vm可能变大,也可能不变或变小,故C、D错误.
3.如图甲所示,空间中存在一磁感应强度大小为0.2 T、方向与竖直面(纸面)垂直的匀强磁场区域,磁场的上、下边界(虚线)间的距离为0.2 m且两边界均为水平面;纸面内磁场上方有一质量为0.01 kg 的正方形导线框abcd,导线框的总电阻为0.002 Ω,其上、下两边均与磁场边界平行.线框自由下落,从ab边进入磁场时开始,直至cd边到达磁场上边界为止,该过程中产生的感应电动势如图乙所示.不计空气阻力,重力加速度大小为10 m/s2.下列判断正确的是(　　)
[A]导线框的边长为0.2 m
[B]ab边刚进入磁场时,导线框的速度大小为0.25 m/s
[C]ab边刚离开磁场时,导线框的速度大小为1.5 m/s
[D]ab边刚离开磁场时,导线框的加速度大小为30 m/s2
【答案】 C
【解析】 导线框进入磁场的过程中电动势不变,所以导线框受力平衡,有mg=BIL=BL·,解得L=0.1 m,A错误;导线框进入磁场过程做匀速运动,所以ab边刚进入磁场时,由E=BLv得导线框的速度大小为v==0.5 m/s,B错误;导线框全部进入磁场后,导线框内没有感应电流,不受安培力作用,做匀加速直线运动,有2g(d-L)=v′2-v2,解得v′=1.5 m/s,C正确;ab边刚离开磁场时,cd边切割磁感线,产生感应电流,有安培力作用,根据牛顿第二定律得-mg=ma,解得a=20 m/s2,D错误.
4.如图所示,水平面内有一对平行金属导轨,导轨光滑且电阻不计,电源电动势为E,匀强磁场与导轨平面垂直,阻值为R的导体棒垂直于导轨静止放置,且与导轨接触良好.t=0时刻,闭合开关S,棒的速度v随时间t变化的图像可能正确的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 闭合开关S后,导体棒将受到向右的安培力而向右做加速运动,随着速度的增加,导体棒切割磁感线产生的感应电动势逐渐变大,且感应电动势方向与电池的电动势方向相反,可知回路的总电动势逐渐减小,电流逐渐减小,安培力逐渐减小,加速度逐渐减小,最终加速度减为零时棒做匀速运动,故C正确.
知识点二　电磁感应中的能量问题
5.(多选)(2025·广东东莞高二下期末)如图甲所示,面积为0.2 m2的100匝线圈内部存在垂直纸面、磁感应强度随时间均匀增加的匀强磁场,线圈的电阻为2 Ω,磁场方向垂直于线圈平面向里,已知磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示,磁场垂直纸面向里为正方向,定值电阻R的阻值为8 Ω,下列说法正确的有(　　)
[A] 线圈具有收缩的趋势
[B]a、b两点间的电势差Uab=2.0 V
[C]t=5 s时穿过线圈的磁通量为0.1 Wb
[D]电阻R上产生的热功率为0.32 W
【答案】 ACD
【解析】 由图像可知,穿过线圈的磁通量逐渐增加,根据“增缩减扩”可知,线圈具有收缩的趋势,A正确;感应电动势E=n=nS=100××0.2 V=2 V,根据楞次定律可知a点电势高于b点电势,则a、b两点间的电势差Uab== V=1.6 V,B错误;t=5 s时穿过线圈的磁通量为Φ=B5S=0.5×0.2 Wb=0.1 Wb,C正确;电阻R上产生的热功率为P== W=
0.32 W,D正确.
6.(多选)如图所示,固定在水平绝缘平面上且足够长的两条平行金属导轨的电阻不计,但表面粗糙,导轨左端连接一个电阻R,质量为m的金属棒ab(电阻也不计)放在导轨上,并与导轨垂直,整个装置放在匀强磁场中,磁场方向与导轨平面垂直,用水平恒力F把ab棒从静止起向右拉动的过程中(　　)
[A] 恒力F做的功等于电路产生的电能
[B]克服安培力做的功等于电路中产生的电能
[C]恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能
[D]恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能和ab棒获得的动能之和
【答案】 BD
【解析】 由功能关系可得,克服安培力做的功等于电路中产生的电能,即W克安=W电,选项A错误,B正确;根据动能定理可知,恒力F、安培力与摩擦力的合力做的功等于ab棒获得的动能,即WF-Wf-W安=Ek,则恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能和ab棒获得的动能之和,选项C错误,D正确.
7.(多选)如图所示,在光滑绝缘的水平面上方,有两个方向相反的水平方向的匀强磁场,磁场范围足够大,磁感应强度的大小左边为2B、右边为3B.一个竖直放置的宽为L、长为3L、质量为m、电阻为r的矩形金属线框,以初速度v垂直磁场方向从图中实线位置开始向右运动,当线框运动到虚线位置(在左边磁场中的长度为L、在右边磁场中的长度为2L)时,线框的速度为v.下列判断正确的是(　　)
[A] 此时线框中电流方向为逆时针,电功率为
[B]此过程中通过线框某一横截面的电荷量为
[C]此时线框的加速度大小为
[D]此过程中线框克服安培力做的功为mv2
【答案】 AD
【解析】 在题图所示虚线位置,根据右手定则可知,线框中电流方向为逆时针,线框产生的电动势E=3BL·+2BL·=BLv,线框中电流I==,则电功率P=EI=,故A正确;此过程中磁通量的变化量大小ΔΦ=2B·3L2-(2B·L2-3B·2L2)=10BL2,此过程中通过线框某一横截面的电量为q=Δt=Δt=Δt==,故B错误;此时线框受到的合力大小F=3BIL+
2BIL=,此时线框的加速度大小a==,故C错误;由动能定理得-W安=m() 2-
mv2,可得此过程中线框克服安培力做的功W安=mv2,故D正确.
8.(多选)如图甲所示,两固定平行且光滑的金属轨道MN、PQ与水平面的夹角θ=37°,M、P之间接电阻箱,电阻箱的阻值范围为0～9.9 Ω,导轨所在空间存在匀强磁场,磁场方向垂直于轨道平面向上,磁感应强度大小为B=0.5 T.质量为m的金属杆ab水平放置在轨道上,其接入电路的电阻值为r.现从静止释放杆ab,测得最大速度为vm,改变电阻箱的阻值R,得到vm与R的关系如图乙所示.已知轨道间距L=2 m,重力加速度大小g取10 m/s2,轨道足够长且电阻不计,则(　　)
[A] 金属杆的质量m=0.5 kg
[B]金属杆接入电路的电阻r=2 Ω
[C]当R=2 Ω时,杆ab匀速下滑过程中R两端的电压为4 V
[D]当R=1 Ω时,杆的最大速度为7 m/s
【答案】 BC
【解析】 当金属杆达到最大速度时, 安培力等于重力沿框向下的分力,则有mgsin θ=
,即vm=R+,结合图像可得k==2,=4,解得m= kg,r=2 Ω,故B正确,A错误;当 R=2 Ω时, 杆ab匀速下滑过程中R两端的电压U=BLvm=4 V,C正确;当 R=1 Ω时, 由题图可得最大速度为6 m/s,D错误.
9.(14分)如图,足够长的水平U形光滑导轨固定在地面上,电阻不计,左端连接电阻R=0.9 Ω.质量m=1 kg、宽度L=1 m、阻值r=0.1 Ω的杆ab垂直放置在导轨上,匀强磁场的磁感应强度大小B=1 T,方向竖直向上,现给杆ab一个向右的水平初速度1 m/s,杆ab运动的过程中始终和导轨垂直.求:
(1)(7分)杆ab刚开始运动时,电阻R两端电压UR的大小;
(2)(7分)杆ab从开始运动到停下来,电阻R上产生的焦耳热QR.
【答案】 (1)0.9 V　 (2)0.45 J
【解析】 (1)杆ab向右运动切割磁感线,此时杆ab产生的电动势E=BLv=1 V
回路感应电流I==1 A
此时R两端的电压UR=IR=0.9 V.
(2)整个过程,根据能量守恒得Q总=mv2
再根据Q=I2Rt和QR=Q总,解得QR=0.45 J.
10.(15分)(2024·广东珠海高二下阶段练习)如图所示,两根光滑金属导轨平行固定在倾角θ=30°的绝缘斜面上,导轨下端接有R=4 Ω的定值电阻,导轨自身电阻忽略不计.导轨置于垂直于斜面向上的匀强磁场中,磁感应强度大小B=1.0 T.将一根质量m=0.4 kg、电阻r=1 Ω的金属棒ab从导轨上方某处由静止释放,金属棒沿导轨下滑,设导轨足够长,导轨宽度和金属棒的长度均为d= m.金属棒ab下滑过程中始终与导轨接触良好,金属棒沿导轨下滑的高度h=3 m时,金属棒已经匀速运动了一段时间.取重力加速度大小g=10 m/s2,求:
(1)(7分)金属棒ab达到的最大速度vm;
(2)(8分)金属棒ab从释放到沿导轨下滑的高度h=3 m的过程中,金属棒上产生的焦耳热Q和通过R的电荷量q.
【答案】 (1)5 m/s　(2)1.4 J　 C
【解析】 (1)金属棒ab达到最大速度时恰好匀速下滑,根据平衡条件有
mgsin θ=FA
金属棒ab受到的安培力大小
FA=BId
回路中感应电流大小
I=
联立解得vm=5 m/s.
(2)金属棒ab从释放到沿导轨下滑的高度h=3 m的过程中,根据功能关系有
mgh=m+Q总
解得Q总=7 J
金属棒上产生的焦耳热
Qr=Q总=×7 J=1.4 J
通过定值电阻R的电荷量
q=Δt
平均感应电流
=
根据法拉第电磁感应定律有
=
联立解得q= C.

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